Бек В.В., Вишняков Ю.С., Махлин А.Р. Интегрированные системы терминального управления (1989) (1246768), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Здесь введено обозначение ( ет (й) Рет (й))т Обозначим через ь Й ("о) ) = Ь (Й) Решение обобщенного уравквя Эйлера — Лагранжа (6.24) удовлетворяющее начальному овию ь (йе) 1)вод™ определение устойчивости и асимптотнчеойчивости нулевого решения.
евой У Определение 6Л. Нулевое решение ~ (й) = О называется усйчивым по ЛяпУновУ, если для любого з ) О, как бы мало оно "было можно подобрать другое положится~но~ числ~ б ( ) кое что для всех Решений $ (а) обобщенного уравнения Эй. Лагранжа (О ), для которых в начальный момент времени олняется неравенство йе в 11 ф (яе)(1 ~( б прн я всех й ) яе бУдет выполняться условие ~~ ~(Ц1 <' ц противном случае нулевое решение Ц (й) ан О неустойчиво. Определение 6.2.
Нулевое решение Ц (7с) = О называется асимпически устойчивым по Ляпунову, если оно устойчиво по Ляпу„в н для всех решений обобщенного дискретного уравнения Эйчера Лагранк;а (6.24) число б ) О мо'кно выбрать настолько и„льш, что выполняется Условие И„уй) = О. » со Имеет место следующая теорема об асимптотической устойчивости замкнутой цифровой системы терминального управления. Теорема 6.3 (об асимптотической устойчивости).
Пусть в пространстве Ае" решений обобщенного дискретного уравнения Эйлера — Лагранжа (6. 24) существует определенно-положительная функция У ($ (й)) =- У» ($), обладающая следующими свойствами: 1) У» ($) непрерывна и однозначна; 2) У» Я) — э оо при !/ $ ~1 -+. со; 3) У» ($) строго убывает вдоль любого решения, т. е. ЛУ» й) = У», Д) — У» К) ~ О. Тогда нулевое решение 5 (й) ан О обобщенного уравнения Эйлера — Лагранжа аснмптотически устойчиво в целом. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть з ) Π— пронзвольпое сколь угодно малое положительное число, 1 — точная нижняя грань Функции У» (с) на сфере 1 $ ~~ = з, т. е. 1= 1п( У»®==.О.
~Ц=е Й=Й„Й,+1,...,Й,— 1, (6,25) Для любого решения $ (Й) вкзючения (6.24) на сфере радиусом выполнено соотношение сом з Г.„Д) ) Х. Поскольку функция Ул. Д) непрерывна и обращается в нуль только в начале координат, то найдется такое малое положит ное число 6 (е) ) О, что г'л ($) ( 1 для всех решений, для ко рых ( $ ~~ < 6.
Выберем начальное условие $ (Йе) так, 1! В (Йе) !! ~(6. При атом 1~'о (В) (1. Так как рл Я) не возрастает вдоль решений, то при всех Й Е= (Й„+ос) л' л (Б) ~( гл. (ь) ( л. Отсюда следует, что при всех Й ~ (Йю +ос) П В ($ (Йе), Й) П ~< е, причем в силу условия 2 решение ь Я (Йе), Й) ограничено. Прв атом пз определения 6.1 следует, что нулевое решение ~ (Й)= О замкнутой оптимальной системы устойчиво по Ляпунову. ц и условия 3 теоремы следует, что Пш ~ (Й) = О.
лСледовательно, решение ~ (Й) = О асимптотическп устойчиво по Ляпунову в целом. Сформулированные теоремы 6.1 — 6.3 определялот достаточно общий метод аналитического проектирования цифровых УП си- стем терминального управления ЛА с предсказанием конечного состояния.
Важным является то, что для лшдоли уравнений дви- жения ЛА с кусочно-линейными характеристиками (6.7) и квад- ратичного критерия ошибки терминального управления (6.9) раз- работанный метод позволяет аналитически определить алгорит- мы функционирования цифровых УП в замкнутой форме и (Й) = = и (х (Й)). Имеет место следулощая теорема. Теорема 6.4 (алгоритм функционирования). Для выбранной модели уравнений движения ЛА с кусочно-линейными характе- ристиками (6.6), (6.7) х (Й + 1) = Ф (Й + 1, Й) х (Й) + Ч' (Й + 1, Й) и (Й) + с (Й), Йр Йе + 1 ° ° Йт — 1, н заданного квадратичного критерия ошибки терминального управления (6,9) л! — 1 7 (х (Й)~ Н(Й)э Й) ( /е) Х (!! реад (Й гл 1) — Й (Й + 1) х (Й + 1)— а=л-, в л1 (Й+ 1) Пакл+л) + П и (Й) Плена>) оптимальный алгоритм функционирования УП и (Й) = и (х (Й)) определяется соотношением и (Й) = Я (Й) х (Й) + Ь (Й), 160 элементы Б (с) и (й) являдотся решениями с где э „.
уравнений: пнями следующих ререитиых .г(Л) = — '" (Й)+ Ч'(й+1 Й) Р,(/-+1) Ч (Й+1, Й)[- ~ ~ Чгт (/с + 1, /с) Р, (/с + 1) Ф (й -[ 1 Й) (6.26) Р (ц = Фт (/с + 1 /с) Рд (/с + 1) [Ф (/с -[- 1, Й) [ др (/, [ + 1, Й) ~ ( с)[ + (Й + 1) ~/~ (Й) Р (Й + 1) (6.27) ,1 (Й1 = — [// (/с) + Ч" (/с + 1, /с) Р, (й + 1) Чс (/с + 1 Й)[-д, Х Чд (Л + 1, Й) [Р, (й + 1) с (й) + /а (Й + 1)) (6 23) (Й) = [Ф (/с + 1, /с) + Ч" (/с + 1, /;) Л' (Й)[г [Р (/, [ 1) с (й) + Л' (/с + 1)[ — Рт(/с) ~'/ (/с) [Уа,„(/с) с/ (/)[ 6.29 сг рани1дными условиями ( ) Р, (Й/) = Р (/с/) 0 (Й/) Р (Й/) (6.30) лд (/„) = — Рт (/0) с,/д (/с/) [уаоо (Л/) — с/ (/с/)[. (6.31) д о к а з а т е л ь с т в о. Следуя теоремам 6.1 н 6.2 сформи„, для рассматриваемой эадачи аналитического проектирова„„в управляющих подсистем (6.6), (6.7), (6.9) функцию Лагранжа; л -д 2(х (/с), и (/с); Р (Й)) — — — Х (('/,) (Цуа,„(й+ 1) — Р(й+ 1) х(/с+1)— л л, — с/(/с -[- '1) [~окса д + Ц и(/с) Цикл>) — р (/с) (х(/с+ 1)— г[д (/с + 1, /с) х (/с) — Ч' (Л + 1, Л) и, (й) — с (й))) .
(6.32) При этом соотношения (6.11) — (6.14) в моменты дискретности формирования сигнала управления принимают вид Ад (й,) и (йо) + Ч"г (йо + 1. йо) Р (йо) = О х (Й, + 1) — Ф (Й, + 1, Й,) х (й,) — Ч' (Й, + 1, Йо) и (Йо)— — с(й,) =- О, Вд (йо + 1) и (Л'о + 1) + Ч'т (Ло + 2 йо + 1) Р (Йо + 1) = =О 1 х(йо+ 2) Ф(Ло+ 2,/"о+1)х(йо+1) — Ч (Йо+ 2, йо + 1) и. (йо + 1) — с (йо + 1) = О, — Рт (йо + 1) ~д (/со + 1) [Уаад (Йо + 1) Р (Йо + + 1) х (Ло + 1) — д/(Й + 1)[ — /д (йо) + Ф (/со+ 2 Йо + +1)Р(/с +1) =О, б Зааоа са 2876 161 табдица б.1 Алгор««гы««четкое обеспечение уираплнюип|х подсистем инфропых )(Сту Лй с ире:Юкаэаннеы конечного состояния Мод|ль ооьеьта тираилсиия х(у| + 1) = Ф <А ь 1, У|)и<й) + Ф(1' + 1.
й)и(й) + с(й! Модель предскаэынаеьюго конечного состоянии «'<й) = В<йвдИ + су(у«) Критерий качестич У<х(И, и<й)) = (1УЗ) «<ЗР (й+ 1) — 0(й+ 1)х(у| «-1) — «У<й+ 1)))| + ((и(й (<| | <у<ы)и))и|) длгоритл| терыннального >'праиления и<У') = яй)х(й) + д<й) Урапнения для коэффициентон Я(И = — (Я«(И ь Фг<й+ 1, ИР,<й+ 1)йут+ 1, У||Г' Фт(у|+ 1, У|)Р,(й + 1) Р, <й) = Фг<й + 1 ИР, (й)(Ф(й + 1, й) + Ф(й ь 1, й)З(й)) + В~(И«е,<й)О<У«) Ь<У«)= — (Я«<й)+ Фг(у «-1 й)Р,<у ы)Ф(й+1 У)) 'Фг<й+1 Уг)(Р <й+1]с<й)+ У«у(у««и) Х(У ) =!Ф<У| + 1, й) + Ф<У|+ 1, У«ю(И) | (Р| <й+ 1)с(й) + и (й+ 1)) — У)г<У«)<С| уй)(У.„а(й)— — |У(у|!) Граничные услаяия Р, |й, ! = В' |Уы)ГС, (у«~)у)<у«,), уу(й,) =.
— 0'<йу)(р,„,,<у~у) — с(<уй!) В, (Лу — '1) и (Л! — 1) + Чут (Лу« Лу — 1) р (Лу — 1) = О, х (Л!) — Ф (Лу, Лу — 1 ) х (Лу — 1 ) — Ч" (Лу, Лу — 1 ) и ()су— — 1) — с (Усу — 1) = О, — В (Л, — 1) Е, (Л! — 1) (уэа. ж — 1) — В ж— — 1) х (Л ! — 1) — д (Лу — 1)) — р Ц вЂ” 2) + Фт (Лу, Ус!в — 1) р (Л, — 1) = О, Рт (Л ) (,у (Л) [у,т (Л) — 1:) (Л) х (Л;) — (1 (Лу))— р(Л! — 1) = О. (6.33) Рассматривая уравнения системы (6.33) при Л = Лу, Л! „... . Ла + 1, Л'„, по индукции получаем требуемые соотношения (6.25) — (6.31), определяющие алгоритм функционирования УП систем терминального управления с предсказанием конечного состояния (табл. 6.1).
С целью улучшения динамических свойств процессов терминального управления при синтезе алгоритмов функционирования цифровых УП используются более общие квадратичные функционалы качества, например, вида йу — 1 1 (х (Л + 1), (Л), и (Л)) = ( у<э),~Я (<< уэлд (Л + 1)— й=й« 162 р(й+1)х(й+1) — /(й+1)[[нкн, +[[ ...(й -2)- р(/с +4х(й + 2) — "(й+ 2Н[окн >+ [[и(/с) [[лкн>Ь /7 положительно-определенные симметрические мат- 1 где0> ~/"„>>х >созффициентов. Таким образом, цель управления Рва „в поддернсании ошибки терминального управления ы весовы ' лак за вблизи положении Равновесии пРн минимизации за.„„,чается прогноз к ге ' разлепив.
Для модели (6.7) ЛА с кусочно-линей- тРа,а актеристиками и квадратичного функционала качества и"и, + 1) х (й), и (й)) пРедложенный метод аналитического 1(х(л о ения систем терминального управления с предсказа- пР конечного состояния позволяет опредечить в замкнутои итмичоское обеспечение цифровой УП, Справедливо , щее утверждение. б 4А (алгоритмическое обеспечение УП). Для моде- А „сочно-линейными характеристиками [ 1) — Ф (/, + 1, й) х (/с) + Ч" (й + 1, /с) и (й) + с (й) х (1'+ п авчения и' (/с) = — и' (х (/с)), доставляющий л>инин>ум т качсст>ш терминального управления функционалу >'>-> /(х(й),и(й)) (' ') Т ([[у а.(й+1) — Р(й+1)х(й+ 1)— л.=л, — с/ (/с + 1) [[>с к н „> + [[ у >з, (/с + 2) — Р (й + 2) [Ф (й + 2, й + > 1) х (й; - '! ) + Ч' (й + 2, й + 1) и (/с + 1) + с (й + 2))— — о> (й + 2) > ~>л>н.>г> + 1! и (й) [[вкн>) описывается выражением и' (й) = Б (/с) .с (/с) + Ь (/с), ими авнениями: Б (/с) и Л (й) определяются следующими ур Я (/с) = — (Я, (/с) [ ~У'т (й [ 1 й) [Р (й [ 1) [ Рт +1)02(/с+1)Р(й+1)[чс(/с+ 1й))1Ч>г(й+ + 1, й) [Р, (й [ 1) ( Рт (/с [ 1) Р ( й 1 Р(й+ + 1)[ Ф (/с + 1, й), сл (й) = — (Л, (й) + Чсг (й + 1, й) [Р, (й + ) г (й+ 1) [ Рг(й[ + 1) О, (/ + 1) Р (/ -[- 1)[ Ч (й + 1, й))- Ч (й+ 1, й) Х х Ф(й+1)+[Р,(й+1)+Р ( + )Е, .
+1) Р (/с+1)) с(/с) — Рг(й+ ) О,( г . 1 /с -[- 1) [у.„„(й + + 1) — с8 (й+ 1))), — 1, 1 + рг(/с+1) а(й+ > (й) = Фг (й + 1, /с) [Р, (й + ) Ч' й+1,й)Я + 1) Р (й + 1)) [Ф (й + 1, /с) + Ч' ( ' + рг (й) ~/, (й) р (й), юз Ас (Й) [ср (й + 1, й) -[- Чс (й + 1, Й) Я (Й)[т (Лс (1с + 1) -[- .. [Р (й [ 1) + 17т (й + 1) Ч (Й + 1) П (Й + 1)) с (й) от (й + 1) с7, (Й + 1) [у„, (й + 1)— ,1 (Й + 1)[) от (й) 0л (й) [у,,„(й) — [ ([с))— с граничными условиями Лл (/с) = О, Р, (Йс + 1) = О, Ас (йс + 1) = О. Доказательство проводится по аналогии с доказательст теоремы 6.4. Отметим, что реализация полученных алгоритмов связана с не обходимостью точного задания момента й~ окончания процесса наведения, априорного знания параметров Ф (Й + 1, й), 1[л (й+ + 1, й), с (й) кусочно-линейной аппроксимации на каждом шаге дискретности, решения рекуррентных уравнений (6.26) — (6.31) в обратном масштабе времени й = йс, йс — 1,..., й, и запоминания элементов Лл (Й), Р, (Й), сл (Й), Я (Й), которые использулотся для реализации алгоритма терминального управления (6.25) в процессе функционирования системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
