Бек В.В., Вишняков Ю.С., Махлин А.Р. Интегрированные системы терминального управления (1989) (1246768), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Предполагается, что вектор внешних возмущений ш (1) есть случайный гауссовский процесс типа «белого шума» с нулевым средним Ч( (1)) = О для всех 1 н матрнцей коварнаций сот (и (1); и (т)) == Д«(г)б (г — т), 'гГ (гг (1)) =- О 132 где К (1) — симметрическая неотрпцательно-определенная 1.
Х 1- матрица. Вектор шумов измерений гг (1) есть также гауссовский случайный процесс тина «оелого шума» с нулевым средним зна- чением для всех т и матрицей коварнаций сот (и (т); о (т)) = Лз (~)6 (г — т), где Лз (Г) — симметрическая положительно-определенная г Х гматрица. Кроме того, предполагается, что начальное состояние х (1 ) есть вектоРнаЯ слУчайнан величина с известным сРедним значением М (х (Х0)) и (х (10)) и известной матрицей ковариацнй соч (х (Ха); х (Х0)) = 5,0. Предположим также, что и (Ф), и (Х), х (т0) некоррелнрованы ме;кду собой. Отметим, что, как было показано в равд.
4.1, указанные предположения не снижают общности постановки задачи. В соответствии с общим подходом к аналитическому построению ИСТУ ЛА с предсказанием конечного состояния, изложенным в первой главе, необходимо найти закон управления и (~) = = и (г (1)) (Г 6:— (1„1у)), доставляющий минимум функционалу качества ~(х(~) и 0) ~) =- 1Х )(фг(х(у, ~ ) ~ р( илп в частном рассматриваемом случае функционалу вида .((х(К), и Я. г) =- М ~('/,)И уа.„Я вЂ” И'ЯхЯ вЂ” й'(гтИЙ„+ з~ + (",) ~ а и .. (с) — ~т(г). (~) — )~(т) Фкп+ ь + П и (~) 6,<п) ~(г1 (5.4) и обеспечивающий устойчивость замкнутой ИСТУ ЛА.
Здесь у,„х (1) — заданное конечное состояние," у (т) = () (1) Р) + 1' (т) 1ЗЗ есть предсказываемое конечное состояние, вычисляемое в ППКС в соответствии с (4.92), (4.93). В (5.4) матрица В, (~) предполагается симметрической положительно определенной, а Б„., ~',), (т) будем считать симметрическими неотрицательно определенными, причем прн т~-+. оо предполагается, что Бм-~- 0 (установившийся режим). Для решения поставленной задачи аналитического проектирования ИСТУ ЛА используется подход, основанный на кусочно- линейной аппроксимации нелинейных характеристик 1', йа уравнений ЛА и ИИП.
При атом наряду с исходной рассматривается вспомогательная задача аналитического проектирования ИСТУ моделью ЛА н ИИП вида В (2) = А» (д)г (2) + В Яи (д) + д (2)и> (2) + с» (2), (5 5 г (2) = Н» (8)х «) + и» «) + д> (д), д> = 1, 2,..., у„(5 6) где каждое из уравнений (5.5), (5.6) имеет место в соответству щей области Х' пространства изменения расширенного вектора состояния л. 5.2. Алгоритмическое обеспечение интегрированных систем терминального управления с предсказанием конечного состояния Основным преимуществом рассматриваемого подхода явля ется возможность получения для выбранных моделей уравнении движения ЛА и ИИП (5.5), (5.6) оптимальных алгоритмов функционирования ИСТУ в замкнутой форме.
Имеет место следующая теорема. Теорема 5.1 (об оптимальных алгоритмах ИСТУ). Для модели уравнений движения ЛА и ИИП (5,5), (5.6) оптимальный закон управления, доставлядощий минимум функционалу качества терминального управления (5.4), имеет вид и' (д) = — В,' ЯВ»т (д) (Яд (д)й'(д) + й «)), (5.7) 2,0 (д) А» (») йо (д) + В» «) ио (д) + с» «) + .с (») В»т (») В д (>) (г «) ц» «) йо «) >г» «)] т =1,2,...,Л', (5 6) (д) В «) 1» (д) Аъ (»») В (д), В (д) В» «) В 1 (») В»т(д),~~ х Ю (д) — В (д) д„>д (д) Р «), (5.9) Я2 (Д) = А (Д) Б (Е) -,'- В (Д) А' (Д) + С «) Д>2 (Д) 6 (Д)— — В,()В" «) В-.'(д)В»(д) 52«), А «) =- —,4» (д) й (д) + Вд (д) В' «) %' (д) В' «) >0 (~)— — Вд «)с»(д) + В» «)~,(~) (уо~> (д) — 1]»(д)] (5.11) с граничными условиями «,) — О»т «) я >г>» «,) ~0 «т) = — В»т (С>)Яду (Узаа «т) — 0( (С>)], «о) Р (» «о))1 5> (~0) ~20 (5 12) (5.13) (5.14) (5.15) где неизвестные эледденты >'д «), Юо «), й «) являютсясоответст- венно решениями матричных уравнений д о к а з а т е л ь с т в о.
Известно (109), что для двух случайных процессов а, !) справедливо равенство М(М(а/И) ™(и). (5Л6) С учетом равенства (5.16) функционал (5А) можно записать в виде Х(х(Г), и(Е), Ю) =Х(ХРХ((~/з)ПУзадРу) Х) (8у)х(8у)— 0 — г)"ЯПзп/г(гг)П+ ЛХ/(( I,) ~М(!!У (г) — О'(г)х(г)— 0 — сР (с) Поко/г (йг)) г(г) + М ((г/~) ~ П и (~) Пако й), (5.17) г (Г~) = (з (1), 4 ~~ Х ( 1г) — непрерывная последовательность сигналов измерений. Докажем вспомогательное утверждение.
Лемма 5Л. Пусть а — случайная величина со средним значением а. Тогда М ( Ц а Щ = П а Па + тг (А сот и). (5.18) Д о к а з а т е л ь с т в о. Запишем М ( Ц а Ц~а ) в виде М ( П а П'. ) — — — М ( П с — а П~а) + П и П'. (5Л9) Известно, что а П-~ — тг ( П а — а Пл) = Вг ( А (и — а)т(и — а)). (5.21) (5.22) (5.28) Отсюда имеем аХ ( П а — и П,а) = тг (Ам((а — а)т(и а))) (5.20) Учитывая, что М ((а — а)т (а — а)) = соу а и подставляя (5.20) в (5.19), получим требуемое равенство. Продолжпм доказательство теоремы.
С учетом (5.18) из (5.17) непосредственно получаем х(х(~) ц(~). ~) = ~)х(('/2)П рэаа(гг) — х:~'(гг)х(хф) — ~1'(1г) ПЯ,у-т- 0 + ( / ) ~ (П р-а (~) — Х)' (Г) *' (~) — А'(1) !(о<и + П и (Х) Пако) й) + Фг —, и ( ~(/,)Я,Д®+(/,)(~~,(г)Ц(г) а5, ь где введены обозначения х(1) = М( Ю/г(1)), ~, (1) = М ((.(1) - * (1)П. (1) — (1))'/г (1)) 135 Найдем выражение для х (1) и Ят (1). С этой целью покажем, что условное среднее х (1) совпадает с оптимальной оценкой х (1) = хе (1) расширенного вектора состояния и неизвестных параметров, формируемой централизованной подсистемой ПОСИП (4.45) — (4.48).
Лемма 5.2. Пусть для модели уравнений дзкження ЛА и ИИП (5.5). (5.6) оптимальные оценки хе (1) расширенного вектора состояния и неизвестных параметров формируются в ПОСИП, алгоритмы функционирования которой определяются соотношениями (4.45) — (4.48).
Тогда для оптимальных оценок х' (1) справед ливы равенства Уо (1) Щ (1)/Х (1)) Я. (1) = М((х (1) — хтз (1)) (х (1) — з" (1))т/Х (1)), т. е. х' (1) есть условное среднее, а Я, (1) — ковариационная матрица ошибок оценивания. Д о к.а з а т е л ь с т в о. Вычислим условную плотность вероятности р 1х (1)/7 (1Ц решения уравнений модели ЛА и ИИП (5.5), (5Л)) и покажем, что оиа является гауссовской и определяется выражением р [х(1)/Х(1)) = „,, ехр( — ('/ )(х(1)— (йз)" и и 1 Я, (1низ х ( 1 ) ) т Я 1 ( 1 ) ( ( 1 ) х ( 1 ) ) ) где х (1) === М (х (1)/7 (1)), причем х (1) = А' (1) х (1) + /3"(1) и (1) + с' (1) + ~, (1) //' (1) %'(1)[з (1)- — Н'(1) х(1) — /~ (1)], Яз (1) =- сот (х (1)/Х (1)), ~, (1) — А' (1) ~, (1) -]- Я (1) А' (1) + С (1) 4?з (1) 6 (1) Я, (1) и" (1) Л (1) П' (1) ~з (1) ° В соответствии с формулой Байеса [1091 имеем р 1х (1)/Х (1)) =- р [х (1), г (1)/Х (1;)]/р [з(1)/Х (1;)] (5.24) для 1„.- 1,.
-~ 11. Кроме того, в силу уравнений ИИП (5.6) и не- зависимости процессов х (1) и и (1) р [х (1), г (1)/Х (1 )1 = р [х (1), и (1)/Х (1;)1 = — [х (1)/Х (1,.) ) р [и (1)/Х (1,.)1 = р [х (1)/Х (1~)1 р,[з (1)— — р х; ! (5. 25) г/' (1) х (1) — Ь" (1)/7 (1;)1, 136 (5.27) Здесь переходная матрица Ф»(/, т) удовлетворяет матричному дифференциальному уравнению ,' — †..
А» (/) Ф' (г, т) (5.28) для всех;, т. Начальные условия для этого уравнения задаются равенством Ф' (т, т) — Е. 11епосредственио из (5.6) имеем М (г (/)/Х (/;)) =- Н' (С) ЛХ (х (/)Я (1;)) + Ь» (1) + +М( ()/2М. (5. 29) Учитывая, что М (и ([)/Е (~;)) = О, М (и ([)/У (~~)) = О (по предполоягению) и подставляя (5.27) в соотношение (5.29), получим для любого Г; < 1 ЛХ (г (/)/7 (/,) ) = Н» (е) [Ф (е ~ е') х (г;) + с [ '1 Ф» (/ т) (Н» (т) и (т) + с' (т)) дт1 + /г» (~) с,.
где введено обозначение й (/,) = М ( (/,)/2 (1,)). (5.30) $37 де запись р»!г (г) — Н» ([) х (/) — Ь (1)Я ([;)1 означает, что в выражение для р [с[ подставлено значение и (г) = з (/) — Н' (/) х (/) — /г ' (г). При этом из (5.24) и (5.25) имеем р [х (1)Я (г)1 = р [х (1)/Е ([;)1 р, [з (/) — Н' (/) х (/)— — а ([)/~ ([,) 1/р [з Р)/2 (~ )1 (5. 26) для г ~ г; ( /р Определим плотность вероятности р [г (/)Я (/,) [. 'Так как шум измерений и (/) есть гауссовский случайный процесс, прп известной реализации х ([) плотность вероятности р [з (~)/2 (/;)1 такяге является гауссовской.
Определим математическое ожидание и ковариациоиную матрицу случайного процесса з (/). Для модели уравнений (5.5) решение х (г) можно записать в виде ( ) = Ф' Р, /,) (/,) + ~ Ф' И, ) [В' ( ) и ( ) + -1- г7»(т)ш(т) лс с»(т)1Ж, »=1,2,...,/»', ~о(Г. (5.32) По определению, коварссационная матрица процесса г (С) име вид сог ( г (г)Я (~с)) = М ((г (г) — ЛХ (г (г)Я (гс))) х (5 3() х ( (г) — М ( (г)я (сс)))т(г (сс)). Подставляя в (5.31) вырансения (5.6) и (5.30) для г(с) и Лс (г (с)'Е (сс)) соответственно, получим сот (г (С)уг(ссн = И ((Н»(С) Ф» (С, Ес) х(Ес) + с + Н» (с) 1 Ф (е, т) (В' (т) и (т) + 6» (т) и (т) + с» (т)) И + сс + гс (с) + ~р (с) — Н' (с) Ф» (~ с.) г (г )— с — Н (г)) Ф (с,т) (В'(т) и(т)+ с (т)) сгт — й (с)) с (Н»(г) Ф (г, гс)х(гс)+ Н (С) ~ Ф'(С,т)(В»(т) и(т)+ +.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
