Ивашкин В.В. Оптимизация космических маневров (1975) (1246627), страница 9
Текст из файла (страница 9)
действующее на КА в некоторой единой системе координат, будет иметь вид У1(х) ~. (~ (~1 д(х) = у1(х), ~11(г(Г„1= — 2,3,...,п — 1, д„(х), ~„, (~ (г„.. Функция д (х), буду гп достаточно гладкой на интервалах (г1, П„), вообщо говоря, разрывна в момент г1 пересечеш1я грапнць1 сферы действия: д (х (1,. — 0)) чь д (х (0 + О)). 0пределим соответствуклцпй скачок ускорения. Пусть сначала при У; 0 происходит движение в сфере действия 1'-го нобеспого тела: о,. д = — — '.' р, д =- д+ рь ~1 — з(Г(~1, Е 1' здесь д — ускорение в основной системе координат. Прп переходе в сферу действия следующего (1' + 1)-го тела будет д=- — „' р „у=у+у;„, 11(1(г1+з.
1;".„ Скачок ускорения в точке 0 Ад = д (й+ 0) д У1 — 0) = ~1Ы ~1 = — — р +р. + — р — Ф= а 1А1 Н1 з где р .„. у",.и уг, = р„,; — скорость ()' + 1)-го тела относительно /-го тела. П р и и е р. Система Земля — Луна. Для простоты рассмотрип случай, когда КА движется в плоскости орбиты Луны, которую возьмем круговой радиуса Л11 == 385 10' кж, Пусть сначала КА движется в поле притяжения Земли, Ие = 398 600 клз1се1Р, затем входит в сферу действия Луны (И1 —— 4904 кз1'(сект, р," = 66 000 кл1) в точке, селеноцен- 53 УслОВИЯ ОПТИМАЛЪНОСТИ КосмическОГО МАНЕВРА (Гл, С трический радиус-вектор которой составляет угол а = = бО' с направлением Луна — Земля. Тогда получим еле дующие оценки для составляющих величин в (212) к скачка Ад: (д ( =. ~~ = 3 10 е км/сек', (д'(= ф=1,1 10 ' км/сек', (ум! = )"'+'"' =2,7 10 ' км/сек', '~л ) Ад (=1,1 10 е км/сек'.
Таким образом, скачок Ад здесь имеет порядок ускорения й бе. Пусть са; (х) = =— р;(г, () + р,' = 0 — уравнения поверхностей (границ сфер действия), па которых гравитационное поле в данной модели (и правые части уравнений движения) терпит разрыв. Тогда на оптимальной траектории, пересекающей в момент 1; эту поверхность (при входе в сферу действия илн прп выходе из этой сферы), сопряженная вектор-функция будет иметь скачок (см. з 4) в направлении градиента угас( ср; (х) = (ср;„)е: Аф(0) = р+ (гс) — ~р- (гс) = ~( ((с+ 0) — ф ((с — 0) = = с(с (ср,' ) *, (2.13) здесь асс — некоторая константа.
Пусть А/ (гс) = / (гс + + О) — /(й — О), А/' = 0 — скачки вектора / правых частей системы и подынтегральной функции функционала, /+ ((с) = /((с + О), / ((с) = /((с — О), тогда (т' а/) ( (т', А/) (2 14) тЫ Определим с к а ч о к Аср при входе КА в сферу дей- ствия меньшего небесного тела. Пусть в момент г = (с КА входит в сферу действия /-го тела (рис. 1.6): р,(гс) = р,, р,((с) <-.О, ( 2] зАменА пегеменных В 3АдАче Оптимизации ЗЗ При 2 ( (( (г(г(п) движение рассчитывалось В кеплеровском поле (у' — 1)-го тела, соответствующее предельное значение сопряженной вектор-функции обозначим через "Р(г (2) =('Р.П-.Г+ П-( "Р (у — ) %(; — ). Гладкий переход к новому началу координат осуществляется в соответствии с формулами р '1' у г (у-(у уг (2) Поэтому фг( Рг (У вЂ” 1Г (Р;=(г, (; 1Е (Р„;= Р н п=(Р Вектор ускорения становится равным дт ((() = й;., (2() — ФР;;, = — — ", ' рг1 — Г„, Р,', При 2 ) (( (г ) 2';") движение будет рассчитываться в кеплеровском поле у'-го тела.
Через (ру( (2() обозначим соответствующее начальное значение вектора (Р для последующего «гладкого» расчета в сфере действия у-го тела. Переход от (р; 1 к (р; осуществим ) путем двойного пересчета. Сначала ~(у(((у сменим начало системы координат, (у у перейдем от центра 0; 1 (у — 1)-го тела к центру 0; у-го тела без нарушения гладкости поля (без введения скачка ускорения), при этом (р- сме- 3 — 1 нится на ч', = Я,.; 2р~„(р-з ф(.). Затем учтем скачок ускорения, (Р перейдет в р;(Ф;я ф;у ф„'г Фп). 60 УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ КОСМПЧГСКОГО ЫАНВВРА (ГЛ Учет скачка ускорения р), (гг ( Лд(0) = — б(,' — д = — —,р, '-, 1';, +1 ...
производится так. Вектор ср,„имеет в данной системе координат компо. пенты „,;",=-( — ро,О., О,О). Позтому, в салу (2,13) Ф = Фг — (ре =$-, — с1 ро, ) 'г ' г '((-!( "рог =- 'фссг =- "Ь 0 и =- "рг ( () р;,. = ф; == ~:-,О и+ (1 „, ~:;, „) + Г. (2,)5) )-( „, ),0„) Определим постоянпуго с1(. Возможны два случая. Если в момент г( не сообщается импульс скорости (россматривается задача с конечной тягой О с Р ( Ро,,„.
( оо или в импульсном случае ЛГ (с() =- 0), то из (2 1с0 получаем (ггг Д(г) (ИО р,') (, Если в момект (( сообщается = ЛР (С() = Лртру (С(), то из следует с((— (грг дя+ др г)гг г) о) импульс скорости ЛР", условия 11, (гс -(- 0) =- 0 (г)(„Дд )- ДУЧ',,т) (2 10) (Гсгг ре) *) Кслп, в общем случае, прп с = с( сообщается импульс спРости др (, то гуго (с( + О) = (ег 1т+)(, г)г,„(с( — О). причем (Х"', р";) ( О, (Р",', ро) ( О. 3 а м е ч а н и е.
В данном случае, при сообщении импульса на границе сферы действия (з(" ( з ( з(и), условия (1А8), (1.01) (1.02), вообще говоря, не будут вы- $21 зАИЕИА ПЕРЕЬ|ЕННЫХ В ЗАДАЧЕ оитиииЗАЦИИ З1 полняться, хоти модуль базис-вешоорз и принимает мак- симальное значение оРР (11) =- ишх / оук П) /. ТепеРь Но(211и — 0) =- 11о (21И+ 0) = 11о(~1 АЕО) =- О, 11о(з) ~ О, .к ( ",и:;.. ( ,(м ( зо, (оро., ор,о) ( О, (ор,„оР,.) з О, (ор1, Лор,,) ) О, (2 1!) причем в формуле для Но на отрезке сообщения импульса берется, например, д (г) = д', оР,. (1) = оуо, з';и ( з ( г1"'.
Поэтому коэффициент 1У будет удовлетворять услози1о (1(ф„Р,.) С О. Остальные условии оптимальности не меняются. Пусть теперь в момент с1 КА покидает сферу действия (1' — 1)-го меньшего тела, переходит в сферу действия )-го (большого) небесного тела (рис. 1.7), при этом р (1) (Р ро ) Пусть опять ого 1> — предельное (при 2,з 21) значение сопряженной вектор-функции ири расчете оптимальной траектории в кеплеровском поле (/ — 1)-го тела, оро†предельная (при г 'ч 21) сопряженная вектор-функция в поле 1-го тела. Тогда аналогично предыдущему случаю получим фй И-И 1' И-1Р ФР, = оР <,. „—— оРР (г1), Ф (11+ 0) = (т /т') .оу (11 — 0), о11 о(11 (осп (~ 1-1' о(о (1-и) (р1-11 Ф'0-и) + Н.— ( (о „АИ + АИ )о„и, ) (ф, АИ ' АУ (1+0 1 (мои-М ИО ) (Р.,О-И,О 1-1 1-1 (2.18) СЗ ГОЛОВНЯ ОПТПМАЛ1 НОСТИ ПОСЛП1т1ВС11ОГО МАНВВРА !Г.1, ! ЗДЕС1 (Г.',.О-", р,,))О, (Г" ", р,,))О.
Условие (тря, трт)О = О заменяется при Лр (лл) ) О ус,!о. впямп (р„, р-, п)СО, (р, р;)>О, 1,(р„,р,), <О. 2.6. Прпперьл крпволлниейпого преобразовагпля координат 261. Переход к полярной систел!о к о о р д н н а т. Для анализа движения точки в центральном (или близком к нему) поле сил иногда удобна «полярная» система координат, в которой одной пз координат является расстояние до центра масс главного притягивающего тела. Расс»!Отрпм следу!ощую систему координат: хе= г, ха= — 1', хл р х« те — соответственно расстояние до центра, трансверсальная и радиальная компоненты скорости, аргумент шпроты точки, наклонение, долгота восходящего узла оскулирующей орбить1 (предполагается, что з!и ! ~ О, $'! ~ О) (рис.
1.8). Преобразование х = х(х) здесь не зависит явно от времени, имеет впд 1 =1(г,и,л,й), »' === Х'(и, 1, 11, К„'»т„), 1'пс. 1.8. Проекция оскунпрую щей орбиты на енпннчнуло сферу Случай двпже!гия без ограничений н без сообщения импульсов ва границе сферы действия расслтотреп в 1181 а4 услОВия ОптимАльнОсти кОсмическОГО мАнеВРА 1ГЛ. ! Переменные, сопряяоенные паклонениго ( и долготе узла Й, имеют выражения Р.= Ро=-($, Р,)+,— '„,,РР) = = г я|п и ( То, ор ) + ((г, я1п и + )г, соя и) (1 ', оР ) =(йо, 1б), ~О = Рй (дОО(г) + (до "РГ) = (г„'„* тр„) +(1',., орк) = (=', 1:), о где М„'о = Х гоо, тгг, =. Х рг,о, о, =-.
г Х'о„= Т' — за~. Переменные оро, оро о)о равны, следозательпо, проекциям вектора ХА на оси 1 о, По, о, ортогональные плоскостям изменения углов и, 1, с1 соот ест ственно. В импульсном случае, Р -э- со, переменные ору,, орь о1>О будут, вообще говоря, разрывпы по времени, если (ь = (1о. Ао) чь О, вследствие того, что при сообщении импульса в этом случае меняются направлоння трансвс1м о сали и бинормали. Если 1г == О, то зти переменные будут непрерывны.
ОбРатные фоРмУлы оР„(оР„, о(о„,, оРО) оР (о1>„, ору,, ..., о(оп) имеют вид р, =- ф, (,'— "„)'+ + р„( — ,'„".)' = = ор "+ (1гФ вЂ” )г.Ф + ог.) — „+ г ' ! — Ф„соя о+ рп, 1 го + ~ — (сов и + ого) .. + (я1п и+ гр )оР,~ —, (2 20) — 'россо!+ Фо 1 г,о оРР = оРР г + осу ос+ (Я1П м ' +о(:осози1— г 1 яб1о о (2.21) (зДесь сг, = е Я1П со, с1о е соя ю). так кзк дг* дг ~ .о дг ' дг д * о Го со, и ',.
Чо с о дг элмвнл пюкмкнных в злдлчг. оптимизлцпи е; дб о'" о '~ чи То дг Р дг дФ'~ о — =О, — =8о дГ ' дг дм' голо -"-7о То дг р лго ди„до' оьо и Ю .о дР ' дг ~и~у~' до' зю о Г,о дг .=1о ~ !'~ дп — = сози —, до" Оледовательно, если (), р, т), (Б. 11, ь) — Радиальная, трансверсальная и бинормальная комоооненты векторов фг и ор„соответственно, то опн выражаоотся через ор„ и т. д. следующим образом; л=ф,, р= р,, соз и ф ) ф 1 (2.22) з 1в и + фо соз и1/Уо о!о! з = Ф„Ч = — (У~фу, — Уофг, + ф )/г, — соз и~)~~+ то (2.23) (и, Р, ~)- (у„~), / = 1, 2,..., 6, (2.24) пРичем дд, (>, г', ~)/д~ = О пРи / = 1, 2,..., 5, дно (и, р, /)/д/ ~ О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
