Бек В.В., Вишняков Ю.С., Махлин А.Р. Интегрированные системы терминального управления (1989) (1246768), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Использование подхода на основе кусочно-линейной аппроксимации нелинейных характеристик для решения задач аналитического проектирования ПОС, ПИП и ППКС позволяет определить алгоритм оптимального функциони рования указанных подсистем, допускающий достаточно простую реализациго на БЦВК ЛА, и, что особенно важно, именно в рамках указанного подхода получаемые оценки вектора состояния, параметров и предсказываемого конечного состояния могут быть использованы для реализации алгоритмов УП, обеспечивая при етом оптимальное функционирование ИСТУ ЛА в целом. В соответствии с общей постановкой задачи аналитического проектирования ПОСИП ЛА, изложенной в гл. 2, рассматривается движение ЛА, описываемое стохастическим дифференциальным уравнением вида моделью вида а (1) = А (1) а(г) + и, (г), где а (в) — вектор идентифицируемых параметров, имеющий гзссовское распределение с известным средним значением [в, (в») и дисперсией Р„(1«); в, (1) — белый шум с известным средними значением и интенсивностью [1081.
Особо следует отметить, что зздача оценивания расширенного вектора состояния и неизвестны: параметров ' = (хт (1), ат (Г)) является принципиально нелинейной даже в том случае, когда объект управления может быть описан системой линейных дифференциальных уравнений.
В уравнениях (4.1), (4.2) будем предполагать, что вектор возмущений в (1) есть случайный процесс типа «белого шума» с нулевым средним М(и ®=0 для всех г и матрицей ковариаций соч (в (в); ш (т)) = Я, (г)6 (1 — т), где 6 (в — т) — дельта-функция Дирака; Д (г) — симметрическая неотрицательно определенная 1 Х 1-матрица. Вектор шувшв измерений и (1) есть также «белый шум» с нулевым средним значением М (и(г)) = 0 для всех 1 и матрицей ковариацнй соч (и (~); и (т)) = Л„(1)6 (1 — т), где Я„(в) — симметрическая положительно определенная г Х гматрица. Пусть 1» — начальный момент времени, х (1») — начальное состояние системы. Предполагается, что х (1«) есть векторная случайная величина с известным средним значением М (х (1»)) = [в (х (1«)) и известной матрицей козариаций соч (х (в«); х (1«)) = М ([х (г,) — р (х (Е„))[[х (Г„)— — р(х(1«)))т) = Р„.
Кроме того, предполагается, что ш (г), и (У), х (1„) по коррелированы между собой. Следует отметить, что сделанные предположения относительно характера процессов и~ (Е), и (Е) и х (1,) пе снижают общности описания объекта управления и измерений. В частности, если процессы ьт (г), и (в) являются ие болывш впумзми, то задача моли'т быть сведена с исходной за счет дополиеиии уравнений формирующих фильт1вов [60, 133[. 107 На„„д ° с гходнымк рассмотрим уравнения моделеи движения ЛЛ и ИИП с кусочно-лннейнымп характеристиками вида х (С) = Ч~" (х (С), и (С), и (С), С), г (С) = й' (х (С), С) + и (С) где Ч" (х (С), и (С), и~(С), С) = Е' (х (С), и (С), С) + С' (х (С), и (С), С) си (С), Ч" (х (С), и.
(С), и>(С), С) = А" (С) х (С) + В' (С) и (С) + 6' (С) и (С) + + со (С), Ь' (* (С), С) = И" (С)х(С) + й~ (С). Ниже в настоящей главе сформулированы конструктивплсе тре- бования к способу построения модели с кусочно-линейными ха- рактеристиками исходя из условия обеспечения требуемого качества процессов оценивания. Не останавливаясь сейчас на дан- ном важном вопросе, сформулируем задачу аналитического про- ектирования ПОС, ПИП и ППКС для выбранной модели с кусоч- но-линейными характеристиками.
Требуется определить алгоритм формирования оценки хо (сЯ [с„сс)) расширенного вектора со- стояния и неизвестных параметров модели объекта (4.3) по изме- рению сигнала з (С) на отрезке времени [С„СС[, доставляющий минимум функционалу качества оценивания вида СС Е(й(С),9(С)) = ~'о(х(Со)) + ~ СС(х(С),9(С))с[С, (4.5) где Ьо(х(СО)) ( /2) [!х(СО) — [с(х(СО)) и -и (4.6) Ро Л (х (С), 9 (С)) = ( /о) (Ц 3 (С) — й (й (С), С) Иа-ЧО + / ! 9 (С) / /й-~п)), (4.7) и обеспечивающие устойчивость замкнутой системы оценивания.
Соотношения (4.5) — (4.7) задают критерий наименьших квадратов [108) Указанный критерий является наиболее общим и часто используемым в теории оценнвания. В частности, при соответствующем выборе весовых коэффициентов Р. = Р,, ЕЕ (С) = Л. (С), СЕ (С) = О. ()' в видо матриц интенсивностей[ начального состояния, шумов измерений и внешних воздействий, и выполнении предположений о гауссовском распределении х (С,), си (С), и (С) оценки по критерию наименьших квадратов совпадают с оценками по критерию максимума апостериорной вероятности [108). Сформулированная задача является достаточно общей в том смысле, что позволяет охватить весь круг задач аналитического проектирования ПОС, ПИП и ППКС.
В частности, при $08 получаем аадачу оптимального оценнвания состояния и оптимальной идентификации параметров ЛА. Если же ~, ~~, то получаем задачу предсказания конечного состояния [108, 1473. Первым этапом решения задачи аналитического проектирования ПОС, ПИП и ППКС является получение условий глобальной наблюдаемостн. Это позволяет ответить на вопрос о принципиальной возможности решения указанной задачи и сформулировать требования к выбору модели уравнений движения и ИИП с кусочно-линейными характеристиками и составу измерительных средств.
Фактически задача заключается в получении условий, обеспечивающих взаимно однозначное соответствие (отображение) пространства сигналов измерений в пространство расширенного вектора состояния и параметров. 4.2. Условия наблюдаемоети замкнутых систем Проблема наблюдаемости подробно была изучена для линейных динамических объектов Р. Е. Калмана [481 н для нелинейных систем в работе [[91. Особенность решения сформулированной задачи заключается в принципиальной невозможности линеаризации уравнений движения ЛА и ИИП, а также в негладкости характеристик моделей ЛА и ИИП с кусочно-линейными характеристиками. Рассмотрим свободное движение модели оцениваемой системы (4.3), (4.4) при и=О, й=0, п=0: (4. 8) (4.
9) Введем следу|ощее определение наблюдаемости динамической системы (4.8), (4.9). Определение 4 1. Динамическая система, описываемая уравнениями (4.8), (4.9), наблюдаема в фазовом пространстве Х Х Т если между множеством векторов х е= Х и множеством траекторий измеряемого сигнала г (1), г Е= Т существует взаимооднозначное отобран«ение, Отображения ~' (х (1), 1), Ь' (х (1), 1) являются локально-лппшицевымн по аргументу х. При этом выполняются условия существования н единственности решения уравнения (4.8).
Это обеспечивает взаимно однозначное соответствие между множеством возможных состояний Х н множеством начальных значений Х,. Тогда исследование наблюдаемостн динамической системы (4.8), (4.9) заключается в получении условий взаимно однозначного соответствия Е: Х«-+- Я между областью Х, и множеством сигналов измерения Я. В дальнейшем при определении условий наблюдаемостк во всей области Х, будет использоваться термин «глобальная наблюдаемость». Если условия взаимной однозначности распространяются $09 лишь на некоторую малую окрестность точки х, е= Х„то будет использоваттси термин «локальная наблюдаемость» (19).
Непосредственная проверка взаимной однозначности отображения Е: Х «- Я затруднительна. Поэтому для анализа наблюдаемостп динамической системы (4.8), (4.9) обычно переходят к отображению Н: Х, — «-1', где У ( А', 1'-э и. Отображение Н может быть построено различными способами (19) Прп этом каждой функции выхода г (1) ставится в соответствие набор чисел, рассматриваемых в качестве вектора у ~= У. Обозначим это отображение через Г: 2-+ У. Отображение Н представляет собой ь композицию отображений Е, г", т.
е. Н = Ь' о Р. Заметим, что если отображение Н: Х, — + У взаимно однозначно в Х,, то отображение Е также взаимно однозначно. Таким образом, паблюдаемость системы (4.8), (4.9) определяется свойствами отображения Н, которое является отображением паблюдаемости 1191. Введем понятие обобщенной матрицы наблюдаемости негладкой динамической системы вида (4.8), (4.9).
Определение 4.2. Обобщенной матрицей наблюдаемости назовем матрицу (д,, Н~1, элементами которой являются обобщенные производные отображения Н в точке х» по соответствующим компонентам отображения Н и начального вектора состояния х,. Используя введенное понятие, сформулируем критерии локальной наблюдаемости, глобальной наблюдаемости и наблюдаемости в выпуклом множестве.
Рассмотрим случай 1 = п. К р и т е р и й 1 (локальная наблюдаемость). Если отображение наблюдаемости Н: Х, — ~- У системы (4.8), (4.9) является локально-липшицевым в точке х, ~ — Х„, а элементы обобщенной матрицы наблюдаемости (д,, Н~ имеют максимальный ранг, то динамическая система (4.8), (4.9) локально наблюдаема в окрестности точки х,. К р и т е р и й 2 (глобальная наблюдаемость). Если отображение наблюдаемости Н: Х, — «- г является локально-лппшицевым в каждой точке х, я= Х„элементы обобщенной матрицы паблюдаемости (д Н) имеют максимальный ранг и выполнено предельное соотношение 11ш 'К Н (х») К = при !) х«9' то динамическая система (4.8), (4.9) глобально наблюдаома в пространстве Х,.
К р и т е р и й 3 (наблюдаемость в выпуклом множестве). Если отображение наблюдаемости Н: К» -«- Н" является локально-лишпицевым в каждой точке х, выпуклого множества К» С с Л", элементы обобщенной матрицы наблюдаемости (д,,Н) имеют максимальный ранг и для п-мерного вектора с» квадратичная форма (х, ~а) положительно (отрицательно) определена при всех х, г= К„~ ~=!г7,»Н), то динамическая система (4.8), (4.9) наблюдаема в выпуклой области К« ~ Л". 110 Доказательство сформулированных критериев непосредственно следует из теорем 2.4, 2.5 и 2.6 о взаимной однозначности липшицевых отображений в предположении, что обобщенная матрица наблюдяомостк является квадратной, т. е.
число соотношений, задающих функциональный вид отображения Н, равно числу компонент вектора состояния х . В общем случае число соотношений может быть сколь угодно большим (~ ' и). Поскольку сформулированные критерии содер;кат достаточные условия, то для вывода о наблюдаемости динамической системы достаточно в имеющейся прямоугольной матрицо паблюдаемости выделить квадратную подматрицу порядка и, которая удовлетворяла бы одному из указанных критериев. В случае 1 " п динамическая система не является наблюдаемой. Всюду в дальнейшем будем предполагать, что выбранная модель динамической системы вида (4.8), (4.9) является глобально наблюдаемой. 4.3. Необходимые условия в общей задаче оценивания Сформулированная в равд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
