Бек В.В., Вишняков Ю.С., Махлин А.Р. Интегрированные системы терминального управления (1989) (1246768), страница 31
Текст из файла (страница 31)
С' (т) ис (т) + с' (т)) Нт + г (;) + 1г» (г)— — Н (к) Ф' (г, гс) г (сс) — Н' (с) ~ Ф' (с, т) (В» (т) и (т) + + с» (т)) с(т — Ь» (с))т/Я (с-)~ = — ЛХ с (Н» (с) Ф» (г с ) (г (с )— — У(сс))+Н»(г)1 Ф (с,сс16 ()и().' + + гс(с))(Н (е)Ф (с, с,)(х(А — х(сс)) + г Н»(с) ~ Ф»(с с,)с»(т) и,(т) сст+ и(с))тс2. (с )~ В силу следующих предположений теоремы; --( Р); (.)) =О. (:) 6(~ —.), со» (и (г); сс (т)) = Нг (г) о (г — т), сот ( ис (Х); гс (т)) = О соотнопселие (5.32) можно ваписать в виде со'(г(с)сг(сс)) = Н'(~) Ф'(г, сс) (г(г,уя(сс)) х хФ'т(~,сс)Н (с)+ Н (г)~ Ф (с,т)6 (т)х с; х сок (ис (т)/Я (Ес)) С'~ (т) Ф' (Ю, т) Нт Н'~ (й), $38 (5.33) или ли окончательно ( ') (~) Ф (' г') В, (~;) Ф'т(~ ~,) В т + В' И ~ Ф' (~, т) С' (,) д ( ) ~» ( (5.
34) где де введено обозначение Яз (Юю) = соч (х (Х;)/Я (~;)), (5.35) Определим плотность вероятности р [х (1)(Я (1;)!. Из гауссовостн случайного процесса ш (1) для уравнений модели (5.5) следует, что р (х (~)/Я (г;)1 является гауссовской. Условное математическое ,киданне случайного процесса х (1) определяется соотношением М (х (к)/7 (г,) ) =- М (Ф» (8, й;) х (г;) + ! ~ Ф» (г т) (В» (т) „(т) + ~» (т) ш (т) !,» (т)) 1т~ = ф (1, 1;) х(г;) + ~ Ф' (т, т) (В»(т)и(т)+ с»(т)) Нт.
Вычислим к овариацнонную матрицу: со (х Я7 (т,)) =- ЛХ (х (с) — М (х (г)/г (ю,))) (х (ю)— — ~1 (х(~),'3(х,.)))т(~(г,.)) = М ~~ф'(г, г,) (~,.)+ + ~ Ф' (~, т) (В' (т) и (т) + 6' (т) ш (т) + с' (т)) дт— (5.36) — Ф' (», г;) х (г,) — ~ Ф' (й, т) (В' (т) и (т) + с» (т)) Ит) х с,. с х (Ф (ю,е;)х(с;) + ~ Ф Р,т)(В»( )и(т)+ 6 (т)ю(т)+ 1, $39 + с» (т)) дт — <1Р (г, г,) х (г;) — ~ Ф' (~, т) (В'(т) и (т) + + с» (т)) Ыт) / 7 (Ц)) . В результате несложных преобразований с учетом обозначения (5.35) окончательно получаем с (*рук(г,)) = ф'р, ~,) я,(ц) ф»т(~, ~,)+ +~ Ф»(~ т)С'(т)(7,,(т)С" (т)Ф (1,т)Ыт='' оа(~) (о.о ) "с Условная плотность вероятности р (и (1)Я (1,)) является га аус совской с математическим ожиданием ЛХ (и (~)/2 (1;)) = 0 и матрицей ковариацип (5.38) (5.40) + ст (т)) Ыт — Ьт (т)) 1 .
$40 сот (с (С)/Я (Ю;)) = Ле (~) (5 39) по предположению. Таким образом, плотность вероятности р [х (~),'Я (1)) является гауссовской и в соответствии с соотнощ пнями (5.24), (5.30), (5.34), (5.36) —: (5.39) имеет вид р(х(с)/я(й)] = р(х(с)/Я(с;).р[иЯ37(с;Цр(г(с)/7(ю;)) = лр( „, „(, Фч(с,,)х(,,) ~Фч(~ т)(В~(т)„(т)+ !1 + с (т?)ит) (Ф (е,с;)Б Р;)+ Ф Р,1;)+ + ~ Ф' (с, т) 6" (т) 0 ( ) 6'* (т) Ф' (~, т) ~т) х с,. Х (х (р) — Ф' (~, Е;) й (Ю;) — () Ф' (Ю, т) (В' (т) и (т) + ),.
+ с'(т))с(т11+, ехр( — ('Я(г(К)— (2. )'~' (а ь л., 0))ч.- Н" (р) (~) йт (г))т В р) (; (с) Н' (~) х (~) — й (с))) + 1 (2я)~~з (Яст(н~ 0) 8 (~ ) нтт (0 л~ 0))": х ехр ~ — (т/,) (з (Е) — Н' (Х) Ф' (й, сх) х (с.;)— Нт(Е) 1 Ф.(ю, т)(В" (.) и(т)+ с (т))йт— с. — '(е)) (Н (е) Я ( ;) Н (т) + Л (г)) ( (К) Н' (с) Ф' (с, с,)х (с,) — Н" (с) ~ Ф' (с, т) (В' (т) (т) + И ~еляя под знаком экспоненты в (5.40) полный квадрат, получатребуемое соотношение р (х (Е)/5 (Е)1 =-,,ус „ехр ( — (с/,) (х (Е)— — х (Е))т Я 1 (Е) (х (Е) — х (Е))), ,, е с учетом обозначения для переходной матрицы Ф" (Е, Е;) хс (Е) = А (Е) х (Е) + В (Е)и (Е) + с '(Е) + -)- Яз (Е) Н' (Е) Ас' (Е) (х (Е) — Н' (Е) х (Е) — ЕР (Е)], (5 .41) 3, (Е) = 1' (Е) 5'з (Е) + 3, (Е) .4' (Е) + С' (Е) О с (Е) С~ (Е)— Б, (Е) Н' (Е) хс,с (Е) Н' (Е) Яс (Е) и у (Е) = ЕС1 (х (Е)Е3 (Е), Е б:- (Е,, ЕС)), Я~ (Е) =- соч (х (Е)/Я (Е), Е б:— Пм ЕЕ)).
Соотношения (5.41), (5.42) в точности совпадают с алгоритмами оценнванпя состояшся п идентификации параметров (4.45), (4.46) н определяют условное среднее хсс (Е) и ковариацпонную матрицу ошибок оцоппваппя Яс (Е) соответственно. Следовательно, в функ- ционале (5.21) в качестве х (Е) можно рассматривать оптимальные оценки х (Е) == х' (Е) расширенного вектора состояния и неизвест- ных параметров, формируемые подсистемами ПОС н ПИП (4.45), (4.46). Следует отмстить, что коварнацнонная матрица ошибок оцени- вання Б (Е) нс вляет на выбор управления. Следовательно, мини- мизация функционала (5.21) эквивалентна минимизации функцио- нала вида (5.42) ~ (х (Е)~ и (Е)) М (( Я ~~ Уаа» (Ес) Е) (Ес) х (Ес) сс — д'(Е,) ~фп+ ('Е)( (6У„,(Е) — Е)" (Е)х'(Е)— с, — с1'(Е) Цоксс + Ц и (Е) Дсснксс) сЕЕ.
(5. 43) Таким образом, задача аналитического проектирования непрерыв- ных ПСТУ ЛА с предсказанием конечного состояния сводится к зквивалептпой задаче исследования на минимум функционала (5 43) прн ограничениях, определяемых уравнениями ПОСИП (5 41), (5.42), Для респеппя сформулированной задачи нам потре- буется исследовать свойства случайного процесса ) (Е) = з(Е) — Н' (Е) х (Е) — й' (Е) (5.44) в уравнении (5.41), который будем называть обновляющим про- цессом ['1с).
Имеет место следующее утверждение, Лемма 5.3. Обновляющий процесс с) (Е) в алгоритмах ПОСИП является гауссовским с нулевым средним значением н коварпзцп- 141 онной матряцей сот (Ч (Е); ц (т)) =- Во (О 8 (Г (5 451 д „„. а з а т е л ь с т в о.
Покажем, что оценка хо (~), формируемая в ПОСИП (5.41), (5.42), является несмещенной, т. е. сп,а. ведливо равенство М (х' (1)) = 1Г ( х (с)). (5.46) Пусть х (1) есть решение уравнений модели: х (1) = А" (Ц х (1) + В' (Ю) и (1) + С" (Ю) ю (1) -~- с' (г). (5.47) Обозначим через е (1) = хо (1) — х (1) (5.48) ошибкУ Функционирования ПОС1Ш.
С учетом (5.41) и (5.47) уравнение для ошибки оцеппванпя имеет вид е (1) = (А" (1) — К" (М) Во (Ю)) е (Ю) + К» (о) о (Е) — 6" (1) ю (1) (5.49) с начальным условием е (1о): М(ецио)) =0 (5.50) где К (1) = Я, (1) Нтт (1) В-,т (1), м = 1, 2,..., Х Решение е (г) уравнения (5.49) с начальным условием е (го) определяется выражением е (г) = Ч (г 1о) е (го) + ~ Ч" (г, т) (К (й) и (.') — Со (й) ю (г)) ИЕ, (5.51) где переходная матрпца Ч"" (е, Ео) удовлетворяет матричному уравнению (Ао(1) Кч(,) Яо(,))Ч о(, т) с начальным условием Чро (1, т) = Е.
Так как, по предположению, случайиыо процессы и (1) и ш (1) имеют нулевое среднее и в соответствии с (5.50) ЛХ (е (го)) = О, то пз уравнения (5.51) следует .11 (е (1)) = О (5.52) для:побого ! ~=- [го. 1~!. Из (5.52) и обозначения (5.48) вытекает требуемое равенство (5.46). Следовательно, оценки х' (1), формируемые подсистемой ПОСИП, являются несмещенными. С учетом $42 обозначения (5 48) обновляющий процесс можно записать в виде Ч(С) = — от(С) е(Х) + и(С). (г г3) цепосредствеппо пз (5.53) и песмещеппости оценки ха р) следует, что ву(п (с)) = 0 (5.54) Цычпслим ковариацнонпую матрицу процесса Ч (~). По опроделе нню, имеем сот(ц ф „( )) 77" (т) е (т) -(- и ( ))т) (') "('() "(т)) Н'т(,) '"~ (в (Е) ст (~)) д~т ( ) + (5 55) веяло вытекает М (е (т) ет (.)) справедли о равен ')'('(~) "(т)) =--М~~ р(,„, с, — С (Е) от(~)) пт( ) ) ) или М( ( т,, (К~1'р,)у~и( М(е(~) г (т)) (" г (т.
(5. 57) Подставляя (5.56) и (5.57) в соотношение (5.55), получим ,44 (и р) „,т (.,)) Нч (~) у~ р т) 8 (т) трт р) Ят(~) ~(ч(~ т) Кч(т)Я (т)+Я, (~)б(~ т) учитывая, что (5.58) К (т) =-яа(т) Н Р) Л (т), (5.59) и подставляя (5.59) в уравнение (5.58), получим требуемое соот- ношение ,'и (т) (т) 1)т ( )) М (н р) пт ( )) = Л, (ю) 6 (~ — т), (5.66) Таким образом, из соотношений (5.54) п (5.60) непосредственно вытекает, что обновляющий процесс ц (1) в ПОСИП (5.41), (5.42) является гауссовским с нулевым средппи и матрицей ковариаций В, (~) бр —,).
Закончим доказательство теоремы. Запишем функциок „ (5 43) в видо Т (ЛХ ( г' (~)), л (~)) .= ('/е) Ц р,.„.,„(г~) †.0' (~~) ЛХ (г' (~~))— — г7'®~~з +('~..)~фр а(~) — Ю'Р)Ъ!(т~(8))— ), — Х" (г) фкп + Ц и (г) ~$,<о) йг. (5 61) Непосредственно пз (5.41) и свойств обновляющего процесс получаем уравнение относительно переменной И (х0 (1)): = А (г)М(й'(г))+ В (8)и(с)+ с'(г). (5.62) Таким образом, задача аналитического проектирования ИСТУ сводится к вариационной задаче исследования па минимум функ цпонала (5.61) прп ограничениях, задаваемых уравнением (5,62), Указанная задача с точностью до переменной М (и' (г)) совпада ет с задачей аналитического проектирования управляющих под систем (УП), рассмотронной в гл. 3. При этом. следуя доказатель ству теоремы 3.21 с учетом равенства (5.46), получаем закон терминального управления мо Р) Д т Р) Дчт Р) (с Р) ~о (1) ) й (1)) (5,63) где элементы Яд (Х) и 7г (Х) являются решепиямп матричных уравнений Я, (8) = — Я, (Е) А' (1) — А' (к) Я, (~) — Ю' (Е) ч, (~) й" (й) + + Ят (К) ~' (Ф) В, ' (Е) В' (Е) Я, Р), (5.64) й (х) = — А (е) Й (е) + 5г (г) Л (г) Лз (8) В ' (1) 7с (к)— — Я,(1) с'(Г) + В" (~) 0 Р) Ь ° (Г) — 1" М (5.65) с граничными условиями ~, Р/) =1)'т (1Г) ~ПХ7' М, (5.66) й Я = — 17" Я ~П Ь.а..
(11) — 7' (Ь)). (5.67) Здесь йе (г) — решение уравнений (5,41), (5.42), опРеделающих алгоритм функционирования ПОСИП. Соотношения (5.63) — (5.67) совпадают с требуемыми алгоритмами (5,7) — (5.15) функцпонироваппя ИСТУ ЛА с предсказанием конечного состояния для неавтономного случая, т. е. когда параметры кусочно-линейной аппрокспмацпи А'0),77'®, сеР), ~'(~),77'(~), й (г),а'(г), ) (г) являются явными функциями времени (табл. 5.1). Кроме того, для решения широкого круга важных прик д кла ных задач управления ЛЛ пе удается, как правило, априор и но обосно- Таблица 5.1 непрерывный алгоРитм функционирования Нсту ЛЛ с предсказанием конечного состояния Ыояечьобаекта Упрапленил (1> т В'(!> в (!) + С'(И и (!) + с'(!) й(опель НПП '„,>= и (Пх«П+ »'(1) ' «1> ес!ва терминального управ Критерии кач ленни г ((Г) г( (1 )()т г — и' (1>х(1> — д, 1, А.тгоритм ПОСПИ ' "''Я (1)В'(!)Л; ( ц, и Я (1)В (!)и ХПЕ ) = И(Х(10 П,С.11, ! = Я е Алгоритм ПИКС х((,) = р'(1, 1, >.т (/> г>'11 ! )= -' ( ! еф'(» г) = Л'(1> Ф д( х + В (! 1 ) Р (! ! ) П Ф (! ! ) 1 Е (! ! ) ° 1 П Ф'>с', г=1,2,..., А>, (1, г!.
ф(1, !) = Е, 1 !'11, т>)В'[т! и (г>+ с'!г)) !(т Алгоритм УП (нгавьонсмные системы) и(!) = и! (ПВ' ((КЯ !!)Х(1» И()>. Я,(!> = — Я!(1>Л'(П вЂ” Л' Г(1>Я,(Ц вЂ” Р"~(!)О!с(>Р'(1)е + Я,(1>В'(1>Л; '(! В' '(П Я,П!. йп = и' ! ((И(1!" и, (1)В'1!>Л, '((>В' ! (1)»(П вЂ” и!(1)С'(!) + Р' Г(1)(?~1!)[У (1) — ЕУ(!0, Я> (!!) = р ((г) Я| г р ((г!»(1!) р (!! ! Язт(уэа. (!Г) !( ((Г)) Алгоритл! УП (аатономные системы] а(О = — и, 'и' (и; .'(!> +»'), и',Л' + Л' Я',— Я,'В'И,'В' Я; - Р' О!Р' =О, 4 г» и!В и! В' !»' + Я',с' — Р'! (!!)Ун, — ет) = 0 (5.69) (5.70) ванно задать точное значение 8Г момента окончания процесса управления. Как уже указывалось в гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
