Ивашкин В.В. Оптимизация космических маневров (1975) (1246627), страница 7
Текст из файла (страница 7)
1.4). Пусть Т (и))1'), Т (и)'), Т (т(1))— промежуточплзе орбиты до сооб- Рнс. 1.4. Случай, когда щения импульса, после сообщения оскулнругощне орбиты части импульса )л)Г'. = ь))Г) (и)' — прн сообщении ннпуль— и)(1)) ))1)г; и после сообщения са не пересекают огра- ннченне. всего импульса соответственно. Осуществим перелет из начальной в конечную точку по траектории Т вЂ” реализации исходной траектории Т, отличающейся от нее тем, что на траектории Т при )Р = и)1, )и = — )л', )л == и~г делается 11) 13) дополнительп о по одному п ассивпому (Р = О) обороту вдоль соответствующей промежуточной орбиты. В конечный момент перехода 1„+ т ()л, )) + т (и)') + т (и); )) получим прежние параметры т „, р„, тк. Конечные условия выполнены, т.
е. траектория Т тоже оптимальна. Рассмотрим значения ))) (и), М;) соответствующей сопряженной функции в точке М; приложения импульса пк О )Р;" ( ( и) ( в;1), и функцию )р (а) до и после импульса Л)Г). г) Существуют сопряженные функции )р (и), М;), и)О) ( ( и) ( и)1~'),)))'(з), гкХ л~(л~ ~, а1 ~<л сгк, общие для всего 44 вслОВНЯ Оптимальности кос31и 1еского мАнеВРА 1ггг. г множества реализаций данной оптимальной траекторпгг, образующихся при дополнительном пассивном движении по пекогорому коночному числу промежуточных орби ц причем прп гг, ( ш ( и па этих орбитах й = О можгг ,(и быть лшпь в точке приложения импульса ЛГ1.
Условие существования общей функции ф выполнено заведомо, например, когда функции ф (иг, М;), 'ф (з) единственны, т. е. однозначно определяются условиямп оптимальности. что ооычпо пыеет ыесто прп мпогоиыпульг. ном переходе. Условие относительно Ь практпчесг;и пе ограничивает обгцпости. Дойствительпо, во-первых. как правило. Ва нромежуточггой орбите 11 (1И) ( О п1г~г ЛХ -~ Луг, ибо есщг бы прн некотором иг было бы 6 (ЛУ) = О, М че М;, то в общем случае, пз-за д)ге,,„,)г)и~ ча О, в некоторой области значений иг стало бы гг (М) ) О, т.
е. нарушились бы огранпчсппя. 1)о-вторьгх, если бы прп й (Лг) = О, .1Т ~ Л1; Ггыло о (11) > О, то, вообще говоря, этот сггачок моры вызвал бы пзгггпенне базис-вектора фг (ЛГ1), что швозыолто. Прн выполнении свойств э) — г) 1. Импульс ЛгГг без ограничения общности можно счп. тать внутренним. 2. Прн движении вдоль любой промежуточной орбиты т (иг'), иг',О ( и' ( игг'г, модуль х, базнс-вектора фг (иг', Л4) достигает максимума в точке М; сообщения импульса: хг (Лг,.) = 1, - хг (ги', М), иги ( иг' ( игггг, мыг'1 а'г Действительно, па оптиыальпой траектории Т импульс ЛгР 1 вклгочен внутрь т)шекторпи перехода. Далее, в силу условий оптимальности Т, модуль х, достигает максимума в точке М; с учетом двмжсппя по промежуточной орбктг Т (иг ), сопря;кеннан фущигпя па которой совпадает, в силу свойства г), с экстраполяцией ф (и', М) вдоль орбиты зна. чения ф (иг ) .
гу (и . М;). С л е д с т в п е. Если заданные ограничения выполняются прп движении вдоль промежуточных орбит, соответствующих лвшь некоторой части импульса, иг; ( гм ( игг ( иг ' и' " щг, то результаты 1, 2 справедливы для этой части импульса. Пусть, например, яа орбите Т (иг',") нарушаются ограничения, а на орбите Т (иг~,'~) 1 г1 движвник в пгоизвольном полк они не нарушаются (рис. 1.5). Тогда прп сообщении некоторой конечной части импульса, при и>, ( ю ( и~~'', ограничения не нарушаются, к ней можно применить результаты 1, 2. 1.2.5. Численпое определение оптимальных мпогоимпульспых пореход о в.
Рассмотрилг вопрос об использовании приведенных условий оптимальности для численного определшшя оптимальной траектории л~ногонмпульсногоперехода.Пусть, .' . 5Ч„- например, задача такова, что ~к Г на концах траектории заданы ; / все кинематнческие парамет- ( Ры (т'к рк~ гк) (ик г к гк) 1 ~ у(егщ) ),') у(ег") на траектории сообщается Х ! (,~ ' /~-!~™ импульсов ггГ; (~ — 1, 2,... гг') в моменты Г„при-: .
й ~,г .у у( се)) чем первый импульс сообща- хк 'Щ~/,/~к ется в начале, а последпий— в конце перехода, Г,ч = 8». Пусть, далее, в М точках (М(Х вЂ” 1) в моменты Ряс. 1.5. Случай, когда оску- (Г ( ее ( Г ( ) ~ лкрующнс орбнты прн сообще- нпн части нмпульса нс перс- 6 (1, 2,..., дг)) траектория сскают ограпнчеепе. касается ограничений. Ь (г,') = =О, и (г;.) ) О. Тогда в качестве неизвестных параметров, определяющих траекторию, могут быть взяты, например, следугощие: крс (1к) = = чркк, ерш (Гк) =-. чркк ф» начальные значения сопри женной вектор-функцин, импульсы ЛР; (1 ~(1 ~( Х), моменты Г; (1 ( 1 < Л"), г*,, скачки о (Г,").
Им соответствуют конечные УсловнЯ Р (~„) = ик, к (Гк) = Х'к, Условие (1.45) Не = О, условия (1.42) для определения ориентации импульсов Лагг = грен (П). условия (1.44) хг(г~) = 1, 1 ( 1 ~( Дг, условия (1.48) для внутренних импульсов (еу, чрк)(Г~) = О, 1 <' 1( дг, условия для точек контакта с границами шах Ь (1) = О = — Ь (Г;). Легко видеть, что 1 <1<! число неизвестных параметров и число заданных условий равны 45г + 2М + 5. Таким образом, имеется полная система условий оптимальности, и можно, вообще говоря, построить краевую 4З УслОВиЯ ОптимАльности космичкского ь«АИГВРА Сгл. с задачу для определения указанных параметров траекто рии, исходя из необходимости выполнения условий оптн мальности и граничных условий.
Данную краевую задачу можно строить разными способами. Можно, например, параметры определять все сразу, в рамках единой краевой задачи, тогда получится (4С«' + 2М + 5) — параметрическая задача. Но можно все параметры разбить на несколько групп, выделив одни параметры во «впепшюю« задачу, внутри которой, «внутреннимиэ краевыми задачами, будут определяться другие группы параметров. Для указанного вьппе случая можно, например, определить ,о «внешнейа краевой задачеи переменные х = («р,а, фг„, АГЛ) так, чтобьс вектор невязки конечных условий у =.
= (м (С„) — м„, Г (С„) — Г„) обратить в пуль, д = О. Прп этом к,„ = !«р„„ ) = 1, после задания вектора х перемонная «р, определяется иа условия Н, = О, моменты Ср(1 < ( С <" с«') определяются условиями («р„(С;), «рг(С;)) = О, « импульс АГ; ориентируется вдоль вектора «рг (С;): АГс =- = $~~ (С;), его величина АГ; (С < Л) определяется условием х,(С;„) = 1, если Ь (С) < О при С; ( С ( Сп м элли условием шах Ь (С) = О, если ла отрезке (С;, С„,) есть й<!<1 точка контакта с границей Ь = О, при этом момент С; задается равенством «СЬ (С~)ЬСС = О, а скачок О (С;) определяется из условия к, (С;„) = 1. В этой схеме получается 6-параметрическая «внешняя» краевая задача, внутри которой последовательно работает несколько других краевых задач меньшей размерности.
Аналогичная ситуация будет и в том случае, когда условия на концах отличаются от рассмотренных выше. Заметим, что после решения краевой задачи надо проверить выполнение вдоль всей траектории условия максимума базис-вектора: ( «рк (С) ( <. 1. Если рассматривается система, независимая от времеви, то это условие, может быть, надо проверить п на промежуточных орбитах, соответствующих сообщению импульсов. Практически краевая задача может быть успешно ре. шепа, конечно, при наличии достаточно хорошего начального приближения.
Существуют разные методы получения начального приближения. Для этого могут быть использованы, например, параметры некоторой траектории пере- зхменА пегеменных В зАдхче оптимизАцяи 47 лета, относительно которой есть предположение, что она сравнительно близка к оптимальной. или параметры решения в некоторой упрощенной, модельной постановке. Сопряженная вектор-функция на такой траектории определяется из условия, что в точках приложения импульсов 111г (Г;) = гтГ~/Л'г'О а на пассивных дугах функции $„(Г), ~р,, (1) определяются формулами (1.23) при Р = О.
Пример конкретного численного определения оптимальной мпогоимпульсной траектории приведен далее, в гл. У. 1 2. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ЗАДАИЕ ОПТИМАЛЬНОГО МАНЕВРИРОВАНИЯ 2.1. Точечное преобразование координат Хотя условия оптимальности, полученные выше для декартовой системы координат, имеют фнзическп наглядный характер, конкретное решение задачи часто удобнее провести в других переменных. Как при исследовании обычных механических задач, проведя замену переменных, иногда можно лучше отразить свойства симметрии рассматриваемой системы и легче получить интегралы движения (10).
Переменные после преобразования будем отмечать тильдой: х, Н. Опуская общий случай преобразования координат и сопряженных переменных х =х(х,~р,а), $ =~р(х,~р,а), рассмотрим точечные преобразования, которые используются в дальнейшем (см. п. 4.2.4.). Преобразование переменных может производиться как на всей траектории, так и на ее некоторой части. ~а разных частях оптимальной траектории могут быть сделаны разные замены переменных, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
