Бек В.В., Вишняков Ю.С., Махлин А.Р. Интегрированные системы терминального управления (1989) (1246768), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Заметим, что соотношения (6.55) (6.57) определяют функционал качества критерия наименыв . енывих квалратов, который при соответствующем выборе матриц веса весовых коэффициентов У о == 1'х~~ Усо = 1 г~ Оо = 1 ш~ и 119ЕдПОЛОжЕНИИ О ГаугСОВОСти ВЕКтОрОВ Х (й,), ССС, Сс СОВПадао с критерием качества максимума апостериорной плотности роятности И08]. Сформулированная задача является достаточв общей и позволяет охватить одновременно задачи аналитического проектирования как ИОСИП (й = й/), так н ППКС (й) й/). Для решения поставленной задачи применим разработанный в гл. 2 метод решения негладких экстремальных задач.
В дальнейшем будем предполагать, что для модели уравнений движения ЛА п 11ИП (6 49) — (6.52) выполнены сформулированные в равд. 4.2 критерии глобальной наблюдаемости. Имеет место следующая теорема об условиях существования оптимального решения общей задачи оценивания расширенного вектора состояния (6.49), (6.50), (6.55) — (6.57). Теорема 6.6 [114. 115] (необходимые и достаточные условия). Пусть модель дискретной динамической системы (6.49), (6.50) глобально наблюдаема и последовательности оценок (хо (Л/Л/) /' с=' [Ло~ /0]) ~ Ь, [/'о //] (сссо (Л.,сй/), й ~ [Л „Лу — 1]) — Е,,' [й„Л! — 1], являются решением задачи оценивания расширенного вектора состояния и параметров (6.49), (6.50), (6.55).
Тогда существует множитель (ро (й)) ~ Ь", [й„йс] такой, что для функции Лагранжа ,К (хо (Л/'й/), Во (й,сЛ. ); ро (й)) = д, (хо (Цй/), й) + +,'~, (л(х'(й + 1[й/), в'(йуй/), й) — р'(й) ('(й+ 1/й/)— — ср (хо (йсй/) сс (й) асо (й/ й/) й))) (6.58) выполнены необходимые услови ц р я ста ионарности по переменным ав'о (й) ' (й) записываемые в виде обобщенног д р ого иск етного ур нения Эйлера — Лагранжа Х~(й+ 1,/й/) ~==д.<осло(хо(й/й/), сЭ ( / /), р ( )), -ойй оу (6.
59) Р'(й) СУИСС+1/О,)ЮО(Х ( + с' д х' й 1/й), асо(й+ 1[й/), р'(й+ 1)), (6.60) йя [йао й, — 1] 170 (6/62) ЛУ, й) А Ря„(~) Ря (~) ~ 0. Тог аеямпто егда тривиальное движение $ (/е) = 0 цифровой ПОСИП татически устойчиво в целом. Д'назательство аналогично доказательству теоремы 6. 171 уии условиями гг ,нячнуи ,(3)) = 0, 71 (ху (Л,//г/), Ы' (/еа//г/), 1" (3'я)). (е!. 6 ! ) 3с--с3„са,/а ) ею ' е '3 ' чения сне (lе/й/) определгиотся из Усассапасас 3деса аначени 333' (хе (/г/3./), гля (/г,//гг), р" (/г)), где яяед дену обозначения ,3 ( е (й/1, ), где (/г//е/), р' (lе)) ==- д (х' (/е//г/), гпе (И3гг), ц !. ра (/е) ср' (хе (й//гг), и (/с), ш' (И/г/), Й), (,е (ь„/3,,), Э (/ее/3;/), р' (/ее)) = ьсс (Х' (3 сс//г/), йе) + + я (с", е (/ее/3е ), /ге) + ре (/ге) ср" (хе (/г,//с/), и (/ге), ш' (3ге/йг), "е) аеяя, кроме того, функции яо (х' (/ее/1ег), /г„) и й (х (И/е/), йс' (И/е/), !) анпуклу по своим аргументам, то оценки хе (И/ег), сс'е (И/г/), явмвщнеся решением обобщенного уравнения Эйлера — Лагранжа !г,50) — (6,62), доставляют минимум критерию качества оценпва- яяя (6,55) Д о н а з а т е л ь с т в о теоремы проводится аналогично дО аааательству теорем 6.), 6.2.
Днснретное обобщенное уравнение Эйлера — Лагранжа (6.59), (О0) определяет замкнутую цифровую подсистему оценпвания гестеяння и идентификации параметров (ПОСИП). При этом за- нча обеспечения устойчивости ПОСИП заключается в определе- нен соотношений между выбираемым критерием качества и пока- аателямв устойчивости подсистемы ИОСИП на основе исследова- аяя решений дискретного обобщенного уравнения Эйлера — Лаг- Раняся (6.59), (6.60). Имеет место следующая теорема.
Теорема 6.7 (об устойчивости ПОСИП). Пусть в пространстве 3)с" Решений $ ($ (3ее), /е) = ((Х~ (/е//е )т, (Ре (/е))т)т обобщенного !Развевая Эйлера — Лагранжа (6.59), (6.60) существует опреде- аеяно-положительная функция Р (К (/е)) = Т', ($), обладающая гаеяуяащнми свойствами: !) г'а Я) непрерывна и однозначна; 2) )/а Я)-а- оо при )) $~~-+. ОО' 3) !', (~) строго убывает вдоль любого решения $ ($ (/ее) /е)~ Сф ормулированные теоремы 6.6 и б.с опРеде~гают достат ъ 1 ! анно общий метод) «палигического проектирования И 1С, ИИИ и И!!(!6 О иоки,1с 11,1 имущество указанного метода шиыиочается в тои, для зс кн ос й травпений движения ЛЛ, И И ! ! с кусочно-лыыейаи инн . тракт !ш<тиками (6,ой) — (6.'к ) и квадратичного критерия честна оцс ниваиия (6.55) — (6.57) метод позволяет определить в нв.
ной форме алгоритмы оптимального фуиьциш'ирования !)66 ИИИ и ПИ!(С. Рассмотрим первоначально задачу аналитачеснс. го проектирования цептрализоваинык ПОСИ!! (/с -.= Л ) и место следун1щая теорема. Теорем» 6.8 (115) (алгоритмы ПОСИП). !!усть моде ц р ний движения ЛА и !ГПП (6.49) — (6.52) глобально набл„„ Тогда последовательность оценок х (Л/А) расширеиног состояния и параметров, доставляющая минимум функ н~„~„~~ (6.55) — (6.57), определяется соотношениями 2 (/с + 1 Л' + 1) = Ф (й + '1, Л') .г (/и/с) + Чс (Л' + 1, Л) и (/с) + с (Л) + Е (й + 1) (г (Л' + 1) — Н (/с + 1) (Ф (/с -)- + 1, Л) х (Л''Л) + Ч' (й + 1, Л') и (Л) + с (А)! — /с (й -(- 1)), (6.63) Н (Л + !) = Р (/ + !.А + 1) Нг (А + !) //,' (/с + 1), (6,61) Р (Л- + ! /Л + !) .=- (/ - (Л + 1/Л.) + Н (А.
- - 1) Н;,' (А + + 1) Н (Л + 1)) ', (6Я) Р (/с + 1,'Л) = Ф (Л + 1, Л) Р (А//с) Ф» (А. + 1, /с) + Г (/с + + 1 А) Л), (А.) Гг (Л. + 1 Л.) (6.66) с начальными условиями х (/с,/Л,) = Р (* (Л.,)), /' (А,/Л ) = Р . (6.67) При атом оценки 2 (Л//с) являются несмещенными и замкыутза ПОСПП, описываемая соотношениями (6.63) — (6.67), асимптетаческп устойчива в целом на бесконечном интервале (/с/-+. ») Д о к а а а т е л ь с т в о. Оптимальная последовательность оценок х (/с//сс) в соответствии с теоремой 6.6 является решенаеы дыскретного обобщенного уравнения Эйлера — Лагранжа (6 59) (6.60), которое для модели уравнений движения ЛА и ИИ" (6.49) — (6.52) и критерия качества (6.55) — (6,57) принимает вад х (/с + 1/ЛЧ) = Ф (/с+ 1, й) х (/с//с/) + Ч" (й + 1, й) и (/с)— Г (/с + 1 /с) ()н (/с) Гт (/с + 1//с) р (/с) (6 66) р (/с) = — Нг (/с + 1) Н,' (/с -1- 1) (з (/с -)- 1) — Н (/с + + 1) х (/с + 1//с/) — /с (/с + 1)! + Фг (/с + 2, /с + 1) р (/с+ + 1) 1 /с я (/снф /сс 1) ° (6,Й 172 с гд" яичньсми уелевинм ('.
» где х (й,/йо) = /с (х (/с )), Р (й /й ) = Р,, Подставляя в (6.71) соотношения (6.72) н (6,73), получиос х (й, + 1,'/с„+ 1) = — (Ф (/с, + 1, /с,) Р (йо/йо) Фт (/с, + -(- 1, й„) + Г (й, + 1, й,) ~/, (/с,) Гт (/с, + 1, й,)) р (й,) + + Ф (/со + 1, йо) х (/со/йо) + Чс (йо + '1, /со) и (йо) + + е (йо) = — Е' (йо + 1/йо) Р (йо) + Ф (йо + + 1> йо) д (йо/йо) + Ч' (йо + 1ю йо) сс (йо) + е (йо) — Н (йо + 1) х (йо + 1/йо + 1) — Ь (/со + 1)1 + Ф (йо + + 1, йо) х (йо/йо) + Ч' (/с„+ 1, йо) сс (йо) + е (йо) Решая ато соотношение относительно х (йр + 1/йо + 1) получая Х (й + 1/й, + 1) = Ф (й, + 1, й,) Я (й /й ) + Чс (й + + ~ /со) и (/со) + с (йо) + Е (/со + 1//со + 1) Н (йо + + 1) Ло (/со + 1) (Б (йо + 1) Н (йо + 1) (Ф (йо + + 1, /со) х (йо/йо) + Ч" (й, + 1, й,) и (йо) + е (йо)) — Й (й, + 1)), (6./4) где Р (й, + 1/й < 1) А (Р-' (й, + 1/йо) + Н (йо + 1) Но' (йо + о о о (6.75) + 1) Н (й, + 1))-т, 173 6 =- Е',' (' (й, '/7) — М ( (/'.))) + 1" (/'.
-' В, /;о/ / (й,) „ , (й ) — !). При й .=/со+1 имеем (,+1) = » х (/со + 1/йо + ) =- Ф (йо + 1, йо) ~ (й,/й, + 1) + Чс (йо + 1, йо) и (й,) + е (й,) — Г (/с, (- 1, /с,) О„(й,) Гт (/,, + + 1 /со)~ (6.71) р (йо) = — Н (йо + 1) Но (/со + 1) (х (й + 1) — Н (й -~- + 1) х (й„+ 1/й, + 1) — й (йо + 1)), (6.72) х (/с /й + 1) = х'(йо/й ) + Р (й /й ) Фт (й + 1, й ) Р (й ) (6.7З Р (Л, + 1,'Л.,) = Ф (йо + 1, йо) Р (йо/йо) Фт (йо + 1, йю) + Г (Ло + 1~ йо) Ою (Ло) Г (Ло + 1ю йо)~ (6 76) х (йо/Ло) = [л (х (йо?) Р (йо/йо) = Ро. (6.77) Для йс — — й, + 2 соответственно имеем Р(Л,+2)=0, х (йо + 2/Лю + ) = Ф (йо + 2, йо + 1) х (/со + 1//со [ 2) + + Ч" (й, + 2, Ло + 1) и (й, + 1) + с (й, + 1) — Г (/с [ 2 /, + 1) с,со (Ло + 1) Г (йо + 2, /со + 1) р (йо + 1) (6 78) х (йо + 1/йо + 2) = Ф (/со+ 1, йо) х (йю/йо + 2) + Чс (й, [.
+ 1, йо) и (йо) + с (Ло) — Г (йо + 1, /со) 0о (йо) Гт (йо + + 1 Ло) Р (йо) (6.79) Р (йо -т- 1) =. — Н (йо + 2) Ню' (/со + 2) [г (йо + 2) — Н (/с, + + 2) х (йо + 2/йю + 2) — й (/со + 2)), (6.80) р (Л,) = — Нт (Л, + 1) Л;" (й, + Ц [ (й, + 1) Н (й + + 1) х (Лю + 1/Ло + 2) — й (йо + 1)) + Фт (й, + 2, й, + + 1) р (й, + 1), (6.81) ( сю' 'о л ) х (Ло/Лю) Р (Ло/йо) р (Л'о [ 1 ~ /сю) Р (йю)~ (6,82) где " (/<.'Л.) = [с (х (й.)), Р (Л.//с.) =- Р .
Пз (6.74) непосредственно получаем Нг (/с, + 1) Н,.' (й, + 1) [г (й, + 1) — й (йо + 1)) = Р (й + 1/йо+ 1) [х(йо+ 1/йю+ 1) Ф(йю+ + 1, Ло) х (йо/Ло) — Чс (йо + 1, Ло) и (йо) — с (йо)[ + + Н (/со+ 1) Нг (/со + 1) Н (йо + 1) [Ф (йо + — 1> йо) х (йо/йо) + Ч" (йо+1, /со) и (Ло) +. (йо)[ (688) С учетом соотношений (6.83) лл (6.75) преобразуем уравнение (6 81) к виду р (йо) = Фт (йо + 2 йо + 1) р (йо + 1) + Р ' (йо + 1/йю + + 1) х (йо -, 1/йо + 1) — Р ' (йо + 1/йо) [Ф (/со + + 1, й,) х (й,/й,) + Ч" (й, + 1, /с,) и (йо) + с (й,))— Нт (й, + 1) В,' (й, + 1) Н (й, + 1) х (/с, + 1/й, + 2). (6,84) )уодставляя ( ° ' ° "спользуя Уравнения (6,76) я (6 82) 6.84) в (6.79) и ис получим д: (ус + 1/усо + ) =- ' (усо + 1//со) (Фт (ус + 2 ус х р (Й~ + ц + Р (усо + 1/усо + ц Х (ус, г 1/у,, + +Ц вЂ” Л (~о+ ЦЛо (Усо+Ц Н(/с +ц„...(у + + 1/Л, + 2). розрегпим зто УРавнение относительно х (ус ~- 1/у, ~ 2 о о+ ) Ре- Зультате имеем х (усо + 1/усо + 2) = Р (усо + 1/усо + ц Фг (ус + цр (/со+ ц+(/со+1//со+ ц (6.83) Подставляя (6.85) в УРавнение (6.78) с учетом соотношения (6.80) окончательно получим Х (ус, + 2/усо + 2) .= Ф (усо + 2, ус, + ц х (ус, + 1/ус, + ц -~- +Ч" (/со+ 2, у;,, + 1) и(/со+ ц+ с(/со+ ц+ Р(у, + 2/усо + 2) уут (усо + 2) Ло (усо + 2) (з (ус, + 2) — Л (усо + 2) (Ф (усо + 2, усо + ц х (усо + 1/усо + ц + тг (усо +: ус~ + ц и (ус, + ц + с (ус + ц] уг (ус + 2)), где Р(/со + 2/Усо ~ 2) = (Р ' (Усо + 2/Ус, + Ц + + Н' (/со+ 2) Л,„'(Ус, + 2)УУ(/с, + 2)) ', у (/со+ 2у /со+ ц = (/со+ 2 "о + ) (усо 'г 1,'усо ~ ц Ф ("о+ ус,+ ц+ Г(у, + 2,/с, + ц(/(ус,+ цГ (Л,+2,/с,+ ц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
