Ивашкин В.В. Оптимизация космических маневров (1975) (1246627), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Изменение фазовых координат по времени описывается следующей системой дифференциальных уравнений (при Р„„„, ( -"о): сЬ' и л1 юв ~71 Ы8 л1 (н,1)+ — Р, (1.4) В векторной форме система (1.4) запишется в виде Ы» — = 7(л, в), 7'= (Р *,(~+ — У")*, — —,1)"', п е Р (1 5) (Р Уо) р,=-!р;~, р;=к — т; (1. 7) — расстояние от КА до центра у-го небесного тела, р;„ы— заданные предельные расстояния подлета к планетам, учитывающие их радиусы, толщину атмосферного слоя, точность знания движения точки вблизи у-й планеты, и т. д. (рис. 1.1). Предполагается, что сферы, соответствующие ограничениям (1.6), не пересекаются, так что точка не может находиться одновременно па различных ограничениях. Расстояния от КА до небесных тол дол кпы удовлетворять ограничениям: )г, (н, 1) =- — р, (и, ~) + рк,в, ~( О, (1.6) здесь тп УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ Космит1ЕСКОГО МАНЕВРА 1ГЛ.
1 Необходимо осуществить перелет из начальной точки (в момент 1„) с заданными параметрами т' (~ ) = — т « = 1', и(р„) =- Гк= р''„, ~п —. ~'и (18) и условием И (тк) == тк ~~ т„ (1.9) (или лак — лтн) В КОНЕЧНУЮ ТОЧКУ (В МОМЕНТ тк) С ЗаДаПНЫМИ ПаРапвтРанн т' (Гк) ь— н т'к = т'к гк = гк. Втк .=+ 1П1П (1 12) Для системы (1.1) — (1.12) предполагается существова- ние оптимальной траектории перелета с кусочно-непрерыв- ным управлением.
Предполагается, что оптимальная Рно. 1.4. Схема полета КА. траектория прилегает к границам допустимой областя движения (1.6) конечнььм числом отрезков и точек. Далее получим необходимые условия оптималыюсти такой траектории. Случаи других, по сравнению с (1.8) †(1.12), заданий начальных н конечных данных и функционала получа- При этом значение конечной массы т (~к) = т„должно быть максимальным: ЯП ДВИЖЕНИЕ В ПРОИЗВОЛЬНОМ ПОЛЕ 11 ются введением дополнительных «условий травсверсаль- ностна (см. п. 1,2.1). 3 а м е ч а и и о 1. Условие та ( л«„'часто является более оправданным, чем простое задание начальной массы т„= тй ввиду того, что, во-первых, для имеющегося КА часто бывает задан максимальный начальный вес (в соот- ветствии с объемом топливных баков), а фактический вес (фактическая заправка топливом) может быть меньше, во- вторых, задание слишком большой начальной массы при фиксированяой максимальной тяге 1'„,„х может привести даже к уменьшению конечной массы т„.
Поэтому основ- ным ниже будет вариант с ограничением т„~( т,',. Глав- ные результаты пе меняются и для случая т„— — л«„, не- большие соответствующие отличия будут указываться. 3 а м е ч а н и е 2. Приведенная постановка не явля- ется, конечно, самой общей для задач оптимизации косми- ческого полета.
Однако она достаточно широка, подходит для определения энергетически оптимальных траекторий широкого ряда задач, мо'кет быть легко обобщена в более сложных и специальных случаях. К тому же такая поста- новка близка к импульсной постановке, которая далее бу- дет основной, 3 а и е ч а н и е 3. Данная постановка близка к поста- новке Д. Ф. Лоудена (1), отличаясь от нее в основном ограничениями (1.6). 1.1.2. Н еобходимыо условия опти- м а л ь и о с т и. Пусть г(1), 1 (О, л«(г) — оптимальная траектория в рассматриваемой задаче. Для аналнаа оптимальности траектории применяем условия Дубовицкого — Милютина (2] — (4) (см, з 4). В данном случае, ввиду пепересечепня поверхностей йт = — р; + р;„„„, = О, можно вместо нескольких огра- ничений (1.6) рассматривать одно ограничение л (к, ~) ~( О, понимая под ним то из ограничений йт (м, г) ~( О, которое существенно на соответствующем отрезке времени (см.
и. 4.2.2) . Для оптимальности траектории г (О, Г (~), т (~) н соот- ветствующего управления и«(г) необходимо существова- ние такой сопряженной вектор-функции ф (О =- («р, (г), «р«(~),..., «р«(О) * н меры о (г) > О (сосредоточенной па множестве (г; л (г, О = О)), что на оптимальной траекто- рии управление и«(О почти всюду максимнзирует функцию »о УСЛОВНЯ ОнтИМАЛЬНОСтн КОСМПЧЕ»СКОГО МАНЕВРА ИГЛ. 1 Я' (тр, х, и) =- (7 (х, и), »р) ( О, обращая ее в нуль: ,»ь (»у(~), х(К), ие (С)) (=-) п»ах Я'(ф(»), х (»). и) = — 0").
Функция тр (1) удовлетворяет системе — = — (),.)* ф + —, (Ь„)*, »1з )~ О, (1.14) которая понимается как интегральное уравнение или уравнение в обобщенных функциях. В соответствии с видом функционала (1. 15) т)»а» (та) = »Рт (тк) а О. Кроме того, если имеет место условие (1.9), то р„(гп) '-= О, (1.10) причем тр (»н) = О, если та < т,. Если Ь (г„') ( О, Ь (С„) ( О, то»р (1) ~ О. Везде в дальнейшем будем рассматривать нетривиальный случай »г' (г) Ф О.
В системе (1.14) 7„=(,.' ) — матрица частных про( д»(т,а) ) дхт изводных от правых частей системы (1.4) по фазовым (дл да дь» координатам, Ь„ = »вЂ †,,..., †» — строка про'(дю ' эх '" д» ) изводных от функции Ь (»., 1) по фазовым координатам. Если па некотором отрезке 11 ( г ( 1» мера о,(1) =- ! =- ~ Ж(») абсолютно непрерывна по ц то система (1.14) бу1п дет здесь системой обыкновенных дифференциальных уравнений, в которой О (1) =- с»о7й — интегрируемая функция. В некоторых точках 1», Ь (»;) = О, могут быть скачки меры, о (~») . О. В этом случае о включает 6-функцию а (11) 6 (» — 1»). Функция тр (~) будет раэрывна в этих точках: Л»Р (С») = »)» (Г» + 0) — т)» (Г» — 0) = о (К») Ь„(С») *.
(1.17) Скачок ст»Р (Г») направлен вдоль градиента Ь„(~») *. *) Равенство, выполнн1ощсссп почтп вс»оду, будем обозначать знаком (=). $11 двиьчгппе В пголзвольноы полг. ге Дифференцируя Ь" по х, полунин градпопт Й,. (вектор- строку): Й',. = (Й„', Й'„Й'„„Й|), (Ь„)* = — Рдр, — — р,", Ьг =- О, Ь,„= О, Ь~ =' (Р~ У УР . (Р~ У~) = гм.
(1 18) Здесь Уз=Ум, 1 1= — Умр~+~ — разлоясение скорости У; )-го небесного тела па радиальную (по Р~) и трансверсальнук~ компоненты. Полная производная от Ь (х) по времени = Ь (х) =- Ь . 1 (х,и) == Ь,. У + Ь, = (Ро у у) (Ро уп) )гм (1ч9) здесь у"' = у — у = у" + у'ч — скорость КА относительно Рчго небесного тела, У,, м У,' — ее радиальная и трапсверсальпая компоненты: Уы ( ОРО ) УМ (Е РОРО ) Ум Š— единичная матрица. Градиент функции Йг Ь'„= (Ь'„, Ьг,Ь',Ь) ), Далее будет рассматриваться случай кусочно-непрерывного оптимального управления.
Б этом случае условие (1.13) будет выполняться всюду. Для дальнейшего пуьчпы будут последовательные производные от функции Й,. (и, г). Рассмотрим их. 1.1.3. 0 п р е д е л е и п е ф у н к ц и й Ь', Ь',. Пусть де ижение осуществляется вблизи 1-го небесного тела, ха(г), У, (г) = — Р; (г) — радиус-вектор н вектор скорости его центра масс 0;. Тогда функция ограяичеппй Ьо 2О Условия Оптно1Альностп косом!'!ГокОГО МАпев!А 1Гл. ! где (Й',.)" — — (др",/д!')* Р"' == — (Р м — 1'."р,,")/р; = — Ро!/о1, (1.20) Й!' - — — — (др,"/д1, Г") + (р,", 1',) =- (1'„, Р'-") - (о,', г';), в силу соотношений — (е — 4 ) дро 1, о о. д! д„о н д! Полная производная от й! (х) по времени — = йо(х,«) =Й! /(х, и)= Й~~ -1-Й! ( + ~ го)+ Й! = = — (У,", и)/1Й вЂ” (р,', д + ~ / о) + (и,д 1 ")/р! + (р,э и,) = ро! $ (1,21) где а =д — р —,— — ~ =а,р +а, =д + — ~ О '! О '! 1 О 1 о, ! >П й,.
= (Й,,йо, й',„,й! ), — ускорение в относительном движении, а,' — его проек,о ция на радиус р„до =- д — !' — его «пасснвнаяо составляя!ща я. Функция Й' зависит от управления, поэтому для данной задачи наименьший порядок производной от Й по Г, зависящей от управления, равен п — — 2. Вычислит! производные от Й' по координатам: ДВИИОЕНИЕ В ПРОИЗВОЛЬНООО ПОЛЕ о Ю3 Преобразуем д „о ~ВР ло И ( — ") "= '."-"- — ', Во 0 ' ') о 2!",В,, и'.Л Далее ("Р) =' —, (, ) О .. — —,(Š— РР )Оо =- —.— — 2 оо /о~ (ро У'о) Р/лоо )~ Р /Воо )о (ро ~о) о — (р,',д, '— Г,) =- — (~ ",')'р„(р,'о — ~(Г",,) о,) Г,"(, о+ „'- (Ров а'-,')((о; — (Р,', д~ — Г,) + 2(1,", (Р',)о), так как дР'," д' роро* до о !* до""' д Р'" (~'.) д,, (У' ».)Ро (Р' (У')) ! В точках дифференцируемости управлепыя и (С) получиы Ро На участке Р = сопвс будет 2З услОВия Оптпмлл!1гогтп космпческОГО ыАИВВРА [Гл.
! 11а участке Ь = О, )11 а— м О, 11а = О, Р = со~!з~ будот ОО1)! (~ ГЧ е! ~ ььь а" 1И (!.22) 1.1 4. Оптимальное у и р а и л е и и е. Копкретизируел! функции !р (!). Я (ф, .г, и) щшл1епительпо к системе (1.4). Обозна н!и чеРез 1Р„комплекс (1)11, !)1а 1Ра) "' переменных, соответствующих коордппатаи х', х'..г" [!адиус-вектора и, через !рг — комплекс порсмекпь1к (!1,. !Ра, !ре)е, соответствующих компонентам х', х'. х" скорости 1, !рт = 1г! 1Г! — !рв. Тоска н1 (1.14) получим Ф. = — (д.(м, 1))*Ф ° -'; о(1) ().(!', !)), Фг = — 1Г., Ф = —,„,(Р,Ф), !Р! = — (д! (и, 1), 1Рг) + с (1) 61 (Г, Г), ,гь (!)1, х, и) =- ((1р„, 1г) + Щ,, д) + 1р,) .+ + —,„~МГ,Р) — ~; ~ =- = Н, (~', х) + — Н! (ф, х, У'"), Ы.<~,х) =ОР„~.)+ОР~, д)-О~,, тг ( г1, Го) (1гь !Го) "!4' (1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
