Ивашкин В.В. Оптимизация космических маневров (1975) (1246627), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Например, для системы г, р„«'г, и, ре на пассивном участке будет 1гу =«г, Ф ==Х, Фо= — е~' — "А (е)0), = — г — "С (е= 0), х,' Игр Р фо соя « — Ег, «г„, $ 31 случАЙ центРАлънОГО ньютоновского пОля 75 313. Условия постоянства функций, сопряженных к оскулирующим эле- м е н т а м.

Рассмотрим пассивные участки траектории для кеплеровского поля. Пусть сначала дана система координат (1)1, ~) с полным набором шести элементов, причем ду;)д~ =- 0 при 1' ~( 5, д1),,~д~ ~ 0 при 1' == 6, например, (д1) = (р, е, ю, Л й, Т,,). В соответствии с и. 2.6.2 будет Ю1 =- Ню фт:=: — П, + 1р„на пассивном участке или в импульсном случае 1р1 = О, 1рт = сопзь.

Для остальных сопряженных переменных на пассивном участке (у, = 1, у, =- 0) при отсутствии кон- такта с границами (3.2), (3,3), согласно (2.6), будет ""и ч-1 д)„' д1 дд. — — 1Р ю, =1 1 адесь Д = О1)1 (Р =- 0))Ж. Но д; (1', гг, Π— интегралы пассивного движения, поэтому ~'„=- О.

Следовательно, г(1ре,/п1 = О, 1р„, — со11вс. Таким образом, для данной системы координат все сопряженные переменные (1 = 1, 2,..., 6) суть константы на пассивных дугах, па которых и = О. Уравнения Р-=Х ( ",„' ' ) ф1, ф =-~ ( "„' ' ) фз, дают, следовательно, полное решение системы (3.6) при движении по таким дугам, величины 1р,, можно считать постоянными интегрирования.

В точке ~1 контакта с гра- ницей (3.2) или (3.3) переменные фг, 1р, для системы (р, е, ю, 1, 12, Т,,) имеют скачки (при е > 0): дг„ дг„ Л"Ь = — "Лф. + — „Лфг„=- = (1 + е) ' Л<рг + (1 — е) 1 Л1Рг, дг дㄠ— — Лф.. + — е ЛФг„— =- — Р(1-~- е) еЛ1дг +Р(1 — е) 'Лфг причем Л1р„= — о 111), Л1р„„.= О, если г= — г,„„, и Аф„ == О, Л1р,, = о (г,), если г = г„„,„, 76 УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ КОСМИЧЕСКОГО МАНЕВРА 1ГЛ.

1 Пусть теперь имеется система координат (до сс, 7), 1' = 1, 2...., 5, дд1 (7, 7', 7)lдг =- О, например, (д,) = = (Р, Е, О7, 1, Й), ЭЛЕМЕНТ дз (= Те) ЗаМЕНЕН аРГУМЕНтОМ широты и. Тогда на пассивном участке дгй — дуй де и — дз и В силу условий д е =О, дУ Фо д (Р, е, о7) д )й д(1, ы) Докаяеем это, для общности, в случае центрального поля с потенциалом Ог (г) дг д7~,. 1 д77, д = — — = — — 7'0 = — — — 7' = 77 1 (г) 7', де Нг г Нг $ д77 17'1(Г) = — — — . г дг Чтобы сразу учесть и импульсный случай, берем за аргу- мент параметр г (1.57), тогда д.К вЂ” = (Г Х ф„) + (Ф Х РР).

Далее, так как (берем аз = 1) Р = 71Р + т У', Ф, = — 71-4" Р + с. (й )', у х 7)7Р = О~ 7' х (лг) = О, будет 7(71 = сопз~, фо = соней, а для постоянства переменных 7)7р, 7(7„ф необходимо и достаточно, чтобы ф„= О. г Так как на пассивной дуге 7(7„= — ф —, то это соот! ветствует случаю фе = О со свободным временем перехода. В этом слУчае пеРеменные 7Ре, Длп обеих систем кооРДинат (д1, Т„, 7), (771, и, 7) одинаковы. 3.1.4.

О д и н и н т е г р а л у п р а в л я е м о г о д в и ж е н и я. При оптимальном движении в кеплеровском (вообще — в центральном) поле, как и при обычном переходе без ограничений (см. [23] — (29)), имеет место интеграл и = (г х 7(7 ) + (у' х 717Р) = сопи. (3.10) В з1 слУчАЙ ЦннтРАльного ньютоновского поля 77 то НХ вЂ” = — 71 (т Х А 'Фг) + 71 (Д Х $г). Преобразуем А = — = — (тс ') + П Е = от ог 0771 Оз=г— 1 Иг = у (г) (у оу О') + б' Е Ар П (~,,а) .с+у„р т х А~РУ = П,(т х ~Ри) = д х $г. Поэтому — =О, Х=сопв$, П~ о8 Спроектируем вектор .Х на оси х, д, а, Ь', йо, Ьо = = Х~ Х йс, ~ь = яо Х йо. Тогда получим, используя сопряженные переменные для системы координат г, К„= Касовй — К- в1пй = ро сов ~ — ( ='ф;соей — ..

в1пй.= сопв1, 3!з 1 (3А1) Ко в1п й + К- сов й = фосов ~ — ф„ = авгий+ . "Соей = сопвс, в!и ~ К, = ~РЯ = сопв1, Кь = ~р„, Ко=ф, К, = (1РЯ вЂ” ~Р„сов ~)/в1п ~, К- = (фосеа ~ — ~р„)(в1п ~. Первые три величины К„, К„, К, являются проекциями Х на абсолютные оси и будут константами управляемого движения, как и величина ~(1а. Величины Кь, Ко, Кю К-, ~р, ф, вообще говоря, переменны (при изменении нормали к плоскости). При плоском движении (в частности, при пассивном подете) они также постоянны, 78 услОВия ОптпмАльности космического мАнеВРА !Гл. 1 Если .Е =.

О, то !ро = !р! — !р„= О. Поэтому если в конце перехода заданы лишь параметры (г, 1'О Е„), а и, !', 11 свободны, то ![!„== ар! = ар = О в конце двн!кения, следовательно, К =.. О н в течение всего перехода будет [„= ф, = фп =. О. Если ось Оз направлена по вектору К [25[, то К„=. — К„= Кп =. К-, == О, поэтому ар! = О, ар„= арп сов 1, 3 а м е ч а н и е 1. Второй интеграл пассивного кгплеровского движения без ограничений [27) 1!х = — (!' Х тх) — (ара Х А ) — — арф + —.„(арф, !') !' (3.12) и интеграл движения с импульсной тягой, связанный со временем (см. [24)), (агг, аа') — 2 (!', а[1,.) + ~ арг[ Я!ах с [и т — За[1!1 =- Ь (3.13) при наличии ограничений будут выглядеть сложнее, чем (3.1 2), (3.13) 3 а м е ч а н н е 2. На пассивных участках интегралы, включающие сопряженные переменные ар„, арг, эквивалентны шести интегралам ар,, (ар,,а[аг, т', Г, !) = С, отражающим факт постоянства сопряженных переменных ![!н (! — 1, 2,..., 6), соответствующих элементам орбиты !7! н выраженным через переменные ![а„арг согласно формулам замены переменных (2.26).

В частности, для эле. мента да — — Т-, полУчаем аРт = — [(аР., Р") + (а[!Р, д)) =- = — сопе1, отсюда следует (3.7). Аналогично, (3.13) можно получить из выражения для переменной арр, сопряженной элементу р системы (р, е. !о, 1, Й. Т-,). [„— „— (г — Т„)Ф, +(Р„,1) (Ч,,Р-)1. 3 а м е ч а н и е 3. Интегралы пассивных дуг траектории. включающие сопряженные переменные, могут быть получены также варьированием интегралов уравнений пасспвпого движения и последующей заменой 61, б) яа фг, — аР, соответственно. Так, интеграл (3.7) соответствует интегралу энергии К =- (ЕЧ2) — ()!гр!!). Варьируем его бК = (р, М ) + О!г„,' ') ( ', б ), ~ 31 слУчАИ ЦЕНТРАЛЬНОГО НЬЮТОНОВСКОГО ПОЛЯ 7О отсюда следует (3.7).

Из интеграла А = 1 М 1 получаем б Р = б~ М Г -'. 1 ' Я' ==. сопз1 врр Р 0 а, = — —,+ — 7'„ )1; =- — е1 [(Р1~/г) — а„), На границе, прп 11 ~( р ( Ио будет Г=Г1, далее Р Н"1 11" ) — В) — созффг, В = к1(3 — ')'1+ г Й;= — е; 11(1(11. далее (3.10). Варьировапием вектора Лапласа — у':с Х вЂ” )р,ртз аналогично получаем (3.12).

315. Особепности. связанные с движением по границе. Если в точке ~ = г' траектория соприкасается с границей, г (1') = г„„„плп Г Н ) =- Гтз1 И В ПЕй СОСрЕдОтОЧЕНа МЕра О (!') ) О. тО проекция $ вектора зр, на радиус-вектор терпит разрыв: ~ (7' + О):= 5 (7' — О) — о (7') ео (3.14) Следовательно, радиальная компонента вектора ф„уменьшается, если имеет место контакт с внутренней границей (так как г (р) — гм1„, з1 — 1), илп увеличивается, если контакт — с впешней границей (так как г й') = г„„, Е1 — — — 1). Случай движения по границе с максимальной тягой соответствует уже рассмотренному в з 1 для произвольного поля.

Теперь получим (при Р = Р,„), учитывая упрощения в кеплеровском случае и характер второго ограничения: ь1 80 УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ КОСМИЧЕСКОГО МАНЕВРА 4ГЛ, 4 Тогда на участке ~4 ( ~ ( гв О = ев [(А,вр„) — (А, д,врг) — В)/згпввр ~ ~О. Скачок меры в начале участка с (14) = е1 НА 4Р~ ) — Ы!э!п Ф 'Зг В кеплеровском случае дуга г (О = гв = сопэб допустима в силу уравнений пассивного движения, это плоская дуга круговой орбиты. Поэтому оптимальная траектория может включать и пассивные дуги г (О = = грив или г (О = г„вт, 14 ~( 5 ( км на которых сосредоточена мера О (~).

Рассмотрим влияние меры на сопряженные переменные вдоль такой дуги. Для компонент базис-вектора (А, р, у) система уравнений (3.6) принимает внд А" — 2)А' — 3) = ео' (и), р,"+2А'=О, +У = О, здесь аргументами является угол и, е = евр у — . Обо° Р игр эначив )'=Хм 1 =Х, )в=хз~ )4 =Хв, У=Х5, У =Хв, перепишем эту систему в виде линейной неоднородной системы х' = Ах + ба': х, .=- Хв, хв =- Зхг + 2хв + еэ', х,.= х„ (3 А 5) хв = — 2х„ х,=х„ ХВ = — Х5, вдесь б = (О, е, О, О, О, О)*. Матрица Ф фундаментальных решений однородной системы х' = Ах и обратная к ней ! з! слтчан цвнтгального ньютоновского поля 8! матрица Ф ' будут следующими: сов и в(пи 2 О! — з(пи сови 0 0.: — 2япи 2сови — Зи 1:: Ф= — 2сови — 2в!пи — 3 0;' сови яп и 0 .

:— яви сов и 0 — 2сов и ! 0 — 2яп и ' 0 1, :0 1 Зи — Зсов и — Зяп и 2 би — япи соз и 0 — 2 0 сови — яп и .:в!п и сов и Общее решение неоднородной системы (3.15) запишется в виде м, о+о х (и + 0) = Ф (и) Ф л (и,) х (ил) + Ф (и) ~ Ф ' (з) Ь (з) л(о (з). и,— о Здесь первое слагаелюе х, (и) есть общее решение однород- ной системы с начальным значением х (и,), оно соответ- ствует (3.9). Второе слагаемое х, есть добавочный член, ре- шение неоднородной системы (3.15), обращающееся в нуль в начальной точке и,.

Рассмотрим этот добавок, завися- щий от меры а (и). Так как у вектора Ь (з) отлична от нуля лишь одна компонента, то подынтегральное выражение упрощается: Ф л (з)Ь (з) = е ( — вш з, сов з, О, — 2, О, 0)*. Обозначим компоненты вектора х, через ллх„Лх„ Лхо. Тогда получим о и йхл = в ~( — сов и в(па + сов з яп и) г(з, = в ~ з(п (и — з) л(с,= ю и, и — и, = з ~ в!пт л!з„ о о о-о~ ллхо = в ~ (зги и зги з+ сов и сов з) ис, =- з ~ соз т ллс„ 82 услОВия Оптиыальности кОсмическОГО мАИГВРА 1Гл, 1 и Ьхо = 2йит — 2в ~ дс — 2бхо — 2вй1(и), и1 Ах, =.

— 2бхм бхо =- й~~ = О. Здесь обозначено с,(и) = ~ е(с(в)) О. Добавочные члены и, Ьхо полностью определятся, если будут известны нкоегралы и — и~ и-и, в1птеЬ(т) = с,(и) ~ яптдв = О,(и)Я(и), и — и, созга(т) = -, (и) ~ совтБ= с,(и)С(и). о о Здесь и — и, пс,= 1, (3.16) о б', Ь вЂ” проекции двумерного вектора-интеграла от едп.

пичного вектора Р = (сов 'г, в1п т) по мере О (т) = о,/О, (и). При заданной величине и — и, и различных распределениях положительной меры б., ограниченной условием (3.16), множоство векторных значений интего-и, и — и в рала ~ Р(т) Ж-, образует па о плоскости (х, у) сектор С— выпуклое замыкание дуги .0 окружности единичного радиуса, Рпе. К10. Множество Спрн .0 =. (х, у; х = сов т, у = вгпт. у""е " "1 О ( т ~ и — и ) (рис. 1.1О).

Характеристики

Список файлов книги