Ивашкин В.В. Оптимизация космических маневров (1975) (1246627), страница 4
Текст из файла (страница 4)
23) (1. 24) д' =.4= ( *' '* ~, 1!' —.1,23, д! — частная производная от вектора д (!', !) по 1: В уравнениях (1.23) д,' = А — матрица частных произвол ныл от компонент ускорения д (1'. !) по декартовым координатам точки: ДВИЖЕНИЕ В ПРОПЗВОЛЬНОМ ПОЛЕ 23 Рис. 1.2. Схема пролета у ограничивающей сферы Полная производная по времени от функции ограниче- нийЬ; (о, 1) равна радиалыюй проекции скорости КА относительно 1-й планеты: — =. — (~ — 7 ь р.) иь, о дг о и является непрерывной (при Рыах ( со) функцией. В точках контакта траектории с границей Ь; = 0 функция Ьз (1) достигает максимума.
Если точка т' контакта не яв- г)з (1.18) следует. что (Ь;.) * есть единичный вектор р,, направленный к центру /-го небесного тела, т. е. нару- о н,у из допустимой области движения (рис. 1.2). Производная дЬ (и 1)!дг равна составляющей )гез скорости центра ) го нобесного тела на радиус-вектор — р; (рис. 1.2). При 7 = 0 (рассматривается небесное тело, в центре которого взято начало координат) Гд"Х о дй (,дг) ' дс Из изложенного и из (1.17) следует, что компоненты (орг, 'Фо,) =(тю то~ фо, "тг) век- усг тора ф, соответствующие вектору скорости Х' и массе т, х~ непрерывны.
разрывными могут быть лишь компоненты %' (тьг ф1) = О) г Фа "тьа Фе) у ответствующие радиусу-вектору н и времени й Если в /ой некоторый момент х; точка находится на границе Ь; = О, причем мера о имеет положительный скачок о(1;) ) О, то уравнения (1.23) заменяются уравнениями для определения разрывов перемен- ных ар„ф~: ф.(~о~О) = Р,(~е — О)+~Р.=-ф.(~; — О) — ЮР;(10, ф,(1е+О) = Р (1о — 0), ф„(1,+ О) =- ) (1, — 0), ф, (1, + О) .—.= ф, (ге — О) + Л Р, = Ф, (1е — О) + О (г;) )г„..
(1.25) 24 условия ОптимАльнОсти кОсмическОГО ИАнеВРА [Гл. ! ляется началом или концолл траектории, т. е. является внутренней (ио времени) точкой траектории, (н Г' ( (а, то в ией траектория касается границы: ЗА,. (и (И), Л ) ( ( ( ) Отметим также, что рассматриваемая система невырождена в окрестности оптимальной траектории (4).
В случае вырожденности было бы Ж (лр, х, и) = =О при всех г, и, лу ~ О. Однако в данном случае при атолл будет Нл =: О, Н, = О; зто возможно ллллил ири лР„,= :О, лРР = О, лР,. = —. О, лрл = О, т. е. При лр = — О. Максимизнруя функцию Я (лр, х, и) по и, определим оптимальное управление Р ((), т"л (Г) при условиях (1.2), (1.3): Я; (ф, х, и) =" Нл (лг, х) -(- — Н, (лр, х, у'л) =+ Н,(лр,х) + — '"' Н,(лр, ) =- О. (1.27) Здесь Н, (лР, х) = Н, (лР, х, У'„'„,) =. тиах ~(лРР, Х") — — "' ~ = Максиллулл Я (лР, х, и) по управлению ~л, определяюи(еллу ориентацию тяги, достигается при ('ФР У ) = (лРР ! (1.28) причем, если ! лрл.
! ) О, то т' ° = Ф4лрг ~ (1.29) Следовательно, для оптимального управления тига направлена вдоль векторалРР, каки в задаче(1) оптимизации маневрирования без ограничения (1.(1), Д. Ф. 9!оуденом этот вектор назван базис-вектором ((м(лллаг-Уес(ог). Здесь будем его называть так же. Максимизируя Ж по Р, 25 ! В движении в пгоизволъном пОлк получим Р„,.„„ если П! (!р, х) ) О, Р,„„=-- .О, если П, (ф, х) ~ О, (1.30) 0 ( Рм„~~, Рм,„., если Н, (!р, х):= О. Ниже предполагаотся, что множество (!: Н, = 0) состоит из конечного числа изолированных точек н отрезков.
Управленпо в изолированных точках Н, — 0 несущественно в данном случае Р„,,„. ( -~. Если Н, †: . 0 на некотором отрезке, то оптпмалыюя тяга непосредственно пе определяется. имеем особый режим управления. Для определения тяги Р можжи например, последовательно дифференцировать уравнение Н, Ц, х) = О, Н! ~ =. ИН!!й = — О, 1 = 1, 2,..., и, пока в вырая ение й"Н!)Ы!" пе войдет тяга Р.
Тогда пз уравнения Н, ~ =- 0 опа определяется. Для данной задачи, вообще говоря, и = 4. В кеплеровском поле такие особые дуги с промежуточной тягой построены Д. Ф. Лоуденом (5). Часто опи пеоптимальны (6) —: (9). В общем случае вопрос об пх оптимальности до конца неясен.
Далее участки Н, = — 0 подробно исследоваться не будут, так как основным предметом анализа будут в дальнейшем траектории с точками сообщения импульсов тяги, соединенными пассивными дугами. 3 а и е ч а и и я 1. При движении в более сложных силовых полях, если ускорение (не обязательно гравитационное) равно д (зц г', и!, !), в уравнониях, определяющих очр)!)ц появляются дополнительные члены: — (дд)дГ)* !рг — для !1фг!Ю,— (дд/дт, !рг) — для !р„,.
Однако в функцию,Жчлен д (и, уг, л!, !) войдет опять лишь в составляющую Н„но зависящую от управления. Вид функции Н, (!р, х, и) и, следовательно, выражения (1.29), (1.30) для оптимального управления не меняются. 2. Условия оптимальности (1.27), (1.29), (1.30) аналогичны обычным условиям без учета ограничения (1.6). 1(о следует иметь в виду, что теперь сопряженные функции определяются по-другому, так как, вообще говоря, мера не равна нулю, см. (1.23). Рассмотрнх! отдельно пассивные участки и участки Максимальной тяги. 26 УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ КОСМИЧЕСКОГО МАНВВРА ИГЛ. ~ 1.15. Пассивный участок.
Пассивным называют Участок (Г; ( Г ( Еьм) ДвижениЯ Кл, на котоРом Н,(г)=~~р,(г)~ "'<Оф""<О, ~ р ~<'"'~", (1.31) реактивная тяга Р (Г) равна нулю. гразовые координаты х' и сопряженные переменные ~ро 1 = 1, 2,..., 8, удовлет- воряют здесь системам (1.4), (1.23) при Р = О. В частнос- ти, будет т (г) = т (г;) = т (гьм) =- сопи, '$т (г) = $~ (г;) = — ф~ (гем) = сопз1, т~Р =- сопзК ~; ( Г ( Г;„. На пассивном участке, в силу (1.31), '"".>О, р >О. На его границах, в точках «переключения», пе явлин психея началом или концом всей траектории, Н,(г;) =Н,(1,.,) =О.
(1. 32) Если участок примыкает к началу (Г; = ~„) илн концу траектории (Г;„= Га), то в этот момент выполняется, вообщэ говоря, не условие (1.32), а (1.31). Из (1.27) следует, что на пассивном участке Н, (ф(Г), х(Г)) =- (~Р„Уг) + (фг, д) + ~уф = О. (1.33) Множество (г: Ь (г) = О) на этом участке может включать отдельные точки или отрезки Ь (г) = О, если они допустимы в силу уравнений пассивного движения (как круговые орбиты в случае центрального ньютоновского поля). Пусть Ь (г') =- О, причем г, ( г' ( Е;„, Ь (Е) ( О в достаточно малой окрестности Г'. Тогда в этой точке траектория касается сферы р; == р;„а, (1.26).
Кроме того, С2Ь (д)Ь1Гз ( О. Отсюда и из уравнения (1.21) следует, что в данной точке (У.")' — + (рп д — Ф,) > О. Рообще, если будет г)йЬ(~')~г11" =- О, Ь = О, 1,..., 2т, йт двпжвпнк в пгопзвольном полк то П"'""'й (Р)Фн""н = О, )""-''й (РУасм'"'и С О. При ~ =-:. Р, вообще говоря, о (~') ) О. Тогда функции тр,. (К), ~)О (с) здесь терпят разрыв в соответствии с (1.25), по фупьцпя П„(() останется непрерывной, зто видно из (1.33), моя,но показать и непосредственно: йНО(Р) =- Не(Р + О) — Пе(~' — 0) = Рф„)/) + ЬФ = хл (г) = с(р) — „, = О. Случай двпп;еппя по границе й (К) = О, Г; ~( Г ( 1;.ы на некоторой дуге пассивного полета будет рассмотрен ниже для кеплеровского поля.
116. Участок максимальной тяги. Участком максимальной тяги будем называть дугу траектории, на которой (, ~„„(,)~ ()й 66 1Фг!) — ',", г)н ( с ( е',", (1.34) тяга двигательной установки максимальна, Р = Р,„„,. Если зтот участок — внутренний па траектории, г„ ( ( ~, ~( Г; ~ ( г„, то на его концах !1, (гц') = Н, (1н') = О. (1. 35) Если же участок примыкает к одному из конечных моментов перехода Г„илп 1„, то в зтот момент выполняется, вообще говоря, но усчовие (1.35), а (1.34).
Функция Н, (1) теперь отрицательна: Н, (г) ( О, йп ( Г ( г(~'. Переменные л, ф определяготся из (1.4), (1.23), (1.25) при Р = = Р„,,„.. !1 частности, Ы р Р Р! гиф„,~ Р— (~).) - — — 'ф.+-'(ф,)= -~~ф;(- — ")=-- Н,. (1.36) На участке максимальной тяги будет, следовательно, „— (тф ) >О. Из (1.36) следует также, что на участке н сИ 23 услОВия ОптимАльнОстп кОсмпчкского мАИГВРА [гл. 1 особого управления (Н, (г) = 0), как и па пассивном участке, величина т1(1,„постоянна.
Учитывая отмеченные особопностп поводепия функции тф на различных участкак и условие трапсверсальноств (1.16), получим: (1) 111ункция т1(„, неубывающая, ГГ(тф„) 1(Г ) 0; (2) Иа всей тРаектоРни т1Рь, неотРнЦагельнан. тфь,) 0; (3) Па всем дугат максимальной тяги модуль вектора 1РР СТРОГО ПОЛОжнтсдсн, ) 111 г (Г) ! > 1); (4) Если ф,„(ьь) ) 0 или на оптимальной траектории есть хотя бы один участок нулевой или максимальной тяги, то 1(1 (Гн) ) О; (5) Условие 1Р„, (Г„.) =" 0 может иметь место лишь прп р(1).==.0, Гн(Г Имеем тривиальный случай, когда задача оптимизации пг зависю от функционала т„и уравнений движения.
3 а м е ч а и и е. Если задало условие тн =- т,'„то реаультаты (2), (3) останутся верны всюду, крол1е. быть может, начальной дуги 11аксимальпой тяги, па части которой мон1ет быть 1Р„, ( О. В (й) участок максимальной тяги должен начинаться прн г = Г11 внутри траектории: га ( 1ц ( 110 ( Га. В (5) до точки ф = — 0 возможен участок максимальной тяги. внутри которого ф„, ( О. Рассмотрим множество (Г: й (Г) == О) па дуге максимальной тяги.
Пусть Р ~ (1н, Г„) — изолированная точка па границе, й (Р) =- О. '1"огда в ней выполняется (1.26), кроме того, Вообще говоря, и (р) > О, функции 1р„, ф, терпят разрь1в (1.25). Функция Н, (1) будет непрерывной, Н„(1,. — 0)- Нз (~1 + О) ° Аналогичные условия будут выполняться, если точка па границе разделяет два участка непрерывной тяги, в частности участки нулевой и максимальной тяги.
Условие $ О двпженпк в пгопзвольном полк оч (1.26) сохраняется, условие (1.37) будет выполняться для обоих предельных значений тяги 1' ((, — 0), Р (О '; 0). Пусть на отрезке г, ~( г ( го будет Ь (г) .== О, ! огьг (Г) ~) О, В = Р,о;„. ()Рнентация тяги определится по (1.29). Найдем условия оптимальности такого у оастка. Из условий )о (Г) = О, гйаЫ == О, г(оа'сИ- '.=- 0 следуюот соотношения Ро =: Ро оно~ Ро Из последнего равенства оиределяотся радиальная (в движения относительно )-н планеты) составляющая тяги: (о",, Фг) ю ~($'-")о (,о го) ' ' ~ ~ (д,, Ро) здесь ор — уголмежду вектором тяги Р и радиусом-вектором Р;, причем, очевидно, должно быть созо ф -..=.
1. Функция о)оба(о абсолютно непрерывна, г)оа (х (Г), ор (г))/о)го ( ) 0 иа данном участке. Преобразуем функцшо о)оЬ/о)го. Еслиф ~'-- ~'о ! ! фк (, то, учитывая (1.23), получим Луо "Фг, о о о аг ао (Ро '~ ) . (А оР„))(оР ! здесь А =р',— созф оРг — вектор, ортогоиальный к тяге Р, ле'кащий в плоскости векторов р,", Р (рис. 1.3). Модуль вектора А равен ~ з(п ор (. Следовательно, ~'(Я оР) = — [(А, оР,.) — ВЦоР, ((=) О, Г,(Г((о (1 33) 30 условия ОптнмАЛ| ности косынчвского мАнкВРА ||а. 1 сйункция В (!) абсолютно непрерывна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
