Бек В.В., Вишняков Ю.С., Махлин А.Р. Интегрированные системы терминального управления (1989) (1246768), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Внполняя аналогичные преобразования для усу — — /со+ 3, /со+ 1 4, Ус + 1, по индукции получаем требуемые соотношения (о 63) — (6 67) для последовательности оптимальных оценок, ко- торые определяют алгоритм оптимального функционирования ПОСИП (табл. 6.3). Покажем что замкнутая ПОСИП описываемая соотношения нп (6,63) — (6.67), при условии -'г-' (х (усо)) = М (х (ус,)) = гг (х (усо)) (6.86) формирует несмегценные оценки, т. е. М (х (ус)) = М (х (ус)) чвслнм значения М (х (ус + ц) и М (х (усо + 1/усо + ц) в момент времени ус = гсо .+ 1.
С учетом уравнений (6.49), (6.63) имеем ® (х ("о + Ц) = Ф (Усо + 1~ Усо) М (х (Усо)) + Ч ("о + +1, Усо) и (усо) + с(усо), (6.87) 175 Габлссца аз. алтоРитм ФУсгкцссоссссРовангсл цифРоных сгосссссстеьс оиснинаииа гостонниЯ и идентифц икаааа параметров (ПОП(П) Модель системы гц(с г-1) = Ф(lг+ 1, й)пй) + Ф(1 + 1, й) и ((г) + с(й) + )(lс г-1, )с) и (й) Модель намеренно -(й е 1) = тн(й + 1) х(й + 1) + Ьй + 1) + с ((с + 1) Статистические характеристики М)х(1с ° )] = Л(х(йе)), соч(х(й„);.т(йе)] = 11(ю(й)]= О, соч (и(с); сс(1)» (г„(()б(1 — 1), М ( г((г) ] = О, соч» с(1); ч(1)» = У(с)ДП вЂ” 1) Критерий качества сг -г Пх((гвг,), и(й й )) = (1121()хд((сссlйг) — Л(х()ге))((г + (1,'2) В ( (гсхгй+1)— — П(й + 1) х (й + 1(й ) — Мlс + 1Ц(, + ((йс(йс)гс))( л ',с с) рс (с) длгорссты ПОСИП х((с ч 1гй + 1) = Ф(1г + 1, йгхчй))г) + '(((с + 1, (г) и(й)сг((с)+К((г г- 1) (хгй + 1)— — )С()с+ 1 )тс)с)й)+ Ф((с+ ),й) гй)+ с((с)1 — га)с+ 1)» уравнении для коэффициентов Рай+ 1) = Р(о + 1(й + 1) и'(й + 1)а 'гй + 1).
Р( й с. 1 с)г + 1) = ] Р ' (й + 1сlг) с- Н' ((г ч 1)И. ' (й + 1)Я()г ч 1)» Р(й+ 111) = Ф(й + 1, й) Р(й)Фс((г+ 1, )г) + Г(й+ 1, )г)()г()г)('с(1г е 1 й) Начичьсгые условии хч((г„))се) = и(х(йчг) Р(й„1(се) = Ре. М (х (йо + 1(йо + 1)) = Ф (Усо + 1, йо) М (х (Усо)) + )]' (У(о + + 1, й,) и (й,) + ° (й,) + К (й, + 1) (М ( (й, + 1))— — Н (й, + 1) ]Ф (й, + 1, й,) М (:. (Ус,)) + Ч (й, + + 1 йо) и (йо) + с (Усо)1 — й (Усе + 1)) (6'88) где М (2 (йо + 1)) = Н (й, + 1) (Ф (Ус, + 1, йо) М (х (й,)) + + Чг (йо + 1 йо) и (йо) + с (йо)] + й (Ус,) + 1).
(6 ~9) С учетом (6.89) преобразуем уравнение (6.88) к виду М (х (йо + 1Уйо + 1)) = Ф (йо + 1, йо) М (х (Усе)) + Ч' (йо +1 йо)и(йо)+ с(йо)+К(йо+1)Н(йо+1)Ф(йо+ + 1с йо) ]М (х (йо)) — М (х (йо))] (6.90) Вычитая почленно из (6.87) уравнение (6.9()), получим М (х (й, + 1)) — М (х (й, + 1Уй, + 1)) = ]Š— К (й, + + 1) Н (йо + 1)] Ф (йе + 1 йо) (М (х (У )) М (х (йе))~ 17Е Вт ода а с учетом (6.86) вытекает тРебуемое Равенство для . для момента ВРе,ентг й = йо+ (, (й, + 1ц -=- М ( (У, + 1УУ;„+ 1ц.
П пдволожим, что для момента времени й — 1 выполнено соотыпыгение 1Ц = М Р (Ус — 17й — 1Ц. (6.91) Рыссмотрим момент нрезтени й. С учетом (6.49), (6.63) имеем М (х (Усц = Ф (Ус, Ус — 1) М (х (Ус — 1ц + + Ч' (й, Ус — 1) и (Ус — 1) + с (Ус — 1), (6.92) М (й (йУУсц = Ф (Ус, й — 1) М (й (й — 17й — 1ц + Ч' (й, Ус— — 1) и (Ус — 1) + с (й — 1) + К (Ус) (М (г (йЦ— — Н (Ус) (Ф (Ус, й — 1) М (х (й — 1(й — 1Ц + Чг (Ус, й— — 1) и (Ус — 1) + с (й — 1)) — Ь (Ус — 1Ц, (6.93) где УгУ(г(йЦ = Н (Ус) [Ф (й, й — 1) М (х (й — 1Ц+ Ч' (й, й— — 1) и (й — 1) + с (Ус — 1)) — Ь (й). (6.94) Ппдставляя выражение (6.94) в уравнение (6.93) и вычитая его ыпчлпнно из (6.92), получим М ( (йц — М (й (Уийц = (7 — К (й) Н (й)) Ф (й й — 1)' ЬУ (х (Ус — 1)) — )У (х (й — 1(й — 1))), пткуда с учетом (6.91) имеем требуемое равенство М(х(УсЦ = М (й (йуйц, Вс соответствии с методом полной математпческои индукции заклюзпв что последовательность оценок (6.63) — (6.67) являетгя нетвещевной Вагиным является случай когда й = ос.
При этом нетрудно показ ! 'пззть, что при выполнении условия положительнои определен"тв матРицы Н (й) замкнутая ПОСИП (6.63) — (6.67) ЯвлЯетсЯ Устойч вч"вои на каждом шаге дискретности. Следовательно, в со о в соотввн с теоремой 6.7 замкнутая ПОСИП асимптотически Устойтппа ПЗ и целом. Рас кти ования ПпФ ов ссмотрнм теперь задачу аналитического проектир зьтк подсистем предсказания конечного состояния ( ) ° ия ППКС . п,„„е'Рема 6.9 (алгоритмы ПП)сС).
Для выбранной модели уран д~~жения ЛА (6.49), (6.31) с кусочно-линейными карактеВпствка. а состояни В емени ульта у,~ йт оптвиаль на огре еннвания 55) -(6. ств едсказа ния х (Л + 1/йг) = Ф (й + 1, Л) Х (й/Л7) + 'Р' (Л: + 1, /г) и (1г) + + с(Л), (6.95) причем предсказываемое конечное значение вектора состоякая . представимо в виде явной функции текущей оценки вектора стояния х (й1/йг): х (й) = 17 (й йг) х (йг/й1) + д (й, йг). (6.96) Д о к а з а т е л ь с т в о, Для рассматриваемой зяяачя аналитического проектирования ППКС оптимальные оцеаяя х (й/йг) при й ) йГ удовлетворягот обобщенному дискретному ураа. нению Эйлера — Лагранжа (6.68) — (6.70). Так как для всех моная. тов времени й ) йг измерения сигнала г (й) отсутствуют, р (й,) = = О, то множитель Лагранжа удовлетворяет условию р(й) =о (6.97) для всех й) йг.
С учетом соотношения (6.97) непосредственно яа дискретного обобщенного уравнения Эйлера — Лагранжа (6,68) следует требуемое уравнение для предсказываемого конечного состояния (6.95). Покажем, что предсказываемое конечное состояние может быть представлено в виде явной функцшг оценки текущего вектора состояния. Рассаготрим уравнение (6.95) прн Л = = йг, 10 + 1,..., й,ад — 1. Исключая из этих уравнений соответственно х (10+ 1), х (йг+ 2), ..., х (Л-„, — 1), получим следующее выражение для предсказываемого конечяога состояния: х (йзад) — 0 (йзад~ йГ) х Щйг) + гг (йзад, йг), (6.98) где азад — г О(йзад~ йг) = Ц Ф (й + 1, й), (6.99) т=м1 азад з "'зад — г йд= Х ( П Ф('+1,'))(гР(й+ 1 й)и(й) + я=зГ г=з|+г с (йН + (Ч" (йзад~ йзад — 1) и (йзад — 1) +.
с (йзад — 1)1. (6.100) Соотношения (6.98) — (6 100) определяют алгоритм функц"оаа рования ППКС цифровых ИСТУ ЛА (табл. 6.4). При етом зле"ав ты (6.99) и (6.100) вычисляются на каждом шаге дискретяозз~ формирования сигнала управления на основе решения уравнена~ (6.95) в ускоренном масштабе времени при фиксированном управ ленин. 178 Таблица бм дягоритм фтнкинонироваиия нифровыа подсистем предсказания конечного состояния 1ППКС1 Алгоритмическое обеспечение цифровых интегрированных систем терминального управления с предсказанием конечного состояния В данном разделе рассыатривается задача интеграции, т. е. иьедлненпя подсистем оценивании состояния (ПОС), идентификацпи параметров (ПИП), предсказания конечного состояния (ПИКС) ц уаравляющих подсистем (УП) в единый комплекс оптимального ргнкцяоннрования интегрированных систем терминального упргвгения в условиях внешних возыущающих воздействий, шумов цгхереннй, ыалогг объеме измерительной информации априорной цагпределенности характеристик.
Основным результатом является Развитие на цифровые системы принципа разделения в теорие аналитического проектирования ИСТУ, изложенного в гл. 5. Рассматривается модель уравнений движения ЛА и ИИП с кугатзбн1ИНЕйНЫЗП1 ХарантернетНКаМП В дПСКРЕтНОй фОрМЕ ВИда г (й + 1) = ф (! + 1, й) + Ч" (й + '1, й) и (рг) + с (й) + +Г(й+1, й) „(Ц, (6.101) г (Рг + 1) = Н (й + 1) т (й — , '1) + Рг (й + 1) + о (й + 1), (6.10й) (=!е бе+ 1,..., рт. 1 Здесь л — и-мерный расширенный тор состояниЯ 11 неизвестных параметров; и — т-мерный вен'ер терминального управления; и — (-мерный вектоР внешних "пгущеннй; з — 1-мерный вектор измерений; г — г-мерный век'" шУмов измерений Предполагается, что последовательности '""цезий векторов ит, г, являются некоррелированныыи между ' ~ез гауссовскими случайными посчедовательностямп типа !79 «дискретный белый шуата с пулевыми математи ческими окса ями и марицами коварпацпи вида (6.53), (6.54).
Ве "аат' ' г о состояния х (Л",) является гауссовским случай ектор начал ьаа математическим ожиданием йным зекто Осы с Ла (х (Ло)) — тс (х (йо)) и матрицей ковариации г,. Предполагается также е, что аекто а х (/с,), ш (Л), и(й) взаимно-некоррелированы. Задача ского проектирования ИСТУ ЛА с предсказанием к ча авалатат т конечного са стояния заключается, как указывалось в гл. 1 в опреде пределеккк и, кона управления и (й) = и (г (й)), доставляющего минимум к,.
теряю качества терминального управления вида л/ — т 1(х(Л), и (Л), /с) = ( / ) /[Х ( ~ ([! род(й[+1) — Р(й+1)х(й+[! — с/ (/с -,'- 1) [[окати + [! к (й) [[клю)1 (6ЛО3! и обеспечивающего устойчивость замкнутой системы. Здесь Уоок (й+ 1) — заданное конечное состояние; у (й + 1) = Р (й + 1) х (й + 1) + с/(/с + 1) есть предсказываемое конечное состояние, вычисляемое в ПИКО в соответствии с соотношениями (6.98) — (6.100). Имеет место сае дующая теорема. Теорема 6.10 (об оптимальных алгоритмах цифровых ИИ' ЛА).
Для модели уравнений движения ЛА и ИИП (6.101), (6ЛО1! оптимальный закон управления и (г (й)), доставляющий мккккта функцттоналу качества терминального управления (6.103), ккек вид и (й) = о' (Л.) х (Л/й) + А (й), (ОЛО[! х (Л//с) = Ф (й, /с — 1) .г (й — 1/й — 1) + Ч' (/с,/с — 1) и (й— — 1) + с(й — 1)+ К(й) (г(й) — Н(й) [Ф(й,й— — 1) х (й — 1/й — 1) + Ч' (й, й — 1) и (й — 1) + с (й— — 1)1 — й (й)), /с = йо, . ° ., й/ — 1 где я (/с), К (й), А (й) являтотся решениями матричных уразкоаа1 д ® = — [Л, ® + Ч"' (й + 1, й) р, ® Ч" (й + 1, й)1-' х х Чст(Л + 1 й) Р, (й) Ф (й + 1, й), (6ЛОО! р (/с) = Фт (й ! 1 й) Р (/с) [Ф(й-[-1,й) + Чс(й+1,Л)Х х Я (й)1 + Рг (/с) (~т (/с) Р (/с)а (6ЛО[! А (й) [Л (й) ! Чст (й ! 1 й) р, (й) Чс (й + 1, /с)1 'Х х! Р, (й) с (й) + /у (й)1, (6,166! [Ф (й ! 1 й) -[- Чс (й -1- 1, й) Я (й)[т [Рт (й) с (й) + 160 .1.
А (й)1 — Н' (й) 01 (й) [у:о. (й) — й (й)] (6.109) (й) Р, (И,) Нт (Л) Н.,' (Л-), (6.110) р (йй) (Р, (йНс — 1) + Н (Л) Во (Л) Н (й))-г (6 111) р Я)Л 1) = Ф (й, Л вЂ” 1) Р, (й — 1(Л. — 1) Фт (Л., й 1) + Г (й, Л- — 1) С,со (й — 1) Гт (Л, й — 1), (6.112) сна ачнльиыми условиямп х (йосйо) = сс (х (Ло))1 р, (й~й~) = У,,„. Бслн, кром ого, выполнены условия асимптотическ й ности у р щ"х подсистем и подсистенг оценивания со то и ндентификации параьсетров, то замкну ая ИСГУ ссн устойчива в целом. д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, следуя схеме доннонтельства теоремы 5.'1, нетрудно показать, что рассматриваемая задача аналитического проектирования ИСТУ ЛА с предсказанном конечного состояния сводится к эквивалентной задаче синтеоо управления для динамического объекта: М(й(Л+1~й+1)) —: Ф (й+1, й) М (х (ИЛ))+ + Ч' (й + 1, Л) и (Л) + с (Л) (6.! 13) н критерия качества вида ос 1 Т (М ЯЫЛ-)), и (Л)) =- (с,'о) '5', (Ц У,„од (Л + 1) — В (й —; 1) Х о=се х М(х(й+ 1,'Л вЂ”;- 1)) — сс(й+ 1) /фин+и+ Ци(й)Пако])(6 119 шноснтельно переменной состояния М(х(И;)) = М (М (.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
