Бек В.В., Вишняков Ю.С., Махлин А.Р. Интегрированные системы терминального управления (1989) (1246768), страница 26
Текст из файла (страница 26)
4.1 задача аналитического проектирования подсистем оценивання состояния, идентификации параметров и предсказания конечного состояния ИСТУ ЛА на основе кусочно-линейной аппроксимации нелинейных характеристик представляет собой вариационную задачу исследования на экстремум функционала (4.5) — (4.7) при ограничениях, определяемых уравнениями модели ЛА (4.3). Заметим, что в рамках подхода к решению задач аналитического проектирования ПОС, ПИП и ПИКС на основе кусочно-линейной аппроксимации нелинейных характеристик, отображения (4.3) — (4.8) удовлетворяют условию Липшпца в открытой области У пространства переменных х (~), и(~), ш (~). Это позволяет использовать для решения задачи аналитического проектирования ПОС, ПИП и ППКС разработанный в гл. 2 метод решения негладких экстремальных задач.
Сформулируем определение решения задачи аналитического проектирования ПОС, ПИП и ППКС. Определение 4.3. Оценки (йэ (г), ш' (~)) Е= И~~ (, Л ) Х Х КС (, А) называются решением задачи оптимального оценивания расширенного вектора состояния и параметров модели (4.3) по критерию качества оценивания (4.5) — (4.8), если существует е) 0 такое, что для любых оценок (й (~), й (~)) с= И" (, В") Х Х КС (, Л'), для которых выполнено неравенство справедливо соотношение 1(с( ),©( ))>1(' ( ), '( )) Ш Пусть р' (!) ~ И" (, В"о). Рассмотрим функци!о Лагранжа для вариационной задачи (4.3) — (4.8): Т(!'(!), о(!)! Р(!)) =('/о) И2(! ) — И( (! )) И вЂ” + !, + (!/о) ~ !)) з (!) — !!с (2 (!), !) П7! —,!!>+ П !З (!) Псе-Ч!!) !(! + !! + 1 Р(!) (г!(!) — ! (2(!), и(!), !)— !а — 6 (2 (!), !! (!), !) Йз (!)) !)!.
(4.1О ) Следующая теорема дает необлодимые условия существования оптимального решения задачи аналитического проектирования ПОС, ПИП и ППКС ИСТУ ЛА (!14). Теорема 4Л (яеобходиосые условия). Пусть модель оцениваемой системы (4.3), (4.4) паблюдаеиа в открытой области У и оценки (х' (!), й!о (!)) являются решением задачи оптимального оценивання расширенного вектора состояния н параметров модели (4.3) по критерию (4.5) — (4.8). Тогда существует такой ненулевой множитель Лагранжа р' (!) ~ И' (, В"*), что выполнены необходимые условия существования зкстремума по 2 (!) и л! (!) функции Лагранжа (4.10), записываемые соответственно в виде !!о(!) ~-й ( т! (йо(!) ~о(!).
Ро(!))) (4.11) О й Т ( о о ( ! ) ~ о ( ! ) Р о ( ! ) ) (4.12) с гранпчныо!н условияип р (! ) =- Р„! (й (го) — !! (х (!о))), р (!!) —: О. (4 13) Здесь введено обозначение я (Х (!),!о (!); р (!)) = р (!) '1' (Х (!), а (!), !) + , (2 (!), ао (!), !). (4.14) Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Х вЂ” пространство, образованное прямым произведением пространств ЮР' (, В") Х Х КС (, В') Х Вг, г" — пространство липшицевыл функций И" (, В").
Рассмотрим отображения <р: У-о- В! и Р: У вЂ” э Уо определяемые выражениями !! <р (х (!), В (!), !) = !!, (х (г,), !,) + ~ д (х (!), .б (!), !) !!!, !, Р (2 (!), 9 (!), !) = Х (!) — Ч"' (2 (!), а (!), !). Отображение Р: с!-о- У и функционал !р: с!-о. В' являются ло- кально-липшнцевыми в открытой области б' С Х. Пространства Х и г являются банаховымп. Таким образом, общая задача !12 оценивании является негладкой задачей на условный экстремуа» решение которой изложено в гл. 2. Пусть (хо (Е), йс" (Е)) — опти мальпые оценки для общей задачи оценивании расширенного век тора состояния и неизвестных параметров. В соответствии с обоб- щением принципа мно'кителей Лагранжа решения негладких задач на условный экстремум (теорема 2,5) существуют такие мноя»ители )ао г= ЕЕ» и уоа с== Ро, не равные одновременно нулю, что выполнены необходимые условия существования экстремума по х (Е) и йс (Е) функции вида со(оо(С) ~о(С).
роо йо) (сс ))„оЦ,ао(Е ) сс — [с(х(Со)) Ц', + (с/о))са») (Цг(Е) — Еса(1о(С), С) [Св-,»»с + Ра с, — Цсо (С)ЦО-«С) »СЕ- (и а(Е) й (С)— — с'(ха(С), и(С), Е) — С (й" (Е), и(С), С) йса(С)). (4 15) Иэ теоремы Рисса об общем виде непрерывного линейного функ- ционала на пространстве непрерывных функций [55) непосред- ственно следует, что функционал (4.15) может быть эквивалентно представлен в виде ~ь(оо(Е) ССсо(С). »са(С) го) - — (»с ) с,о Ц о(Е ) сс — Р(.'(Со)) [1'-с+ (~ссо) >Р ~ (Ц г(Е) — Сс'(х'(Е), Е) Ця,»О + с'о с„ сЕ - Ц иа'(Е) И,',»с)) а -,- ~ »ЕУ (С) (хо (Е) Е (ха (Е) и (Е), Е) — »с (ха (С), и (Е), Е) соо (С)), (4.16) где то (Е) — вектор-строка пэ канонических функций ограниченной вариации.
Повал;ем, что У ~0. Предположим противное: так как уоа ~ О, то функционал с (х' (С), иса (С)) линеен по йс (С) и не имеет экстремума по йс (С). Следовательно, предположение неверно и можно принять )аа = — — 1. В соответствии с теоремой 2.1 необходимые условия существования экстремума функционала (4.16) по х ( ) записываются в виде О с"= Д у (хс (Е) сосо (Е) то (С)) (4 17) Вычислим обобщенную производную по направлению 2'„».~ (Х (С); о о со (С)) функции (4.17) в точке х' ( ) по произвольному направлению а ( ). Имеем сто (йсс (С).
(Е)) (Д (Ро (Е) С[Со (С)с,оо (С)) сх(Ер . »а„(,ао(Е) д с (Е)., о (С)) Е я„ао(йо(С) соо(Е). „о(Е))) (4 18) ЕЕЗ С учетом (4(.18) и свойств 2.4 и 2.5 обобп(энной проиаводной по направлению включение (4 17) эквивалентно неравенству сс О ...~ еоР(( — д;„о(с)а(с):лчо(с) еа„-,од(во(1),(до(с),1)) )с+ с, сс —,' ~ ссоо (1) (о (1) — .
пр (Ч"„,, (С) а (1): Чсй, (с) (== ~ д-(ОЧ" (1'(С) ~'(С) С)Н + 4',„-К,) (Со) а (со). Обозначим через ;,. (()(== л. о ((о (с) соо (с) с) Чс (1) ~- Д„ Чс~ (го (С) Во (С) 1) значениа К;(сс (х' (с), бсо (С), с), Чсф с, (йо (С), йо (Е), 1), при которых в (4.19) выполнено равенство 1 (1 =)( — 4;()) () +5 "«)('()— — '1'„"-,(1) с (1)) + д„-(с,,((о) а(С,). Так как а (с) можно выбирать произвольно, то полон(им а (с) =- у + ~ Ч (т) ест, с ~ [со, 11].
с, (4.21) Так как у и с) (.) можно выбирать независимо друг от друга, то во-первых, выполнено равенство сс (1 1 ( — б„, (1)) ЫŠ— 1 Бо (() Чс-"., (1) + а -к (1,) = О, се сэ (4.23) И4 Здесь 7 Е Л, Ч (") Е— : И"' (Ио, 11), В"). С учетом обозначения (4.21) соотношение (4.20) в(осино записать в виде (1 сс 6( — .-(1)) — ~ "() .-'.(1)+~,;а,(4- св 1 с сс +5 ( — а„-.(с))~ ч() ( а+~ ~" (с)ч(1)— св св с, '1 с с, — 1 ~Ь ' (1) Ч'„; (1) 1 с) (т) Н + о; с (Со) ~ Ч (т) (1т = О.
(4. 22) если полопсить Ч ( ) = О, а у — любым, и, во-вторых, для любого «) ( ) ~= «т ((с„, 1с), с«") имеет место равенство сс сс ~ ( — '>ь(с)) ~ О(«) дт сй -е ~ дтпл(с) с) (с)— 1, сс — ~ с)т» (с) 'Р':-'„(С) ~ «) (т) Ыт + д,„-сс, (1„) ~ «1 (т) йт = И. (4.24) Меняя в первом и третьем членах левой части равенства (4.24) порядок интегрирования в соответствии с формулой Дирихле и обозначая через т переменную интегрирования во втором члене, преобразуем равенство (4.24) к виду 1 с сс () ( а. (с)) с(С) «) (т) с«т + ~ с)тО (г) Ч (т) с, с са сс сс сс — ') () д "(с) Ч'„'-',(с))«)()с) +~ у,„-кз(с)~()б( — с,) С = с ср ст сс =- ~ с(Л(т) «)(т) ит + ~ сЬ" (т) «)(т) = О, (4.25) где Л (т) = ~ (~~ ( — э-„(С)) й — ~ сЕт' (С) «7'-, (с) + д,„-п , (С)~ с(г . (4 .26) Из (4.26) следует, что Л ( ) абсолютно непрерывна на (г„+ос) и Л (с,) = О. Следовательно, Л ( ) — каноническая функция.
Так как т" ( ) также является канонической функцией ограни- ченной вариации, то из (4.25) и свойства единственности в тео- реме Рисса следует, что, Л (т) + те (т) = О,~ Следовательно, т' ( ) также абсолютно непрерывна, а ее произ- водная те (т) = р' (т) определяется выражением сс сс р (т) Ло'(т) ~ ам (с) с(г ) ~ ро(с) Чс,„(с) й+ ~ояссз(с) (4 27) ь Соотношение (4.27) для р«( ) эквивалентно дифференциальному уравнению вида ро(с) „„. (с) а во(с) ср „(с) (4.28) Умножая в (4.28) правую и левую части на ненулевую вектор- функцию с«( ) Е= И" (, сс") и рассматривая точную верхнюю грань по всем элементам из множеств дко л (1се ( )) и д«о«Ч" (й ( )), получим с учетом свойства 2.4 равенство Ея~ (Е) сЕ (Е) ~~(звр ( — ~сЕЕЯЕ) д (Е) — ро (Е) Чсср (Е) сс (Е) .
'д» (Е) Е== с — д >й (хо (Е) ЕЗо (Е) Ч""е(Е) =-дог,Чсо(хо(Е), соо(Е), Е)). (4.20) Правая часть неравенства (4.29) представляет собой опорную функцию мно'кегтва — д~СОй (хсо(Е), йс~ (Е), Е) — р (Е) осе'сМ (хо (Е), йс~ (Е), Е). Следовательно, неравенство (4.29) зквивалентно включению Е,о«)~- д о(хо(Е) сро(Е) Е) ро(Е)д„ОЧс~ (хо«) й,о«) (4. 30) Так как функция д(х (Е), йс (Е), Е) в функционале качеств (4.5) выпукла по х (Е), то справедливо равенство — дк ой (Хо (Е), йсо (Е), Е) — Р' (Е) дсос Чс$ (х' (Е), йсо (Е), Е) = — д"'~с(й (хо (Е) дзо (Е) Е) + ро (е)сЧсо (хо «) й о «) Е)) Тогда с учетоъс обозначения для функции я (Ео (Е), био (Е), ро (Е)) (4.14) включение (4.30) совпадает с требуемым условием (4.1с).
Рассхсотриос необходимые условия минимума функции Лагран- жа (4 тб) по йс (Е). В соответствии с обобщением теоремы Ферма для лсспшпцевых отображений (теорема 2.$) для оптимальной оценки йо (Е) выполнено условие 0 ~- д„,'х,(хо«) йсо«). то(Е)) Вычислим обобщеняую производную по направлению функции Лагранжа Х (х' (Е), сссо (Е); то (Е)) в точке йсо (Е) по произвольному направлению р(е) е= Ие' (, ссс'о). Из свойства 2.4 следует Я~-,О (йсо (Е); (3 (Е)) == зцр ((Я.,, (х' (Е), йсо (Е1, то (Е)),, Р(Е)>:~- (х'«) й'(Е) '(Е))й= й= д- 3(х'(Е) 9'(Е).
то(Е))). Функция то ( ) абсолютно непрерывна, и ее производная почти всюду определяется выражением) ~о (,) ро (.) Следовательно, необходимое условие минимума функции Лагран- жа по оценке йс (Е) записывается в виде сс 0-. 1зпР (( — й„-СО(Е), () (Е)>: й.;Ес, (Е) с= дйсс,л(хо(Е), й'«), Е)) ЕЕЕ— с, сс — р ((р'«) '1';,к (Е), р(Е)>: Ч'$к, «) е=: с„ ~.— д Чс (хо «) йсо (Е) Е)) еЕЕ $16 Обозначим через~ д. «)~=д„й(хо(г) йго(г) Чг"-,,(С) ~ д „,Чго (уо(!), йго(г), ) (4.31) значения д-гг (хо (е), й' (г), е) и Ч71 г (хо (г), ги" (о), г)о при которых выполнено равенство гг] О == ~ ((ф-, (г) + ро (~) г1г'-„'-„(хо (~), йго(1), 1), (1 (~))) ог.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
