Бек В.В., Вишняков Ю.С., Махлин А.Р. Интегрированные системы терминального управления (1989) (1246768), страница 34
Текст из файла (страница 34)
«т рассмотрим первоначально задачу ана <алптпческого п оектп ова- УП" условия ш<я ормацпп о состоянии и параметрах пРп отсутствии внешних возмугда<о а ощпх воздействий. 6.2. Алгоритмическое обеспечение цифровых управляющих подсистем ц соо'гветствпи с общей задачей акали пч литпческого проектировавп , зложеннои в гл. 1 рассмотрим м ° . , модель уравнений двн- „ ЛА с кусочно-линейными характерпст <к тиками в дискретной ф рне вида ,,„.+1) =, (х®,.(й), й), « ( (ь) и (й), й) = Ф (Й + 1, Й) х (й) + Ч" (Й + 1, й) и ()~) + , (й), (6') ь - +,..., — 1; х (й) — и-мерный вектор состояь ~„- +1 ... я — 1; ( я«мерный вектор терминального управлепия.
Предо вектор состояния х (Й) доступен непосредственномУ араметры ф (я +. 1, ь), Ч' (Ус -+ 1, Ус), с (й) на каждом ости Я + 1, я) априорно известны. б -одимо паитп закон управления и (х (й)), доставляющпи критерию качества терминального У"Равленп": «1 1 ® ц(ь) й) = Я Ч" (х(к)«и(к),й)+Ч"у(х(яу),я<) (66) п„п в частном случае «ЧГ« (й) ~<) (~~ ) ~~, Щ у (й+ 1) — й(й + 1) ()«+ 1) «=«, ,1(А+1) И'„,<«+н -+ П и(й) Пяю) (6.9) и обеспечнва<ощпй устойчивость замкнутой системы. Сфор«<улироеа«пая задача аналитического проектирования цифровых УП (6.6) †(6.9) является негладкой вариационной задачей на условный экстремум.
Примем следующу<о схему решения указанной задачи. Первоначально на основе изложенного в гл. 2 метода решения негладких экстремальных задач определим необходимые п достаточные условия существования оптимального решения задачи аналитического проектирования цифровых УП для динамических объектов, характеристики которых удовлетворяют условию Лппшица, а также сформулируем условия, обеспечпзающне аснмптотическую устойчивость замкнутых систем. Далее для заданной модели уравнений движения ЛА с кусочно- 155 лннейнымп характеристиками (6.7) и квадратичного критерия „ я качества (6.9) получим алгоритмы функционирования цифровь«х УП Следующая теорема дает необходнмью условия существо» .' ния оптимального решения задачи аналитического проектиро нпя цифровых УП (6.6), (6.8). Теорема 6Л (необходимые условия).
Пусть (х' (й), и' (ус)) я ляется оптимальным процессом для задачи аналитического проз„. тнрования (6.6) — (6.8). Тогда существует такая не равная тождественно нулю вектор функция [р' (й)] = (ро (йо), р' (Л, + 1),..., р' (йу)) Е= Ц!й„йу] что выполнены условия стацпонарностп по х (й), и (й) функция Лагранжа о (хо(й) ио(й). ро(й)) Чс (хо(Л, ) О «== дот»,,.'ь' (х (Л' и. (6Л4) Доказательство. Обозначим через Е,"[й„йу] и Ь~' [й„йу — '1] банаховы пространства измеримых по Лебегу век- тор-функций [х (Ус)] = (х (Л,), х (Ус, + 1),..., х (йу)), [и (Ус)] = (и (й,), и (Ус, + 1), ..., и (Л) — 1)) соответственно. Определим пространства Х, г' ~2 [йод йу] ~~с Ь2 [йо> Лу 11з = ~г [Ло1 йу]' Рассмотрим функционал У: Х-+ В и отображение г": Х-о У, определяемые выражениями оу — « у([х(й)]» [и(ус)], й) = Ч"у(х(йу), йу)+ ~', «1с(х(й), и(й),й)» (6 15) к=-о, Ус ([х (Ус)], [и (Ус)], Ц = х (й + 1) — ср" (х (Ус), и (й), Ус) (6Л6) для всех й Е= [й,, йу — 1] Таким образом, рассматриваемая задача аналитического проектирования УП сведена к негладкой зада че исследования на экстремум функционала (6Л5) при ограниче.
1об — р (й)(х (й — 1) — сс. (* (Л) записываемые в виде (и + и + т) О ~ дрвс»« 'о (хо (Л), и (У ) ро (й)) О - — д л. (хо (У.) ио (У) ° у о (й)) О Е: д ро К (хо (й) ио (Ус); р (й)) для всех й = Л'о, й, + 1, . °, Лу— и » — « Л.) [ 'Я (Чс Ухо(Ус) ио(У) «й) »=», о(й) Л))) (6.10) (Лу — У',) соотношений (6.11) (6.12) (6ЛЗ) 1 (6.17) виях (6.16), общий метод решения которой оторои изложен в гл. 2. тветствни с обобщением принципа .
" Л множнтелеи Лагранжа „я лнпшицевых отображений (теорема 2.5) ема .о) для оптимальных нии х, и ( ) существуют множители Лагранжа !.) ), не равные одновременно нулю, то выполнены УсловиЯ стаЦионарн арности функции вида ~(( о(й)) (ио(й)): (уоо(7с))~(йо(й))) )о(й)'р (хо(й) й) -!- о! ' ч~'. )Р(й) Ч" (х'(й), и'(й), й) + ([уоо(й)) (хо(й+ 1)— о ( о (7с) ио (й) йн) (6.17 ) 8десь запись (, ° ) означает линейный функционал в банаховом пространстве .' (йо й! — 1], порождаемый элементом (уо' (й)]. 7'*'" (й й— Заметим, что для дискретной модели уравнений движенпя ЛА вада (6.6), (6.7) нз условий оптимальности функции (6.17) следует, что Ло (7с) сь 0 для й = йо, йо + 1,..., й! — 1.
Беа потери ;~„о общности примем Х (й) =: 1. Прн атом в соответствии с общим задом линейного функционала в пространстве ~а ]йо й! принимает вид х(х (й), и (й). Р (й)) — Чс~(хо(й~), й~) + о! — о + У (Ч" (' '(й), ио(й), й) — ро(й)(х'(й+ 1) ср (хм (й), ио (й) й))). (6.18) Функция (6.18) в точности совпадает с функцией Лагранжа (6.10).
Непосредственно нз обобщения теоремы Ферма (теорема 21) по- лучаем необходимые условия существования оптимального реше- ния (хо (й), и' (й)) для задачи исследования на экстремум функции (6.18), которые записываются в виде соотношений (6.11) — (6.14), Теорема доказана. Представим необходимые условия существования оптимально- го решения задачи аналитического проектирования цифровых УП в канонической форме.
Введем обозначение: ,'оо (х (й), и (й); р (й)) = Ч" (х (]с), и (й), й) -то (й) о ( (й) (й) й) (6.19) Тогда с учетом определения и свойств обобщенной производнои зишпицевых отображений изложенных в гл (6.11) — (6.14) записываются соответственно в виде ' (й + 1) ~ б,ч„.,М (' (й), и' (й); р' (й)), ро (й) ! — я „ тс ( .о (й ] 1) ио (й + 1); ро (й + 1)), (6 1) 157 где оптимальная последовательность управлений определ яетса из гсловия 0 ~ — д «>У (хо (Ус) ио (Ус).
ро (Ус)) (6.22) а граничные условия удовлетворяют включению р' (У;) ~ до<«>Ч"у (х' (Усу), Усу). (6.23) Систему разностных включений (6.20), (6.21) будем на обобщенным дискретным уравнением Эйлера — Лагранжа дла залачя аналитического проектирования цифровых управля щвх подсистем. Покажем, что ири некоторых дополнительных усл,„ виях решение обобщенного уравнения Эйлера — Лагранжа дост ляет минимум функционалу (6.8). Имеет место следующее утве дени е.
Теорема 6.2 (достаточные условия). Пусть (х' (Ус), ио (Ус)), У, = У;,, !со+ 1,..., !'! — 1, есть решения обобщенного уровне ния Эйлера — Лагранжа (6.20), (6.21) и функции Чсс (х (Ус), Ус) Ч~ (х (Ус), и (Ус), Ус) являются выпуклымн по х (Ус), и (Ус), Тогда процесс ((х'(Ус), ио (Ус))) доставляет минимум функцв. налу качества (6.8). Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы непосредственно следует вз выпуклости функционала (6.8) при сделанных предположениях к теоремы 2.6 о достаточных условиях существования минимума в негладких экстремальных задачах. Таким образом, обобщенное дискретное уравнение Эйлера— Лагранжа (6.20), (6.21) при выполнении условий (6.22), (6.23) определяет необходимые н достаточные условия существования оптимального решения задачи аналитического проектирования цифровых УП.
Однако удовлетворение требований оптимальности необязательно гарантирует устойчивость установившихся (Усу — о. оо) про. цессов. При этом возникает важная задача установления соотношений между выбираемым критерием качества и показателяии устойчивости замкнутых систем терминального управления. Важную роль при решении задачи обеспечения устойчивости замкнутых оптимальных систем терминального управления с предсказанием конечного состояния играет прямой метод Ляпунова исследования решений обобщенного дискретного уравнения Эйлера— Лагранжа, описывающего замкнутую систему. Отметим, что все теоремы прямого метода Ляпунова для цифровых оптимальных систем терминального управления являются естественным обобщением их непрерывных аналогов (теоремы 3.9 — 3.16) на дискретный случай. Ниже сформулируем условия асимптотической устойчивости нулевого (тривиального) решения обобщенного дискретного уравнения Эйлера — Лагранжа в целом.
Предположим, что включение (6.22) может быть разрешено в явной форме и~ (А) =- ио (х' (Ус), р' (Ус)). При этом обобщенное дискретное уравнение Эйлера — Лагранжа (6.20), (6.21) можно за- 156 „ в виде всать ~ (й + 1) Е— : (В (й), к), Й Е= Ью + ) (О. 24) »яичным Усл"в"ем ь (й ' ">) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
