Ивашкин В.В. Оптимизация космических маневров (1975) (1246627), страница 6
Текст из файла (страница 6)
1, 2, 3, ,, дз' зрю =(Ф зрз Фз)* зр.=(Фз зрз,Фз)' Последнее из условий (1.50) перекодпт в следующее: Х ',", М"4з„Ч:.„< О оь ь ю=з а"азз или, в силу (1.42), з .Уз —;,. Фз изРз|зФз.з «( 0 (1.51) з' з)=-з б) Импульс сообщается в начале илк в конце траектории, ~з = 4 или ~; =- ~з.
Тогда из (1.41) будет вытекать лишь одно из условий (1.47), поэтому Яг,зР,.) (1з)) О, ~, = ~а, (1.52) (Р, Р.) (7з) СО, гз = ~„. (1.55) (! .49) Вторая производная непрерывна н должна быть неположительна. Если ~ зрг ~ = О, то надо рассматривать третью производную. Опа имеет скачок в точке сообщения импульса, должно быть 33 УслОВиЯ ОптимАльности космичвского ИАнеВРА 1гл.
1 В моменты 1„+ 0 и го — 0 переменные рр, х удовлетворяют также условию (1.45). Поэтому, если Х'„= Т' (8„— 0)— вектоР скоРости До сообЩениЯ импУльса АГ„= Анурро(РР (го) в начальной точке траектории, то имеем (ор., у' + А)'эФ.) „+ ('ФР, а (г, 1)) „+ % (1 ) = О. Величина импульса АГрр будет удовлетворять условию (при (ог,, о)рг) ) 0) 1 ИРР= — (Ц,,Р ) ((РРР Ро)+(~РУ,Д)+~Р~)гэ,о. (р(р ргу) Аналогично, если 1г„= Х' (1„+ 0) — конечный вектор скорости и,( ф.р о)ог)р„о ' О, то 1 ((оР 1 ) + (оРР у) + М 2.
Точка сообщения импульса лежит на границе, Ь (г, 1) = Ьэ (г, 1) = О. Пусть импульс сообщается во внутренней (по времени) точке траектории, 1„(1; ( 1„. Переменные ор„, оР, пре терпевают, вообще говоря, скачок (1.25). Пусть ор„= = Ф (го — 0), ог = оР, (П + 0). Условия (1.47) сохраняются, поэтому (оРгур огР'р) ( О (о(оир оРр) > О, с (11) (ргР'ур Ьо) > О. Отсюда и из условия о ) 0 следует, что с(1;) = 0 или с(11) )О, (Ь'„ору)й>0. (1.54) Из условия Ь (1о) = игах Ь (1) = 0 следует, что — = ь'„т.-+ь,'>о, 1А ~ Ыо !с,— о р1А ! — = Ь Уг++Ь, (О, поэтому, вычитая, получим Ь;А т ( О, (Ь„' Р,) ь ( О. Сравнивая это условие с (1.54), видим, что есть две ! И ДВИЖЕНИЕ В ПРОИЗВОЛЪНОМ ПОЛЕ 39 воаможности: а) (г!)=О (ЬР.)!о(0, — ",", ( >О, — '") (О, б) о(г!))О, (Ь,'.фг), =О, "" ( ~~ ~ О (1.55) В частности, всегда будет о (т!) (Ь,огг)!.
— — О. (1.56) Общим случаем назовем тот случай приложения импульса во внутренней точке оптимальной траектории (!в ( е! ( с„) на границе (Ь (т (г;), !!) = 0), когда в этой точке есть скачок меры, о (!!) ) О. Пусть !' — номер планеты, при движении у которой достигается при ! = Г! граница Ь, (т (г!), !!) = О. Из предыдущего следует Т е о р е м а 1.1. Если во внутренней (по времени) точке оптимальной траектории перехода на заданной ограничивающей сфере сообщается импульс скорости, то в общем случае траектория в этой !почке и импульс касаются этой сферы.
Действительно, из (1.55) следует, что при о (!!) ) 0 будет (р,', Ло"!) = О, т. е. импульс ортогонален радиусу- вектору относительно !Вплапеты, а траектория касается граничной сферы, р, = р, = О. Далее, из (1.56) следует, что в!'Ь.! ! Е(фо! !г! — о в! ~!!+о Мг, "т )!о+о = О. Таким образом, при сообщении импульса на границе во внутренней точке траектории условие (1.48) сохраняется, причем функция ту„(!) или непрерывна в случае о (!!) = О, илн имеет скачок Лор„, ортогональный вектору орг.
Пусть в некоторой окрестности точки !! будет Ь (!) ( О, о (!) = О, ! ~ !!. Тогда если о (!!) ) О, то сохраняются условия (1.49) — (1.51). В случае о (е;) ) 0 условие (1.49) 40 услОВия ОптимАльности косыичеслсого ыАнеВРА сгл. 1 распадается па два: Я~гг) (г — 0) =: — Яо)о + о)о~ А о)о~ )с ( О, —,' Яг ) (Гс + 0) = Я Рл + Р*;А*~Р,,) сл. о ( О. (здесь ао — некоторое постоянное ускорение). Перейдя к параметру а, как аргументу уравнений двпжения, получим следующую систему уравнений движения: 1 — 7сг ао — „, Тли(и Г) + 7оР 11.5 с) — 7 — о( — „, =7л) Лта ао сы На отрезке зсп < з ( зс ' сообщения импульса у, = О, уо — — 1, у, + уа = 1, пзмепенпе параметра з равно изменс- ыию модуля импульса скорости, сЬ = сспс = ~ сор ! . Н с отрезке ас ( з ( ас,ы где тяга ограничена, 0 ( Р ( оа, асс ~, Р х-с соса ! Р лс Р ио — =- 7л =.~1 + — ~, — = 7о =) 1 + — ) см с, ' амо ) ' сн ~, ' саао,) омо О<у, .-1,0()о <1,7, +у, =1, Если импульс сообщается в начале нли конце траектсрии, то имеют место односторонние ограничения, аналогичные (1,52), (1.53), прп атолл под ор, понилсаетсяоф„(г„.'- + 0) плп лр„(8„— 0).
1.2.3. В в е д е н и е х а р а к т е р и с т и ч е с к о й скорости в аргумент системы. Необходимые условия оптимальности в импульсном случае можно исследовать и непосредственно, без связи со случаем ограниченной тяги. Для этого можно, например, перейти к новой независимой переменной а, которая включает как время 1, так и характеристическую скорость пс -= = — с 1п(т,слла) и относительно которой можно единообразно записать уравнения движения КА на всех режнмах полста: 111 движинив в пгоизвольном полк 41 при Р— ~ оо будет уд — ~ О, уз —. 1, в прсдело получим у„у, для импульса.
Позтому вездо 0~(уг~(1,0<у.~(1,)й ',-ус =1. (1.58) В импульсном случае в системе (1.57) управлением можно считать как (Р, У'), так и (ум 7„1') с ограничениями (1.3) и (1,2) при Р оат =- оо илн (1.58) соответственно. В последнем случае тяга Р вообще не рассматривается *). В соответствии с системой (1.57) на отрезке (з„, з„] (з„не задано) надо будет осуществить перелет между точ- КаМИ т = 1'и, Х" .= Х'и, т = та (Ю =- 0), Г = 1п Н Г = Га, р = ага, 1 = г„с минимальным зпачсппсм функционала — пзя (или 1пс) при наличии ограничений (1.6). Для оптимальной траектории т (з), Г (з), т (я), 1 (з), согласно (4), необходимо существование неотрицательной меры и (з) и сопряженной вектор-функции зр, (з), зрг (г), (з), фс (а), удовлетворяющей системе дф т зге ао (ф ус) та и (1.59) фт Ыа дф, Ть !ди ~ да зри) + с,— ао(,д1 ' ) 'дС ль ('р ) =- „, ((зр.
г ) + (Ч'» и) + И + тф З + Тз ( (зрг, Г') — — ~ ~ =+ пах = О. (1.60) с Функции зги (а),ф (з) будут непрерывны, функции зр„(з) зр1 (з) разрывны в точках со скачком меры о (з). Из уравне- «) Заметим, что система (1.57) может быть применена и для анализа движения при Р,„,» < со, тогда тд=уь(Р, т), Гг = уз (Р, т). таких, что оптимальное управление (Р (з), /о (з)) почти всюду максимвзирует функцию Я; (з(З х, и) = (ф, )), обращая ее в нуль: 42 УслОВиЯ ОптимАльностп кОсмическОГО МАНВВРА игл 1 ний (1.58), (1.59) и принципа максимума (1.60) следует тогда, что на оптимальной траектории в импульсном слу чае выполняются условия Р (з) = Ф /~ фг ~ пег — '"— (г) = сопз$ = 1, з Не (з) = — (ф, Р') + (ф Р, д) + Ф~ ~(0, еог Н (г) = ( фг ( — — ~( О, у, =1 (Р =0), у, =0 при (фг((1, )фг(г')) = шах(фг(з)/=1 при т,(з))0, Н,(з) ЕЕ О при г~~~(г~(ф (1.61) (ф„(г), фг (з)) =- 0 при Т, (з) ) О, г~~м ~(з ~(4, (1.62) Здесь г~м =г„+ Л г'„Я =г„— Лдн, причем ЛР", (ЛР"и)— импульс, сообщаемый в начальной (конечной) точке, при $ = 1„(Г = 1„), з, ~ ( г ( ям~ — внутренняя (по вре- мени) дуга траектории.
Если перейти ко времени г, как аргументу, то отсюда и из (1.59) получим все приведенные выше, в п. 1.2.2, усло- вия оптимальности. Однако условия, выраженные через аргумент г, полнее прежних условий, выраженных через время г, так как они дают, вообще говоря, более полную картину поведения соответствующих функций в процессе сообщения импульсов. Из предыдущего следует, что наиболее содержательны- ми будут условия оптимальности для внутренних (по вре- мени) точек сооб1цения импульсов.
Поэтому представляют интерес случаи, когда внутренним оказывается и началь- ный (илн конечный) импульс. 124. Частный случай системы, не за- висящей явно от времени. Пусть рассмат- ривается система, которая обладает следующими свойст- вами: а) Гравитационное поле д (Г, Г) и ограничения Ь; (т, 1) не зависят явно от времени, д = д (т ), Ь, = Ьг (т'). б) Конечные (или начальные) условия (и функционал) не зависят' явно от времени. ДВИЖЕНИЕ В Г)РОИЗВОЛЬНОМ ПОЛЕ 43 При выполнении условий а) и б) сопряженная переменная )))1 = О. Рассмотрим некоторую точку ЛХ; сообщения импульса ь)р), ей соответствует отрезок )Р) ()л()Р) 11) (а) скорости и .
Для любого значения и)' на этом интервале моягно взять в точке М; соответствующие координаты т (га'), Р (и)'), сопряженные переменные)() (и)') и проэкстраполировать их вперед при условии дальнейпгего пассивного полета в пределах допустимого множества. Получим проме)куточную орбиту l Худ ) Т (и)') И СООтВЕтСтВуЮщуЮ СОПря- 1) ' а)г) Г нсенную функцию )() (и)', М), ЛХ вЂ” ) ь', / текущая точка орбиты Т ()Р'). )) (' ХГш')~' а)) ()л', ЛХ;) =- ))) (т'). в) Промежуточпь)е орбиты Т (и)) ) ! / .( ю) н функции ))) (и), М) на них — )) ~ ( ' ' 1 периодические с общим периодом ) !: /)~ т ()Р), движение по проме)куточной ', ) ~ йш' й //,1 орбите удовлетворяет заданным г '): Оф ~',') ограничениям (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
