Бек В.В., Вишняков Ю.С., Махлин А.Р. Интегрированные системы терминального управления (1989) (1246768), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Так как равенство (4.31) справедливо при всех р ( ° )~г=: — И'~, (, Л о), то из единственности в теореме Рисса следует, О == й -, (г) + р (с) 1"- (с). Тогда длЯ пРоиззольных д-<гг (хо (Ю), г7го (Ю), 1) и Ч"-ггг (х' (Ю) пго (1) 1) справедливо включение О~- д„д(хо(~) йго(г) ц+ ро(г)д„Чго(хо(~) шо(~) ~) (432) Так как функция Чг' (х (Е), й (о), о) выпукла по йг (Ю), то (4.32) эквивалентно вклгочению Π—,— д- (д(хгг«) йо(Е), й) + ро(Г) г1г'~~(хо(Ю) йго(С), Е)). (433) Включение (4.33) с учетом обозначения (4,16) для функции М (х' (о), йг' (1); р' (о)) совпадает с требуемым условием (4.12). Заметим, что уравнения движения модели ЛА (4.3) с учетом обозначения (4.16) при х (1) = хо (о), пг (г) = йго (1) можно записать в виде дггфференгтяального включения ' «)=дгчггЖ(х'(~), й'(~)' р'(О).
(4.34) Включения (4.11) и (4.34) для определения оптимальных оценок расширенного вектора состояния х' (~) назовем обобщенным уравнением Эйлера — Лагранжа. Определим для него граничные условия. Из (4.27) следует, что Р (1о + 0) Р (~о О) = Кооггл(1о)э (4.35) р" (г,) = 0.$ (4.36) Соотношение (4.24) эквивалентно равенству р' (1о — 0) = О. При этом из (4.35) получаем начальное условие для обобщенного уравнения Эйлера — Лагрангка.' р' (1,) = Р,' (х' (оо) — и (х (1о))). (4.37) ф Таким образом, из доказанной теоремы следует, что оптимальные оценки х' (1) расширенного вектора состояния и параметров модели ЛА и ИИП (4.3), (4.4) по критерию наименьших квадра- 117 тов удовлетворгпот обобщенному уравиошпо Эйлера — Лагранжа (4.11), (4.34) с граничными условнямп (4,36), (4.37), где цв (!) удовлетворяет условию (4.12).
4.4. Достаточные условия в общей задаче оцепиваппя В данном параграфе покажем, что оценки (1~ (!), В~ (!)), являющиеся решением обобщенного уравнения Эйлера — Лагранжа, при некоторых дополнительных предположениях доставляют минлмум функционалу опшбки оцекпваппя вида (4.5). Введем обозначения: я, (х (!)) = Ц з (!) — Й" (х (!)) /й, 1„,; я, (В (!)) = 1 й (!)(1о' чо. Предполо'ким, что вектор-функции Ч"' (х (!), и (!), ю (!), !) в уравнениях' модели ЛА (4.3) может быть представлена в виде ~р" (х (!), и (!), и> (!), !) = Ч'~ (х (1), и (!), !) + 'р" ,(ю (!), и (!), !), где Ч'", (х (!), и (!),г!) есть кусочно-линейная вектор-функция видо Ч'", (х (!), и (!), !) = 4' (и (!), !)х (!) + с' (!), т = 1, 2,..., А!. Отметим, что для модели ЛА (4.3) с кусочно-линейнывщ характеристиками указанное условие выполнено.
Следующая теорема дает достаточные условия минимума в общей задаче оценнвания состояния и идентификации параметров (114). Теорема 4.2 (достаточные условия). Пусть модель оцеинваемой системы (4.3), (4.4) наблюдаема в открытой области У изъюнения переменных х (1), и (!), в (!); оценки (х' (!), йх (!)) являются решением обобщенного уравнения Эйлера — Лагранжа (4 11), (4.34) с граничными условиями (4.36), (4.37). Тогда при принятых предположениях относительно функции Ч" (х (!), и (!), и (!), !) оценки (х' (!), Э' (!)) доставляют минимум функционалу качества оценивания (4.5). Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть оценки (й" (1), йР (!)) являются решением обобщенного уравнения Эйлера — Лагранжа (4.11), (4.34) с граничными условиями (4.36), (4.37). Рассмотрим функционал качества процессов оценивания (4.5) как функцию 7 (!!) конечного момента времени, удовлетворяющую дифферепциальному уравнению вида (4.38) 1 (!) = й (' (1)) + й Ф (1)) с начальным условием 1 (1,) = я, (х (1,)). Рассмотрим функцию — т (1) т р (!) х (!).
118 Эта функция дифферепцируема почти всюду. Тогда ее производная в точках, где ока сусцестзует, записывается в виде — [ — 1(с)+ р'(г) г(с)) = — 1(с)+ р" Цх(г) + р'(г)х(г)Л(439) Интегрируя уравнение (4.39) по отрезку г с== [цо, ~с] для произвольных оценок х (с), 9 (~) с учетом вырансений (4.3), (4.34) и и (4,39) для г (~), ро (о), 1 (~) соответственно, получим — 1 М + ро (0) (Ы + 1(со) — р' 0о) 'х (г ) = сс = ~ ( — дс(У. (с)) — до(9(г)) — р'Я А'(и(г), ~) х(К) + + (ддс (у Я)/д5 ) Х (с) + р' (С) А (и (С), 1) г (Е) + + ра(с) Ч"о (9(с)) + ро(с) со(с)) ссс = ст = ~ ((даос (х (с))/дх (с)) Х (с) дс(о(С)) Ыо(9(С)) + с„ .'- Ро(с) Р (9(с)) + Р (с) с (с)) й (4.40) почти всюду. Применяя формулу (4.40) к оптимальным оценкам (х' (г) ' (0) имеем — 1'(Ы+ Р'М "(0)+1'(4) — Р'(~)х'(~) = сг ~ ((ддс(уо(Г))/дх) хо(Е) л (Уо(С)) ~ (9 (Г)) + с, + о(с) Чс' (9о (~)) ро (с) со(с)),сг Вычитая из равенства (4.41) равенство (4.40) и сучитывая, что (са) Р (са) х (со) = 1 (оо) Р (со) х (со)е получим [ — 1'(М+ р" (гс) хо М[ — [ — 1Ь) + р'ЮхсЬМ = сс ([ оо(9 (Ю)) + р (с)Ч2(9 (К))1 [ оо(9( ))+ с, + р'(с) Ч':"(9(~)Н+ 4 (х(О) — Мф'(О) + + (дя,(.'о Я)/дх) (хсо Я вЂ” х (С))) й.
(4.42) В силу оптимальности функции Я (х (с), 9 (с), Р' (о) по 9 (с), из условия (4А2) и выпуклости функции лс (х (й)) вытекает, что подынтегральное выражение в (4.42) положительно. Следователь- но, имеет место следующее неравенство: — 1а Я + Р' Я х' (г,) ) — 1 (г,) + Р' (1,) х (г,). (4.43) И9 Подставляя в неравенство (4.43) граничное условие (4.36), и,> лучпм 1'т(1~) ~ 1ь(1д или 7 (У'(1), Ш' (1))ь<Р (т' (1) Й(1)) Таким образом, в соответствии с доказанной теоремой оценки (га (1), йо (1)), являющиеся решением обобщенного уравнения Эйлера — Лагранжа (4 11), (4.34) с граничными условиями (4.36),(4.37), доставляют минимум функционалу качества оцепивапия (4.5). Следует отметить, что в общем случае удовлетворение требований оптимальности не гарантирует устойчивость процессов оценивания и идентификации.
Прп этом возникает важная теоретическая и практическая задача установления соотношений между выбираемыми критерием качества, моделью уравнений движения ЛА и ИИП и показателями устойчивости замкнутой централизованной ИОСИП. Задача обеспечения устойчивости систем оценивания состояния и идентификации параметров в достаточно полной мере решена лишь для линейных систем (48). В равд. 4.5 дано обобщение прямого метода Ляпунова для обеспечения устойчивости процессов функционирования 11ОС и ППП ИСТУ ЛА с предсказанием конечного состояния. 4.5. Устойчивость процессов оцсппваяия состояния и идентификации параметров Рассмотрим общую задачу оцениванип расширенно~о всктора состояния и параметров модели ЛА (4.3) по критергно (4,5). Пусть оценки х' (1) удовлетворяют обобщенному уравнению Эйлера— Лагранжа (4.11), (4.34).
Введем обозначеппя: В (1) = (й' Р) р' (1)Г ВВ И) =- Р ° .У (Е И, ), — д * А' (й й ~Н. При этом обобщенное уравнение Эйлера — Лагранжа (4.11), (4.34) записывается в виде з (1) ~- =В й (1)).~ (4.44) Соотношение (4.44) описывает процессы в замкнутой оптимальной подсистеме оценивания состояния и идентификации параметров (ПОСИП). При атом задача обеспечепия устойчивости процессов функционирования ПОСИП заключается в исследовании свойств решений обобщенного уравнения Эйлера — Лагранжа (4.44). Обозначим через $ Яа, 1) решение обобщенного уравнения Эйлера — Лагранжа (4.44), удовлетворяющее начальному условию аа — — з ($р, 1а) вида (4.37). Среди всех решений $ (1) выделим тривиальное решение ~ (1) — = О, соответствующее в установившемся режиме граничному условию (4.36) и пулевому сигналу измерений г (1).
Введем понятие устойчивости трпвиального решения 120 замкнутых систем оценивании состояния и идентификации параметров. Определение 4.4, Тривиальное рошопие ~ (1) —.= — О замкнутой оптимальной системы оценивании состоянии и идентификации параметров, описываомой включением (4.44), пазываотся устойчивым по Ляпунову, если для любого положительного е, как бы мало оно не было, можно подобрать другое полоя<ительноо число б (е), такое, что для всех решоний ~ (~) обобщенного уравнения Эйлера — Лагранжа (4.44), удовлетворяющих начальному условию !! Ь(г.)!! <б при всех Г > 1ю выполняется неравенство !! В Р) !! --. В противном случае тривиальное решение $ (8) ж О называется неустойчивым по Ляпунову.
Определение 4.5. Если тривиальное решение $ (~) = О устойчиво по Ляпунову и если число б ) О можно выбрать настолько малым, что для всех решений обобщенного уравнения Эйлера— Лагранжа (4.44), удозлотворяющих неравенству !! $ (~0)!!» б выполнено условие 1~ш ~(с) = — О, то тривиальное решение ч (~) =: О называется асимптотически устойчивым. Отметим, что для рассматриваемой задачи аналитического проектирования ПОС и ПИП справедливы все теоремы об устойчивости в малом, в большом и в целом решений обобщенного уравнения Эйлера — Лагран'ка, доказанные в гл. 3 для задачи аналптичоского проектирования УП ИСТУ ЛА с предсказанием конечного состояния.
В частности, имеет место следующая теорема об асимптотической устойчивости в целом тривиального решения. Теорема 4.3. Пусть в пространстве В'" существует непрерывно дпфференцируемая по З определенно-положительная функция К = Ф" Д), обладающая свойствами: $) К (с) -» оо пр:; !! '-!! — » со; 2) функция $' ® строго убывает вдоль любого решения ~ (Г) обобщенного уравнения Эйлера — Лагранжа (4.44). Тогда тривиальное решение 5 (г) .== О обобщенного уравнения Эйлера — Легран;ка аспьттотически устойчиво в целом.
4.6. Алгоритмическое обеспечение подсистем оценивании состоянии, идентификации параметров и предсказания конечного состояния Сформулированные в настоящей главе теоремы 1, 2 и 3 опреде:ппот достаточпо общий метод оценивавия негладких динами ческпх систем. Основным преимуществом рассматриваемого в ра боте подхода к аналитическому проектированию ПОС, ПИП и 1ШКС на основе кусочно-линейной аппроксимации нелинейных характеристик является то, что для выбранной модели ЛА и ИИП вида (4.3), (4.4) и интегрального критерия квадрата ошибки оценпванпя (4.5) — (4.7) обобщенное уравнение Эйлера — Лагранжа, описывающее замкнутую систему оцениванпя, может быть решено в замкнутой форме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
