Ивашкин В.В. Оптимизация космических маневров (1975) (1246627), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Можно данный результат получить другим способом, непосредственно, не выводя сначала условий оптималь- НОСТИ ДЛЯ тРаЕКтОРИИ, ВЗЯтОй В ФОРМЕ Г (г), а' (г), га ( ( г ( га ( Оо. ПУсть тРаектоРиЯ состоит из ДвУх Участков. На начальном участке (г„( г ( г„О ( и1 ( си1) при пассивном движении по оскулирующим орбитам ограничения наруитаются, на конечном участке (и1, ( ( и1 ( ю„) — не парушая1тся.
Тогда па начальном участке рассматривается система (Г(г), а' (г), т (г)) с управ- ЛЕНИЕМ (Р, д'О), ОГРаНИЧЕНИЯМИ Г,а1а ( Г ( Г,„„, а На КО- печном — система (д; (и), 1 = 1, 2, ..., 5, т (ж)) с управ- ЛЕНИЕМ (у, и), ОГраНИЧЕНИЯМИ Гсио ( Га ( Га ( Гасах ° Выписав условия оптимальности траектории для такой задачи, получим прежние результаты. Преимуществом данного метода анализа является то, что он не требует предположений о конечности времени перехода (на втором участке оптимальным может быть, например, сколь- 90 УСЛОВИЯ ОнтИМАЛЬНОСтИ КОСМИЧКСКОГО МАНКВРА ИГЛ.
! вящий режим, требующий для своей реализации бесконечно большого времени) и о существовании функций ф(з), ф(ю), — онп здесь вытекают из условий оптимальности, 3 а м е ч а п и е 1. Переходная орбита, имеющая две точки контакта с границами, вообще говоря, тоже может быть включена во второй участок для анализа системы д; (ю), тогда в уравнениях для сйр1,Ыю ей будет соответст( дь~, дьз '1 воватьчлеп (с, — -,'- з,— ]. Но свойство (3.24) для такой ~' дч,. ' дд,.]' орбиты при двнжонии между точками контакта не будет вытекать нз этого анализа.
Поэтому представляется целесообразным анализировать такую дугу, а также дугу, для которой Ьз =- О и е == О, отдельно, по свойству (3.20). 3 а м е ч а н и е 2. Вьппе свойство (3.24) было установлено для орбит, оскулирующих при сообщении импульса. Почти без изменений доказательство проходит и для дуг особого управления. При использовании второго метода анализа это снойство получается автоматически для всего конечного участка траектории, в том числе и для дуг особого управления, если онн есть [38]. Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих применение системы д; (ю). 3.3. Оптимальное изменение наклонения и пери- и апоцептрпческого расстояния орбиты Исследование оптимальных импульсных переходов между некомпланарнымн круговыми и вообще эллиптическими орбитами с нефиксированной ориентацией ио углам ~, П проводится в ряде работ, см., например,[39] !41]. Оптимальными будут апсидальные переходы, в которых импульсы сообщаются в апсидальных точках орбит, причем наклонение меняется при сообщении каждого импульса.
Для полноты изложения дадим вывод этого результата. Рассмотрим оптимальный импульсный переход в кеплоровском поле между эллиптическими орбитами с заданными элементами Ь, Е, ~ (или г-, г„, 1). Остальные элементы ю, П, Тп пе фиксируются, ограничения на расстояние пе накладываются. В данном случае удобно за фазовые координаты взять элементы Ь, Е, 1, ю, за аргумент системы — характеристическую скорость н . случАИ центРлльноГО ньютоновского !Нхтн 9! уравнения движения будут слодующимп: яб 7 — ' = ГТ =, Т =-!,. Юг 1+~ согй Й$ — =: — И'соя сс:= 7', йо ь е — =.—.
~,' — ~ — Я соя д + ~ 1 -~г — ) Т я ~ и д ! — И'е — я Рн и сф 1~ ==- /, л здесь Я, Т, И' — радиальная, трансворсальная и нормальная 1к плоскости орбиты) компоненты единичного вектора те вдоль импульса. Управлением будет истинная аномалия д текущей точки приложения импульса и вектор Тз. Уравнение для элемента ео добавлено, так как ю входит в производную Тн где и = — д + ю.
Для упрощения анализа сначала рассмотрим более широкую задачу, отбросив уравнение для Ню7е7и, т. е. считая угол и также управлением. О ( и ( 2Л. Предполагаем существование оптимальной траектории перехода, удовлетворяющей данной системе. Оптимальное управление будет максимизировать гамильтониап Я~ = ФЬЛ + Фе~л -т- Ф*Л вЂ” 1 — ОМ' + Ра 1' ) Т + РгУ,.~ + г .Г Р + 1р, — сояи1, — 'Иг — 1.=>шах. Вгг ~',Э,и Обозначим Нт == Ьа + Фв)г~ Н'я = 1г)г„ Н = Р,—" ., Н вЂ” РГН'г+77',+77;у, тогда п1ах ( УТ д- '1) == Н, !' Я .=- НН7Н, Т =- НТ7Н, И' - Нш7Н.
99 УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ КОСМИЧЕСКОГО МАНЕВРА 1ГЛ. 1 Максимизируем Н по д, ьп Нх = трьгв + 2трьт|~егр1 + трер 1' + тре7', + ( 1р1 > шах Нв=2трьтре1+ тй2Ь+1Й „1 + ~~'Гь о В =А+— г Г тс — сони) =-: я + ф,' —,)г1 = + Сгс=о 1пах. П91 Здесь максимум Н по и достигается при соз' и =- 1, Рнс. 1,11. Схема пространственного трсхнмпульсного перехода.
агп и = О. Функция Н(г (д)) может принимать максимум лишь при крайних значениях г: г=г, 6=-0, В этих случаях з1п д = О, Нз = О, поэтому т = фьг + тре гг„'гг' = трг — соа и, О=О, тяга сообщается в горизонтальной плоскости. Далее, из зтп и = е1п д = 0 следует з1п ю =- О, при этом е Юге/с1п1 = О. Это условие легко выполнить, если тяга (импульсы) будет прилагаться в апсидальных точках орбиты (згп О = = 0), причем орбита ориентируется так, что эти активные точки являются и узлами орбиты (з!и и = 0).
Оба условия максимума Н(д, и), следовательно, согласованы с уравнением для ю; условия оптимальности, полученные для более широкой постановки, подходят и для исходной. | в] СЛУЧАИ ЦЕНТРАЛЬНОГО НЬЮТОНОВСКОГО ПОЛЯ 93 ((ри атом |р„= О, |р; = сопя|, Н =- сопя| = 1; при з = сопя| будет |Р = сопя|, у' = сопя|. Х.Мар|пал показалдалее(см. (391, (40), а также [41)), что при оптимальном переходе будет сообщаться не более трех импульсов. Оптимальный переход будет двухнмвульсным л« вЂ” «а«(предполагается, что гха ( г,„), яли трехимпульсиыт| л« вЂ” ~- а,— «л«(в|ах (Гх«|'х«) (гхг( ( со), илн бипараболическим п« -«.
ОΠ— «- л„. На рис. 1,11 приведена схема наиболее общего трехимпульсного перехода, из него при г„, = г„„следует двухимпульсный вариант, а при г„, =- оо — бипараболический. 3.4. Оптимальный 'малый поворот плоскости орбиты Здесь рассматривается задача коррекционного поворота плоскости орбиты вокруг заданного направления в начальной плоскости. Предполагается, что двигатель можно ориентировать в пространстве в любом направлении, коррекцию можно проводить на заданном замкнутом множестве О' моментов д Введем элементы пассивного движения: г,« х, =- — —" = ( — хг+ хг)/Б =- сояйя|п | — соя Йбй ь х, = Ьх(Ь = ( — уг + уг)!Б = я1п й я1п | = я|п Яб| — компоненты вектора х = звХА« = х' Х А|'О (в на- чальной плоскости), направлонного в восходящий узел и определяющего ориентацию орбиты.
Ось ОУ ортого- нальна начальной плоскости. Изменение вектора Б по характеристической скорости описывается системой — = — (х/, — г/„) ++'г/,, Охи 1 в о ~х ч — = — (у/, — г,| ) — — ", г!,. Берем правые части данной системы вдоль номинальной орбиты, тогда г = О, г = О, Б„= Б„= О, х = х(|), у = у (г), А = сопя|. Получаем систему — = |" — „= х (1)1, =/„ «ю зх| .
« яу«лх| о —,. =~ —,. =-у(~)1.=— ~я, 9'г УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ КОСМИЧЕСКОГО ЫАЫГВРА 1Г11. 1 в соответствии с которой надо дать приращение Ад = =- (ггуг, сгув)* вектору д --- (у,, ув)" при минимальном значении и„аРгУмопта. У, -.= Е соз ьгбг, Ув =- 2 .ггг Пгбгб Фигурой влияния Р данной системы будет выну клоо зоны канне кусков траектории 1' (1) и — 1' (л), соответствующих допустимым моментам коррекции, 1 б= О (рис. 1.12), Ее граница Р, состоит пз дуг траектории 1 (1) и — 1 (1) и отрезков прямых, опнраю- арог щихся на нцх. Для оптпмпль- Я' г(1) ного движения л)г .— соцзц ()' (1), тр) 1г) .=> мах. Поэтгглгт ()".
( =- 1, у =- (1,, ~в) = Р,. Если луч Оу, направлелпцгй гог вдоль вектора Ау, пересекает о1,1 йо границу Рт в точке у па ду- -г(1ег) ге траектории 1' (1) илн — 1 (~), -гйгг то оптимальная коррекция осуществляется приложений ем одного импульса в со- — 11) ответствующей точке орбиты АУ1гг л влпянпя прп малом повороте = т' (г111) с— = 11' (г)) плоскостп орбиты. = — 1, если 1 =: — '1' (11 В Я вЂ” (-1 (Л)), см. рис. 1.12. В случае, когда луч Оу пересекается с границей Р„в точке у прямой, опирающейся иа две точки -е г (л1 1), -1- г (игл), то переход будет двухимпульсньпл. Импульсы прилагаются в соответствующие моменты ГЛ11 11лг 3 а м е ч а н и е.
Если двигатель моткпо ориентировать в каком-либо одном направлении, ортогональном к плоскости орбиты, то будет учитываться одна из двух симметричных дуг траектории, /, = 1 плн ): = — 1. Ч а с т и ы й с л у ч а й. Пусть рассматриваемая Орбита — эллиптическая, коррекцию можно проводить В любой ее точке (см, также (42)). Тогда фигурой влияния будет выпуклое замыкание самого эллипса 1 (1), по которому движется ИА (па нем ), = 1), н эллипса — 1 (Л), симметричного с ним относительно притягивающего центра (гг = — 1) (рис. 1.13).
Границу Р„будут образо- 1 33 Глн'1А11 цвнтРАлъного ньютОновского поля 95 вывать дуги ВАС и В'Л'С' этих эллипсов (Л, А' — апоцентры, В, С. В, С вЂ” вершины малых полуосей эллипсов) и два отрезка прямых В'С, ВС', соединяющие соответству1ощие вершины малых полуосей симметричных эллипсов. Йсе множество корректируемых параметров Лы Рнс.
1ЛЗ. Фигура влияния при малом повороте плоскости (случаи движения по всей эллиптическое орйпгс). разбивается лучами ОС, ОВ, ОС', ОВ' на четыре подмножества Ме (см. рис. 1.13). Если Лд г= М1 (( М„то Л" = 1; в Мг будет Д = 1, импульс сообщается в восходящем узле орбиты; в Ма: ~'- =- — 1, импульс — в нисходящем узле Если Лд ~ Ме () М4, то Х = 2, при этом в Ме для импульса. прикладываемого в точне С, будет рг = 1, в точке В: )~ = — 1.
Если 1эд Е= М4, то для импульса, сообщаемого в точке В, будет 1'- = 1, в точко С: )с =- — 1. 3.5. Случай радиальной ориентации тяги Выше рассматривались случаи оптимизации маневрирования, когда тяга могла быть орпентировака произвольным образом в пространстве (1.3). Однако па ориентацию двигательной установки КА часто бывают наложены технические ограничении (см., например, (43! — (45]). В этом случае изложенные выше результаты прямо неприменимы, надо специально учнтыввть соответствун1щие Условия. 96 УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ КОСМИЧЕСКОГО МАНЕВРА ИГЛ.! Рассмотрим случай перехода между орбитами при радиальной ориентации импульсов уо ~.о В этом случае, очевидно, можно менять лишь параметры, определяющие движение точки в плоскости, причем константа площадей 7 также остается постоянной, 1 = сопй, в силу уравнения ы о ~ г о ало Поэтому начальная Т и конечная Т„орбиты будут иметь равные элементы р (7), ~, П.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
