Ивашкин В.В. Оптимизация космических маневров (1975) (1246627), страница 8
Текст из файла (страница 8)
е. могут использоваться различные перекрывающиеся системы координат. В общем случае певырождепяое точечное преобразование, автономное по аргументу з, имеет вид х =Х(х)(х' =Х'(х', х',..., х"), 1=1,2, ..., и) (2.1 48 услОВия ОптимАльности космическОРО мАнеВРА ггл.
1 причем якобиан н функции Х (х) ~ Св — дважды пепрорывно днфферепцп руемые по совокупности переменных х' в некоторой окрест костя отрезка траектории, па котором делается данное преобразование. Тогда существует и обратное преобразование х = Х (х) (хг = Х' (х', х'-',..., х")). (2.2) Заметим, что хотя данное преобразование автономно, в нем, вообще говоря, участвует и время г, как одна из координат х'.
Примером такого преобразования будет переход от декартовых коордянат и компонент скорости КА к некоторым другим фазовым координатам, без изменения времени и массы КА, как координат: (г', Х', и, г) -в (х', т, 1), г =- 1, 2,..., 6. Здесь г=1,2,...,6, (2.3) Тогда Преобразования (2.3), (2.4) будут для дальнейшего основными. После преобразования координат (2.1) дифференциальные уравнения для х будут следующими (относительно аргумента «): дв' г чг дХ' — = гв'(»', гг) =,~~ го(х, и) = Тг)п+ твГа, (2.5) здесь 1 Г дХг , дХг дХг а -г Хг (ве т=-т =Х', Хв х' = Х'(хг, г), лг —.— т = Х' г=-г=Хв, г,/=1,2,...,6, (2.4) производная от г' прп пассивном полете, у, =- О, ду' , дХ' т 1.0 ди д~я с производная от т; прп импульсном режиме, Т, = О.
Сопряженные переменные ф; удовлетворяют дифференциальным уравнениям е де; ~1 д!' (:с, а) — ! да(х(х)) т)+ 'з Ит, дв' дх' е !' дх' дв' в силу условий Тт+Те — — 1, Тт = Тт(Р, т), Т, = Тз(Р, т), дт д~Ъ Тт дт дт т (см. п. (.2.3). Здесь мера с, та же, что и прежде, так как ограничение Ь (х) инвариантно относительно преобразования координат Й (х) = А (х (у)) = 6 (х). Управлен~~е и (ь) == (Р (а), 1' (а)) опять максимизирует функцию Я Я, т, и) = ~ ч;1 ' (т, и): 1 е1 И~ х и) = .~~ Ч'1 (Т1 ! и + ТгГа) = И Очевидно, функция и (а) будет ппварпаптпой относительно преобразования координат, и (а) =- й (а), Функция Я ф, х, и) также является ипварпаптпой прп замене переменных.
Если вектор 1 правых частей уравнений движения меняется как коптравариаптпый тепзор, то сопряженная переменная тр, как и прп оптимальном двих'енин без 50 УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ КОСМИЧГСКОГО МАНЕВРА ~ГЛ ограничений [10], меняется прп преобразовашш (2.1), как коварвантпый тепзор (см. 3 б): (2 иу) В частности, п р.
=.')' р,( — '„) 1'=1 р,=Х р ~Ф) (2.8) дхд Ф— д~и дХ' ,'"з' ~ ~ д1 3'=1 Коэффициент при 71/аа в функции Я есть, как легко видеть из (2.8) и выРажений Дла Я, 7 „', фУнкЦиЯ Х1,=- аа „х 1РД, =- = (ф„, Р) —,' Щк, д)+1ро Коэффициент при 71 есть функ1дХ1 „дХ1 т1 д ция Н, = ~1 1р1 ( — т'" — —. — ) = (1рг,у"") — '" . В по'(1дг до~ а ) ' х 1 вых переменных х1 получим, следовательно, прежние условия оптимальности, выраженные через новые переменив.е х1, 1р1. Обозначим дХ1; дХ' дх1 дв' ( 1, ) = е, хь.а=б:=- 1,' ~ О, )~й. Матрицы в = (ь',-), в-' = (б) есть матрицы частных производных для прямого и обратного преобразований (2.1), (2.2). Пусть 1р = (1р„~р„ ..., $,)*, тогда (2.7) можно записать в матричном виде: Ф = в*%.
1 з) зАмкнА пкгкыкнных В зАдАчк ОптимизАции 51 Отсюда получаем дв Нв т1 -в — — — 11 в = О. дв дг ав ' для сопрян'енных переменных вр прини- Уравнения (2.6) мают вид — — „1=-Х( ° 1=1 д)'. д).' ~— дв1 двв дЬ (в) + б, двв 1=1, 2,..., 6,8, в = — '„', (р, Р) = —" (Х вЂ”",~ % у') 1=1 сопряженных переменных (2.9) будет Преобразование ~ =(В-1)*р, '~ дХ1(З) дл1 1 =(- ) ( ) дг т /дГ т дав, дв —, вР„) + ( —,, вР,,) -(- — вР—,'- — 1(11.
(2.9) Если в точке г1 скачка моры переменная ф имеет скачок Лф = ( — ) Лб (~ ), то и переменная вр будет иметь аналогичный скачок Лф = (В ~)* 111(1 == (В 1) — ) Лб(вв) = — Л5 (в1). Очевидно, что аналогичным образом осуществляется изменение переменной вр и при преобразовании недекарто- вых координат. Рассмотрим подробнее преобразование (2.3), (2.4). Уравнения (2,5) для координат У будут следующими: Т1 1 дХ1 дХ' дХ') ЗХ' в вв(, дг Ит дт»г Кв дв 52 услОВия ОптимАльности космпчгского з1АИВВРА (Гл, 1 выглядеть следующим образом ( дв (л',1) ) (дт" (В1, 1) ) 1, / .=. (, 2, ., 6, (2. ( 0) вр~» = Ф» / д1 (В1, 1) ), / ди (л1, 1) 2.2. Преобразование, не зависящее от времени Пусть преобразование (2.3) пе зависит от времени, 21 = Хв(г, Г), — ' = О. Тогда лв = Х' (Х), — '= 0,1:= дХ1 дХ1 = 1, 2,..., 6. В этом случае 1у1 .=- ф„временная компонента сопрягкеппых перев1епнь1х Инвариантна относительно данного преобразования.
2.3. Независимость радиуса-вектора илп вектора скорости от некоторой переменной хв Пусть преобразова1ше (2.3) таково, что д1/ду' Тогда, в силу (2.10), Обратное преобразование: в (дХ1(в, Р,1) )' 1=1 в ( дХ1 (1, Г', 1) ~* 1=1 чв дХ1 (Р, 1, 1) дв 1=1 Следовательно, при преобразовании (2.3) все переменные (кроме 1Р„), вообще говоря, меняются. Рассмотрим интересные частные случаи точечных преобразований. ] 3] ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ЗАДАЧЕ ОПТИМИЗАЦИИ 53 сопРЯженнаЯ пеРеменнаЯ сдс опРеДелЯетсЯ лишь пеРеменными зуг = (фз сгз сгз) Аналогично, если дГссдхс = О, то з Эти обстоятельства имеют место, например, при линейном преобразовании координат и скоростеи.
2.4. Поворот декартовой системы ксюрдипат 3 =- В 11' = В' 1' )х' == ~ Ь';тс~, 1=1 з Х" = В']х (хс-3 = ~~~ Ь,'г"(, 1=1 позтому — — О, д (31+3 ди" 3 =О, 1,)'=1,2,3. д (зз, 1) —. = Ь,' дг' дус';3 Ьс' дзссз Пусть осуществляется переход к новой декартовой системе координат ОХ)'х, получающейся пз старой системы ОХТА некоторыи поворотом, которому соответствует матрица В = (Ь',). Тогда если х' — координаты точки в новой системе координат, то 3 хс = ~~, Ь',хс (г = Вз), 1=1 здесь т' =- (х', х'-, т')* — радиус-вектор в новой системе координат, 1 (х', х', хз)*. Аналогично меняются координаты вектора скорости 3 у]сз — ~' Ь( оз (], Вт.) 4=1 Уравнения движения останутся прежспсми, векторы тяги и ускорения тасспсе претерпевасот поворот.
Обратное преобразование имеет вид 3 з4 услОВия ОптиыАльиОстп кОсмическОГО мхнеВРА 11Ч1. 1 Сопряженные переменные меняются следующим образом з 3 ф; = Х '— ',. фз =- Х ЬЪ (ф„= Вф,.), 1=1 1=! з)зз~з,1~~ -зз 1(з,.з =,Я~ Ь,'ф+з (зРР = ВзР.) 1 У = 1 2 3. Отсюда следует, что комплекс11зр,, зрг являются ооычными векторами в декартовой систоме координат. Примером поворота системы координат является, на- пРимеР, РассмотРение вектоРовзР„, зРУ в ю|естнойз системс координат з"', Зз, з з: з' — вдоль радиуса-вектора, вдоль трансверсали, з з — по кинетическому моменту Х = 1 Х Х' (Прн з ~ 0), ВЕКтОрЫ бЕрутСя фИКСИрОВанвмми в некоторый момент времени. Пусть Г1 (4) — уравнения движения центра масс 1'-го небесного тела, в который мы хотим поместить новое начало координат (при этом координатные оси смещаются параллельно).
Формулы преобразования принимают в этом случае следующий вид: 3 (~) Г = р- — р,(с), т=т, у=К. р,(г) = 'Ф), Выпишем дифференциальные уравнения движения в новых координатах: 1=Г-, р = р' — р'; = д (г, 1) — р';+ — у'з = д (з, 1) + — уз, здесь д (, Г) = д (г (г, О, ~) — Р;(4) — гравитационное ускорение в новой системе.
Новые сопряженные переменные выразятся через старые 2.5. Переход к другому началу координат. Особенности оптимизации траекторий при расчете по сферам действия З) зАменА пеРеменных в зидА'!е оптпмнзАц!и! 55 следующим образом: Фп1 тт 'Ф = зг„огг = 1гг Ф!= 1Р!+ (,д~ о)о„)+ (,у~' 4Ъ.) = 1Р!+(!"! Ю+("'»Ю Рассмотрим частный случай гравитационного поля и точечных масс Мо, ! = О, 1,..., п — 1.
Пусть начало координат основной системы — в центре масс небесного тела с номером 1 = О. Тогда (11) ~,зо1. ", ! здесь 11! = НМ! — гравитационная постоянная 1-го тела, М, — его масса, х — гравитационная постоянная, т' — радиус-вектор (в основной системе) КА, !.= ~ з' ~, т'о — радиусвектор й-го небесного тела, го =- ~ г1 й ро = т — о ю ро =) рз!. Движение нового центра (/-го тела) осуществляется в соответствии с уравнением ое!о,п '! Р11 'о / здесь ро! = ~1 Н1 рго = ~ рен!" При переносе начала координат в центр !'-го тела получим В случае системы двух небесных тел (! = О, 1) будет (Ро+ Р1) гз ' 1 Р! ( т г1'! "1 "1 55 услОВия ОптимАльности косми'!Вского МАИБВРА !г;!. ! Здесь е = — р, ( —, + —,, )г, е, =.
— р, р — — )) — век оо- О 1 О 1 1 ры отклонения ускорения от кеплеровского вбл пап соотв! тствующего центра. Так как для значите, !ьяой части многих реальных траекторий космического полета поправки е, е, бывают достаточно малы, то для прпближенпого и.!а проектного расчета оптимальных траекторий межпланетного перелета часто используется метод сфер действия (или сфер влияния) [12), (13), (14). В этом случае прп движении КА внутри сферы действия небесного тела относительно этого тела гравитационное поле считается кеплеровским, соответствующим гравитацпоппой постоянной р; =- нМ; этого небесного тела, т. е.
влиянием других тел пренебрегают. Начало коорднпат системы переносится в центр сферы действия, т. с. и центр !'-го тел,г, Тогда если р; =- о — 1,. то уравнения движения в сфере действия )'-го небесного тола будут следующими: =рг=й, Р (р грз) р 1РО Нестандартность такого подхода с точка зрения анализа оптималыюй траектории (по сравнению с точным представлением поля (2.11)) заключается в возмогкном нарушении непрерывности гравитационного ускорения прп переходе из одной сферы действия в другую.
1'ассмотрпм возникающие вследствие этого особепностп (см. и. 4.2.3). Пусть оптимальная (для такого модельного рассмотрения) траектория проходит вблизи нескольких небесны: тел, пересекая границы их сфер действия с некотороп ненулевой радиальной скоростью Р, (г!) -ь О, Р, (!1) = Р,, здесь р, — радиус сферы действия у'-го Небесного тела. Вся траектория разбивается на несколько участков, каждый из которых проходит внутри некоторой сферы действия. Участки склеиваются друг с другом в точках пере- сеченая траекторией соотвстствун!щпх граьищ сфер дойствия непрерывно по фазовым координатам 1, 1', пг, г (со скачками скорости и массы, осли прп г =- !1 сообщается импульс). 1 11 ЗАмБЦА пегем11нных В зАЦАче оптимизАции 57 Гравитационное ускорение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
