Ивашкин В.В. Оптимизация космических маневров (1975) (1246627), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Например, (д,) =- (р, е, ю, (, 1), Т„), Т момент прохождения перицентра. Переходя в обычных Уравнениях П1) к аргументу г, получим следующие 3 В, в пвошооо Удобство приведенной системы для анализа движения вблизи планеты состоит, помимо прочего, в том, что ограничение (1.6) при г; = О переходит в ограничение на одну координату — расстояние г, другие координаты не будут ограничены.
2.6.2. Переход к элементам оскулир у ю щ е й о р б и т ы. В предыдущей системе координат фигурировали два элемента оскулирующей орбиты: углы /, П. Часто удобны системы координат, в которых элементы оскулирующей орбиты описываоот также размеры и форму орбит.
Пусть делается замена оа услОВия Оптпмал! ности кОсмическОГО МАневрА [Гл. 1 уравнения движения (при ао = 1) е[р)е1! = 2р )Тр[р,р (г(р) Т, о!е[й = 'Г р/рц, (я!пд О+ [сояд+(соя д+ е)г(р) Т), I г ! йо(й = ) гр/р„р ( — (соя д/е) О" + (я!п Э!е) ( 1 + — ) Т— — — я!и и с!и ! Иг), й/й = ~/ р~р„р (г(р) соя и И', !А!![аз = )' р/р„р (г[р) я!Ли сояес !. И', е[Та~й = (ро(ер„р) (г/р) о [(е Н я!п д — соя д) о + (р[г) [УТ[, ![!!![а = Т! Йадй = Та (еа т' е ~(еа ( РР)> (2.25) ЗдеСЬ б' = Уфп + Та~а Т = У!Та + Уз|а~ И = уаИп+ + УаИ'а, (Оп, Т„И"и) — пРоекЦии возмУЩаюЩего Уско- рения при пассивном движении (на радиус, трансвор- салзо бинормаль), (О"„Т„И'а) — направляющие коси- нусы вектора тяги или импульса, в д!(е,д) = 2(р[г)о!) ' ...
(г!р) = (1-[-есояд) ', о д (!) — истинная аномалия точки. опа связана с време- нем ! уравнением — !' еб' (! .!. ° о')а о Если !' =- !' (дч Х), ог = Т' (д, !). — Формулы преобразования элементов е декартовы координаты, то сопряженные переменные в новой системе определятся чорез старые следу!ощкм образом: „р . — ( —" о[!„) -[- ( ~ арг) (2.26) '! а! ' '[") ' '! й! = (аР' 4') + (Фг, да) [- оР! --- 11о — (аРР, !1д), (2 Г И ! 3! 3АменА пегеменных В зАдл 1е оптипи!злции вт „е А ~ г! и — — уо о .! 1 го И;'/о гз воамущающее пассивное ускорение.
!)роизводиые д1/дг/,, дпг/дд1 для ряда систем элементов приведены з ()6). !! частности, если д, —. Т,, то ЧПт„= — (ПРг, ~") — (Ц~Г, д.)— П, ф, + (фк, Ад) .—.—. Ч, Ф. (2.28) На пассивной дуго траектории По .=- О, позтому иа пей Р, —.— — (ф„ьд), дт — ф! — ( Р,, Ад). Для кеплеровского поля будет Ьд — О, тогда ф! .: О, пут, = п)п!. Если точка лежит на границе /!1 О, то переменные Про! имеют в пей, вообще говоря, скачки: ~Р„=( —,',","Р,1- — —,'„' (), И. =--(Афг,~). ЗЗ1 до, АПр =- (.'~ ! )г) '- А! !) При з', =- О будет Афт .— - О. Рассмотрим теперь следующую систему: х = (до, и,!), ! — 1,2,...,5, (2.29) дд; (з', о', !)/д! = О, например, (/1) = (р, о, ю, й П).
и — аргумент широты КА, ди ~! Щ? — = "/1 — -- — СОЗ1. до г дг Положение точки на орбите фиксируется здесь, как и в и. 2.6.1, аргументом широты и. Тогда о =-г(дь и), Г = — гг (до и). Преобразование не зависит от времени, Пр! =- пр1, р,, +( —,.„) (2.ЗО) (Згг) 3" ЗЗ УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ КОСМИЧЕСКОГО МАНЕВРА ИГЛ.
Е Обратно, еРеЕ = ( — 1Р.) + ( — Р ) ееьи = ~ ° Фк) + ( Ое(и ) = у ((т' ееке) + (Йк "(ег)) (Не — ф — (йд, ерг)) = — — 'ег„, ( 21) так как д. дУ е г — = — Х', — = й = — (Й вЂ” пй). ди У, ' ди У~ Переменная ф, соответствующая углу и в системе (ри и), отличается от переменной ер„для угла и системы (г, р„)'„е, й, и).
действительно, из соотношений р=.р(г, )ео р„), е = е (г, ро 1'„), ° е = и — б (г, Ро Р'„), е=е, ее=-ее, й=и следует, в силу (2.7), Ф = Ф«+ ер.» еде = еро еро = еро (2.32) (б — истинная аномалия точки). Не рассматривая под- робнее связь переменных едее с ф„яру, выразим (еРР, ер„ ер, ф„) через (еф„еду, еду,ф): ! 1 Г = — „(гт'.— ~ (~''ру, + ~'4 „)1 дг д$', дк„ Еке Ре + 'ЕУ, + ЕЕУ де " де г де ее = — — ер„соя б -'; — — "Р (еру сояб+ ф~ ягпб), Р Р ! д„д1, ду, = — — еф„я(пй — $/ — "Р ( — ерг я(пб+ $Р соя д) е, Р Р 'я == Ф вЂ” Ч'- (Ч'„ФУР Фге).
зАменА переменных в зАЦАче ОптимизАции 59 Обратно, 2р + Ге+ соз Ю' „+ зйп д „„ г(г„= 2 — гР„+ ~~г — — [(ео — 1) — -)- — 1 зр, -+ Ч,гг р (2 + е ооз б] з1п д У р„е (1 + г поз б) я зг Р .. Г р оозо ФР„= ~г — ягпд ~р,— у гтр Ф,.=Ф,.+Ф. Координаты е, со плохо подходят для анализа около- круговых орбит. Для этого случая удобна, например, система х = (р, грм гр„й Й, и, 1): г(р,/й = ф' р/р р [ — Я соя и + Т [( 1 + — ) вш и + — гр,1— г — И' — грз схд 1 ягп и~, р гййг/й = 1ггР/Ргр [ЯЯ1п и+ Т[(1 + — ) соаи+ — гРз1+ г + Лг — грг с1д 1 я1п и~. р По сравнению с системой (р, е, ю, г', 'з2, и) переменные ггр, ф, ~(го, гр„останутся прежними, переменные гр„гр заменятся на грю Ф .: гг и Игр ~~> я'гп и + (гру ягп и — гру соя и) Р р = ~р ягп го -~- (ф /е) соя ю, гГ ргр (19« соя и — фр ягпи) г 1 р г = гр, соя ю — (Я /е) яка он онн не имеют особенностей при е = О.
Не рассматривая более других вариантов, отметям, что Д. В. Брекузлл рекомендует брать вместо переменной Рпеременную г/ = 1и 1/и,рр. Тогда~(го — — 2рфр, при~у, = О, 70 УслОвия ОптпмАльностп космического ъ|АневрА |гл. 1 ар„= О легче определяется соответствующая сопряженная переменная (17). В заключение заметим, что переменные ьра, сопря|кенные к оскулирующнм элементам, вообще говоря, пе постояяпы на дугах пассивного полета. О случаях постоянства нх см. п. 3.1.3.
1 3. СЛУ11АН ЦЕНТРАЛЬНОГО НЬЮТОНОВСКОГО ГРАВНТАЦИОЕ1НО1'О 110:1Н 3.1. Особенности оптимального движения для ограниченной тяги 31.1. Особенности постановки зад а ч н. Обычно большая часть космического полста протекает в гравитационном поле, близком к кеплеров- скому. Поэтому анализ движения в кеплеровском гравитационном поле вблизи небесного тела имеет важное значение. Рассмотрим особенности этого случая. В уравнениях движения (1.4) в качестве функции д =- д (г) надо взять д()= — —, 11 гр г (ЗЛ) здесь м — радиус-вектор КА относительно центрального небесного тела. Па участке пассивного полета траектория будет кеплеровской дугой. В качестве ограничений (1.6) в данном случае будем рассматривать следующие: )11 (м) = — г + г„ь|а ( О, Р.
3) 111 (1) == 1. — гагар ( О, (З.З) ПРИЧЕМ Гас|а ( Гара. ТаКИМ ОбраЗОМ, дВИжЕНИЕ дОЛжПО осуществляться в заданном кольце К .= (гмо ( г -. ( гюаа) с центром в центре тяготения (рис. 1.9). Первое условие ограничивает миньп|альное расстояннпе подлета к центру планеты величиной г,ма, второе — ограничивает максимальное расстояние отлета от планеты ве- ЛИЧИНОЙ Гшаа ° Задача движения в кольце А, кроме теоретического, представляет н практический интепес. Действительно, 1 з] случай цкнтвлльного ньютоновского поля яс' (ф, х, и) = (а[а„1') — — ",р (арг, го) + ар, + тф + — [[ р„[ — — ") =о.
Функция Н, = Я (Р = 0) имеет вид Но (ф, х) = (ф,, 1') — —, (а$>г, г') + фо (3.4) Па пассивных участках она постоянна: Но = О. Пусть ()Р, [о, т), (9, Ц, Ь) — пРоекЦии вектоРов фг и ар„соответственно на оси подвижной системы координат — радиус, трансверсаль, нормаль к плоскости движения. Тогда (3.4) запишется Но =-Ю, + Ц[Г~ — —,, ) +фо [а ар (3.5) Вектор (л„')о, определяющий направление скачка сопряженной вектор-функции ф„на границе А; =- О, будет если не ставить ограничений на расстояние от центра тяготения, то решение задачи оптимального перехода иногда требует сообщения реактивного ускорения при г=Оилиг=-оо, чтонеосуществимо в действительности [18[, [19]. Случай гпзо ) 0 важен ввиду конечности размеров планет, случай а пара ( оо интересен, например, для Й,„') рассмотрения движения КА в сфере действия планеты, для получения траекторий с конечным временем перехода (даже если оно специально не ограничено) Рво, 1.9.
Довженко КА и т. д. в допустпмом кольцо К. 3.1.2. В ы р а ж е ни я для сопряяоенных переменных. Гамильтониан системы Я(ф, х, и) в данном случае будет выглядеть следующим образом (для аргумента — время): 72 УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ КОСМИЧЕСКОГО МАНЕВРА !ГЛ, 1 следующим с=2, (Ь,.)' = — е,.го, зо = Г=гтах =Го Г= Гона =Г\ [=1, (см. рис. 1.9), кроме того, Ь; = О. Следовательно, доба. вочный член 3 (Ь,')* в уравнениях П.23) для производной ф, (и скачок вектора ор„) направлен по (или противопо. ложно) радиусу-вектору и.
Если точка находится на внещнем ограничении Г = Гт,„, то вектор О (Ь„)* ориентирован по Г, если же Г = Г ио то по ( — Г). Сопряженная переменная ф будет удовлетворять системе дай„ вЂ”," = — Аару — сзр', с) О, ОЬ, = О, дару А че до то[ (3 6) дс, — = О. до В этих уравнениях А — симметричная матрица, А — И 'о (Я Зтот,о') ] дГ] Š— единичная матрица, — (1 — Зссо) Зф Зсс7 А = — ",о — (1 — 33) З[]7 — (1 — Зто) (сс, 'р, у) — направляющие косинусы радиуса-вектора тс о о = ГIГ == (сс, ]э., у)*. В силу независимости силового поля д и ограничений Ь, от времени переменная ар, постоянна: ~р, = арж = ф„= сопзс.
Поэтому на пассивных дугах (и на всей траектории при 7„( Г ( Га в импульсном случае) (аРт Х') + (арГ, д) = — Но — ф = сопзС. (3.7) На пассивных участках полета при й = О система (3.61 интегрируется (см. [1], [1О], [20] — [22] и др.). Это видно 74 УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ КОСМИЧЕСКОГО МАНЕВРА !ГЛ, г е Мо' д — соя д К— е Мо 0 (1 -«- е соя'б)е 1 сояесд =- Г Зе ) — 1 — (( + ее — ) ге«пд11р(1 — ее), «ггр - 1 „г При е=О Х =- Асов и+ Вя«пи+ 2С, «с = — 2Аяьпи+ 2Всояи — ЗСи+ Р, р = Есояи+ Ея«пи, — 'Р (А я «и и — В соя и + ЗСи — Р), «г «ггр Р )ГР '" (А соя и + В я«п и + С), Р)г Р— — "Р ( — Е ягп и + Е соя и) )г'~- Р У1 (3.9) — — — (Š— Е), 1о е) О.
В приведенных формулах А, В, С, Р, Е, Š— постоян- ные интегрирования системы (3.6) на данной пассивной дуге, 0 — истинная аномалия, и — угол вдоль орбиты (например, аргумент широты). Постоянная интегриро- вания С связана с постоянной ~рг следующим образом: еР, =е —,Р С (е)0), Р еРг = — С (е = О). «ге р Ре Используя формулы замены переменных (2.9), можно по- лучить из (3.8) сопряженные переменные и для других систем координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
