Ивашкин В.В. Оптимизация космических маневров (1975) (1246627), страница 14
Текст из файла (страница 14)
При маневре будут меняться элементы е, ю, Т„. Пусть временная характеристика То свободна, рассмотрим получение орбиты с заданным эксцентриситетом е и аргументом перицентра ю, или с заданными элементами ~р, = езгп ю, ~р, .=- е соз ю. В силу уравнений плоского движения =)/ Р ~( — $-зи+т~(1 + — ") з1и+ — "р4, — — (О' зГИ и+ Т ~(( + — ) сов и+ — ~Ро~), поскольку в данном случае Т = О, будет йр, у' р йро ту' р — О соз и, — .=- ~ — О зш и.
В плоскости орбиты, где ось ОХ направлена по линии узлов (7о, элементы (гр„гр ) образуют координаты вектора е, направленного в перицентр орбиты и имеющего длину е. В данной задаче удобнее вместо вектора е использовать вектор д: ч Ргр у = ~ —,( — р» ро)"=(у. уо)' повернутый относительно е в плоскости орбиты на угол СЛУЧАИ ЦЕНТРАЛЬНОГО НЬЮТОНОВСКОГО ПОЛЯ 97 я/2 по направлению движения. Тогда получим систему — = О'СОЗ и =)'ы дю нш — = Яз)п =/м нч, ош здесь Я = -)-1, и б= (7, Π— замкнутое множество допустимых углов и. Так как ~,' + ~з' = 1, то фигурой влияния у будет выпуклое замыкание множества точек на единичной окружности, соответствующее углам и ~ (), и сим- Ай„ иетричного с ним относитель- 5=~ но центра О (на рис.
1.14 О состоит из двух отрезков: рг к=и [и„из[ и [и„и„]). Тогда параметры маяевра будут определяться необходимым при-, ~ () ч ращением Лм вектора д: ш (ш Лй = йк 'йя. Пусть у — точка пересечения луча Оу, направленного б=-/ доль ~~~~~ра Лй с гр цей фигуры г, Оу = у, и — влияния при радиальной тяго значение угла и, соответст- (случай, когда пРиложение тяги допустимо на двух дувующее вектору Лй. Тогда гах: о < и ( из и к и ( к~). шк = [ Лд [l~. В случае, когда ирй= О или ир+ н с=. С), оптимальным будет одноимпульсный переход, ~ = 1, Л'к' = иъ = [ Лу [, импульс сообщается при и =- ир, Я =-1,если игр: — с7,или прин = и, — н, Я = — 1, если ир + я б- с(.
В противном случае переход будет двух- импульсным, Л = 2; импульсы сообщаются в точках орбиты, соответствующих точкам фигуры влияния, на которые опирается отрезок границы г', включающий точку у*). Ч а с т н ы й с л у ч а й. Пусть импульсы (тяга) могут сообщаться па одной дуге траектории, О = [и„ и,[. Тогда при Ли-=- из — и, ( я фигура Р будет выпуклым *) 3 а м е ч а н н е. Если импульс может прпкладываться лишь в одном кз двух возможных направления (к центру плп от центра), то прк формярованян фигуры влияния будет участвовать одно яз двух симметричных множеств единичной окружности. 4 В, В.
Ивашкин 93 Условия ОптимАльности космическОго мАнеВРА 1гл.! замыканием двух симметричных дуг единичной окружности, ид ( и ( и„и, + л ( и ( и, + л 1рис. 1.15), Если дду 5= М„и, а,, ир ( и,, о то дт' = 1, Я =- 1, имеем одно- импульсный переход в точке орбиты, для которой и =- ир (рис. 1.16, где 'зксцентриситет начальнойорбиты е„ = 0). Если »$6 -0:== Эд Е— : Ма ид + л ( ир ( и,+л, то дт' = 1, Я = — 1, импульс сообщается по направлению к центру тяготения при и=-ир — л. и -я В остальных множествах дт'=-.2, м, дтв импульсы сообщаются при и=-и, и и = ит.
Если ьдд ~ Мд, Рис. 1.15, дзпгУРа влиЯниЯ и ( ир ( и + тд тдд Я прн Радпальпой тЯге (в при и = и Я =- 1 п и и =-- случае, когда прилоядение тяги допустимо на одной (рис 1 ° 17) ° Если дддд ь=- М, дуге вдсьи( вд, причем иа+ л ( ир (ид+ 2л ж — од(я). 8 = 1 при и = и„Я = — 1 при и=и, При л ( дди ( 2л мнолдеством достижимости будет единичный кРУг, везде 1 = 1, пдк = ~ ддд~, дт' = 1, Рис. 1.16. Одноимпульсный переход с радиальным' импульсом.
При Ьд 6= М„иа — л ( ир ( и, + л 1рис. 1.18) будет Б =1, и = ир; при ьддт.='Ма, иа(ир(ид+2л; Я = — 1, и = ир — л. В множествах М, (ид + л ( ( ир ( и,), Ма (ид ( ир ( и — л) возможны два р"- пдения: для одного Я = 1 при и = ир, для другого Я 1 31 СЛУЧАЙ ЦЕНТРАЛЬНОГО НЬЮТОНОВСКОГО ПОЛЯ 99 = — 1 при и = ир -~ п. В этом случае переход можно реализовать и как двухимпульсный: первый импульс, б ( М~, ( шс, сообщается в соответствии с одним решением 1,и = — ир, О = 1, если ЛУ Е:— ЛХ„и = ир — Я, т, У.Ь~чч,л=б Са= „з=-р Рис.
1.17. Дэухимлульсиый переход с радиальными импульсами. м, 8-/ и=и, и=иг Рис. 1.18. Фигура влияния при радиальной тяге дли случая, когда приложение тяги допустимо иа одной дуге иг ~ и ~ им причем я ~( ис — иг ( 2я. 8 = — 1, если Лд ~ Мс), а через полоборота дается второй импульс, сг'г'с = шк — й р"„с обратным значением 8. При йи = 2Н последняя ситуация будет иметь место для любого угла ир. 3.6.
Плоский случай оптимального импульсного перехода Пусть при движении с импульсной тягой сопряженные векторы ~рр, $, лежат в плоскости движения, оптимальный переход является плоским, т.е. оптимальная траектория лежит в одной плоскости с начальной и конечной орбита- 10О хслов1!я Оптимьльност|! кООЗ!Ячвског() в!АнквРА 1Г;! ми, причем она состоит из дуг пассивного полета, соединенных точками сообщения импульсов. В (3.8), (3.9) будет Е = Г= О, т =- ь = О (46). Рассмотрим этот случай подробное. Удобно перейти от векторов оргч тр, в декартовой системе коор- 1Г Ко Пгн!!т К СОПРЯжОЯНЫМ ПЕРЕМЕННЫМ в полярной системе координат г, ро лч (гг, и. Для общности рассмотрпн и тот случай, когда направление дввгкония по исходным орбитам может быть противоположным.
Центральный угол и будем отсчитывать в определенном направлении, наприон р, против часовой стрелки. Компоненту скорости 1'! будем считать поло,!,и- тельной, если движение КА осущгст- !7 вляется в положительном направ- лении; г'! (О, если двилоение — в отряс. 1.19. Снстема рицательном направлении.
За вектор координат для нлос- го возьмем единичный вектор в ц.и!- кого движения. скости движения, перпендикулярный радиусу-вектору н, ориентированный по положитольпому направлению угла и(рис. 1.19), тогда р (уг оо) р (тг о,о) Уравнения движения (1.57) запишутся в виде (ао 1) сн — = 7г(г„ ао !Л' 1! — — + тосозгр, !1о г О'г ( 1 ргв Г! ( .. ) + Гое!и!р го (3.с.
) ок !/о щг — Т ° Ло !я !1! 131 счк'1ап пзнтглльпОГО нь1Отоповс!сОГО пОля рн Угол 1р определяет наклон импульса (при у, = — О, — 1) к осп ГЯ, соз 1р = (ЗЯ, йГ),з1п 1р =- (1', Д1') (см. рис. 1.19). Сопряженные вектор-функции$„1Р» выразятся, согласно (2.20), (2.21), через функции ф,, 1Рг,, 1уг, слодун1щим образом: я ь,га (3.26) где обозначено Р -- УМг„— Р.Фг,. Из (3.20) следует, что в данном случае переменные ЧЭГ1, 1РГ СУТЬ ПРОЕКЦИИ ВЕКтОРа 1Рг Па ПОЛОжИтЕЛЬНУЮ трансверсаль зя и радиус-вектор 1я соответственно, =- Щг 1Я) = и з1яп У .о) )„ В точке сообщения импульса величины 1рг,, 1р суть компоненты единичного вектора, па- п правленного вдоль импульса.
Величина $"„ в этой точке есть составляющая вектора скорости 1'" 1 2О Влемя прзлеа1е ппя змпульса. г', перпендикулярная импульсу ЬГ (и вектору 1РЯ), см. рис. 1.19, 1.20. Опа не меняется в процессе сообщения импульса, поэтому определять ее 11ожно как по скорости 1" до сообщения импульса, так и по скорости Р + после его сообщения. Переменная ф. есть проекция вектора 1р, на радиус Ч" = ( ' Ф) =- ~ Переменные $я, 1г1 постоянны в силу независимости правых частей уравнений движения и ограничений (3.2), (3.3) от времени 1 и угла ьс ф„=- сопя~, 1р1 = сопз1. хо2 УслОВКЯ ОптимАльности космическогО мАнеВРА (гл.
1 Е сли исходить из постоянных А, В, С, Р в формулах Д. Ф. Лоудена (3.8), (3.9), то ф„= — е 11 — '! А агйп г'1(е) 0), /)х '1ча Р )хг р — — С з1йп )г1(е = 0). Р В случае, когда конечные условия не зависят от времени и (или) от угла и, то будет 'ф, = 0 и(или) яр„= О. Для определения функций яРу, (2), яру (1),я(1„(г) на пассивных участках можно применить формулы (3.8), (3.9), если известны постоянные А, В, С, /). В точках сообщения импульсов, не лежащих на границах Ь1 = О, эти перемен- ные непрерывны ввиду непрерывности вектор-функций ярг (г), тр„(0 и неизменности в этих точках системы коор- динат (вс, 1'). Если точка лежит на границе й) =- О, при- чем О (/') ) О, то переменная яР„(~) будет иметь скачок: ф„(Г'+ 0) — ф„(Р— 0) = — с (Р) е, Ев = Г(( ) — Га гнпп 1'(( ) = Га = 1а1ах. (3.27) Зная сопряженные переменные ч1у, = ~ )х, т)1у =.
) "(1 = — 9, (1)1а + )Г„)/Г = ~т), ЭЛЕМЕНТЫ ОрбИтЫ И ИСтИННуЮ аномалию д точки после сообщения импульса, из системы линейных уравнений (3.8) или (3.9) можно определить постоянные А, В, С, В для следующего пассивного участ- ка. Рассмотрим для примера частный случай свободного времени перехода. П ример. Время перехода не ограничено, 131 — — О. Тогда С = О а уравнениях (3.8), (3.9) Д. Ф. Лоудена. Определим постолп- ные А, В, В для случая е+ ) О. Ив системы уравнений 2 -)- е соя Π — я1пб + „) А+((+есояд)В+ соя О А + е ягп д В =А, я1пд В А+В+ 1+ О + + (+ О " ф"/)/)х" Р 1-Я 13 находим А ==Хсояе — ((х 1)ягл, В = (х я(п О + 01 — ч) соя О]/е, (3.28) В = — (р (е + сов 6) + Х я1п 6 — 7, (2е + (( -)- ех) соя д Ц/е, 1 3] слу'1А]1 цзнтРАльного ньютоновского ноля ]Оз Уравнение для Ч будет выполняться тождественно, в силу условия (Ф„У')+(яР„,]у) =УУ +ЧУ]юлв]', — — "" ].
=-О, Г являющегося следствием (ЗА7) при 1Р1 = О. При ° = О А =],сояи — (р — $)я]пи, В = Х я]в и + (я — $) соя и, Рассмотрим, как будут выглядеть условия оптимальности (3.19) — (3.23) в плоском случае. На всей тРаектоРии выполнЯетсЯ Условие Но (1) = = О, яя ( 1( гя, которое запишется следующим образом: Но = "Мг ) (Уо+ ф,) У1/г — — ', тРт + "ф1 = 0,(3.29) гя ( г ( гк причем 1р] = сопяС. В точках сообщения импульсов величина и1 = ! туг ( = = у ярг + 1(]Р достигает максимума, одинакового для 1 г всех импульсов: и1(]1) = у' тру + Д (]1) = таххг(1) = 1, (3 30) 1=1,2,...,М, импульс сообщается вдоль базис-вектора: я]пср= фу, созе]= фу. (3.31) Во внутренних точках сообщения импульсов (гя ( г] ( (]я) векторы т(]„и яру ортогональны, И ( три )Яг = О, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
