Ивашкин В.В. Оптимизация космических маневров (1975) (1246627), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Следовательно, для заданной граничной дуги (пы и) суммарное влияние дополнитель пых членов в уравнениях (3.15) на сопряженную вектор-функцию (т. е. конечное значение ее) можно определить, если «З«СЛРЧАИ ЦЕНТРАЛЬНОГО Н1 ЮТОНОВСКОГО ПОЛЯ 83 задать три интегральные характеристики меры: а1(и), С (и), У (и), причем последние должны быть координатами точки, взятой нз сектора, являющегося выпуклым замыканием указанной дуги. Если мера а (з) сосредоточена в некоторой точке и', то О' =- я1п (и — и'), С = соя (и — и'), точка лежит на самой дуге Р. Любая точка сектора С может быть получена как линейная комбинация двух точек дуги Р, одну из которых можно, например, взять на конце дуги, и = и,.
Тогда У (из) = я1п(из — и') 3', б (и') = — 3' ) О, 3 (ие) = 3, ) О, О'+за=1, бг(и,) = соя (и, — и') 3' + Оз =- 1 — о'[1 — соя (из — и')1, йх1 (иа) = еп1 (и,) 1 'из) = сп (и') Я«п (из — и(), йх, (и,) = еп1(из) С (и,) = е [О (и,) + О (и') соя (и, — и')1, йхз (из) =- 2еп, (и,) [С (из) — 11 = =2еп (и') [соя (из — и') — 11, йх, (и,) = — 2еаг(из)3 (иа) = — 2ео (и') ягп (и1 — и'), пхя (и,) = Лх, (и,) = О. При этом мера, сосредоточенная в конечной точке и =- и,. влияет лип1ь на координату х.. Действительно. если о' = О, аг =- 1, то Я .= О, Е = 1.
Лх; = О (( ~ 2). Лхр = =-(,) Координаты х,, х,, х, определяют базис-вектор фю КооРДинаты Я, 1«. Ь вектоРа 1Рг опРеДелЯтсЯ чеРез х, следующим образом [11: — 1=(),' — р)и = .' (х,— х), ( «г7 1гг«"гр ( 1~ «ггр РР— т« = (и' + А) й =- (х, + х,) ф ргр (р ф р, поэтому добавочные члены для компонент вектора ф, 84 УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ КОСМИЧЕСКОГО МАНЕВРА 1ГЛ Д, 1 определяются выражениями — Л$ = и (Лх, — Лхз) = — и (Лхд — 2еод (и,)), — Лц = и (Лх, + Лх,) = йЛх„Ль = О. В частности, если вся мера о сосредоточена в конечной.', точке, с' = О, то Ль = — йзс, Лд) = Ль =- О.
3.2. Оптимальные траектории импульсного перехода Рассмотрим особенности, возникающие при анализе', движения вдоль оптимальной траектории в кеплеровском' поле для импульсного случая. В точке приложения импульса (д = дд, гд ( г ( з; )й (О Ж в которой с (дд) = О, функции дрг (г), др, (з) постоянны,;' а функции д(ди (д), д$ (О непрерывны. Если же точка со-; общения лежит на границе Ь = О, причем о (дд) ) О, то~ в ней функция 'ф П) имеет радиальный скачок (3.14),: а функция др, (з) непостоянна, др, (г + 0) = д(д„(ад~~ — О) +; в+о + едм' ~ ддс(з).Траектория в такой точке касается гране; 5' цы, У„(з) = )'„(дд — 0) = )'„Йд + 0) = 0(г„(гд(й„), Положительная функция тф на всей траекторид постоянна, можно положить тдр /с = — др = 1.
На пассивных участках, лежащих внутри допустимого множества, т е при гмм ( г (д) ( гтах, компоненты (), )д, у), (8, д), Ь) сопряженных функций дри, др могут быть определены по формулам (3.8), (3.9). Заметим, что если момент д; сообщения импульса сопрягает две такие дуги, причем О (д,) =- О, то, несмотря на непрерывность при д = 1; функций дуг (д), др (д) в абсолютной системе координат, компоненты )д (д), т (О, дд (д), ь (1), вообще говоря, разрывны.
Это происходит за счет поворота нормали к плоскости орбиты при отклонении импульса от начальной плоскости движения или изменении направления движения. В этом случае функции и (з), т (з), т) (з), ь (г) непостоянны. При 0 ( Р ( оо сопряясенные функции определяются по (3.6). Анализ ряда случаев особого управления проведен Д. Ф. Лоуденом и др. авторами, см. (5) — [9], (30). Здесь этого анализа касаться не будем. р Н СЛУЧАЙ ПЕНТРАЛЬНОГО НЬЮТОНОВСКОГО ПОЛЯ 85 Вдоль всей оптимальной траектории в импульсном случае выполняется условие Н,(г) = О, г', ~( г ~( АВ Нр (Г) = О Гн ( Г < Г ( ос. В кеплеровском поле, к тому же р% (г) = сопэр поэтому при С~ ( г ( га выпол няется равенство (3.7).
Во внутренней по времени точке сообщения импульса условие Н, = 0 примет вид ($ Р)йрр — Х(барр(гз)+ ф= О. (3 17) В координатной форме из (3.17) получаем (~)гр+ ЧУ~)н-рр — — „,' Х+ ~Р~ =- 0 (3 18) Ясли в качестве фазовых координат взять г, )г„у„, и, 1, (з, а за сопряженные переменные — ф„~(~у,,..., ~РО, то условие (3.17) с учетом (2.20), (2.21) запишется в виде ".- -"---'1= — ': "= (3 19) В точках сообщения импульсов модуль базис-вектора $Р достигает максимума, одинакового для всех импульсов, являясь единичным вектором, направленным вдоль импульса скорости: хд (Г;) = / БАРР (Гр) / = (Х' + )А' + т'),'~рр = — гпах к, (й) = 1, (3.20) М' /ЬУ; = 'ФР (~;) = Р р, т)ь-Ь (3 21) Приведем основные следствия иэ этого условия для внутренних точек сообщения импульса, Г„( Г; ( Г,.
Условие(1.48) ортогональности векторов ~РР (Г;) и $, (О): (тР ФР)Л = ) Б + )АЧ + '4 1Н р = 0 или ~$>У„Фг + — „(УгФӄ— )грант, + Ф„) + т~ ~О+о = О (3 22) "Р1'с выражения для т, ь приведены в (2.22), (2.23). Рассмотрим условие гр ~ ф~ ~ ИГР ~( 0 (1.49). В подвижной декартовой системе коордипат ГР, СР, 1Р будет а =- 1, 86 условия ОптпмАльностн космическогО з1АнеВРА !Гл. ! )1 = у —.— О, матрица А (3.7) равна 2 — "," О О «ггр г! !гг р гр О Тогда получим или У ( „'-+~)н „,, "," ( — 1+3).')цКО, + """.," ( 1+ 3 р',„),, С О.
(3.23) Следовательно, для оптимальности импульса необ- ходимо О<3).Р(1 — ((,'. ! — '„") <1. В частности (как у Лоудена Д. Ф. !1]), )гз = созг '' (Лр', и) ( 1/3, кз аи ) 1Рг ~ «( — (Ргргг)!!! (1 — З).1) ~( — (Р,р)г)!'1. Для внутренних точек сообщения импульсов можно записать, таким обрааом, дополнительные условия оптимума. В связи с этим отметим, что внутренней может быть н точка сообщения граничного импульса — начального нлн конечного. Например, рассмотрим некоторые следствия из (3.20) для частного случая оптимального двп- — = 1): + 2 —,, )1 — —,, ((г + )'))1грр= ) ГГР ) 1, !Гг 1 !ГгР = р,'. + — '"," ( — 1+ З~ ) .
р О 1 М СЛУЧАЙ ЦЕНТРАЛЬНОГО НЬК)ТОНОВСКОГО ПОЛЯ Зт щения при незаданном времени перехода (см. и. 1.2.4). н данном случае кеплеровского поля и ограничений (3.2), (3.3) условие а) и. 1.2.4 независимости поля и ограничений от времени выполнено. Условие б) будет выполнено, если не наложено ограничений на время перехода н элемент орбиты, свяаанный со времспе11,— (Т, ТО), т. е. В КОНЦЕ ПЕРЕХОДа ЗаДаНЫ ОГРаНИЧЕНИЯ На ФУНКЦИИ Ф1 (1 „, Р" а). При этом ф, = О. Далее заметим, что в кеплеровском поле промежуточная орбита является оскулпрующей, текущую точку М на ней мон;по определять, напрпмер, аргументом широты и.
Условие в) будет выполнено, если оскулирующие орбиты при сообщении пмпульса Й1'1 (или его некоторой части ю; ( ю ( пА) являются эллиптическими орбитами, удовлетворяющими заданным ограничениям, при этом и 1-= (ин и1. - 2я), и, = и (ЛХ1)— аргумент широты точки ЛХ; сообщения импульса нг'1. Отсюда и из ф, =-: 0 следует автол1атически, что функция ф (ю, и) на оскулнрующей орбите Т (ю) будет 2я-периодической, причем выполняется свойство г) отпоснтельно границы. Предположим также существование функций ф (ю, и1), ш11'1 ( ю ( ю(м, ф(з), общих для всего множества реализаций данной траектории (с учетом возмоя;- ных пассивных движений по оскулирующим орбитам) Тогда из результатов и. 1.2.4 следует, что рассматриваемый импульс будет внутренним.
Кроые того, максимум модуля х1 базис-вектора фг достигается в точке М; сообщения импульса Лу', не только с учетом движения по переходным дугам траектории, соединяющим точки приложения импульсов, но и с учотом возможного движения по оскулирующим орбитам, соответствующим сообщению этого импульса и удовлетворяющим заданным ограничениям: к1 (М,) =- шах к1(1Р, и), и1" (ю( ш',". (3.24) юн[иси,.1.ак1 Если аналогичная ситуация будет иметь место на некотором участке траектории с несколькимп импульсами, то условие (3.24) будет сохраняться для всех импульсов этого участка.
На переходных дугах, соединяющих точки приложения соседних импульсов, справедливо всегда, вообще говоря, условие (3.20). Если па переходной орбите 88 услОВия ОптимАльнОсти космическОГО мАнеВРА !гл Т (ид ), включающей точки приложения соседних импуль. сов ЛР; и ЬХ';„, для которых справедливо условие (3.24), ограничения й~ ~( О достигаются пе более чем в одной точке, то предельным переходом по ш можно показать, что а для всей орбиты Т (и~1М) будет выполняться условие (3.24) при ф = ф (и~™ +- О, и). Пусть на каждой переходной орбите данного участка Ь; = О не более чем в одной точке.
Тогда данные результаты можно представить эквивалентным образом в другой форме, перейдя к оскулирующим элементам как координатам, характеристической скорости как аргументу в включив аргумент широты точки на оскулирующей орбите в управляющие параметры задачи на быстродействие (см. И7], [ЗП вЂ” [37)). Действительно, перейдем сначала на таком участке к координатам (дм и), где (д;) — пять элементов орбиты, определяющих ее размеры и геометрию, например, (д;) = = (р, ~р„~рю [, ьз), и — аргумент широты.
Тогда, по (2.31), 1р1 =- ы отар~ = (тто — "РФ) г!рн Из выполнимости условий а) и б) следует ~р, = Н, =- О, поэтому ч„= О. Функция и. будет равна Базис-вектор в новых переменных В активных точках 7' = фг, модуль и, = [ ~рг [ должен достигать максимума по углу и на оскулирующей орбите. Эти условия оптимальности на рассматриваемом участке эквивалентны условиям оптимальности следующей задачи: в пространстве переменных (д;), [ = 1, 2, ..., 5, при аргументе — характеристическая скорость надо осуществить оптимальный по быстродействию переход д„— ~- д„ при управлении (7', и), ограничениях гм и ( г„( г„( ~( гмах (в силу сделанного предположения будет е )У О м СЛУЧАЙ ЦЕНТРАЛЬНОГО НЬЮТОНОВСКОГО ПОЛЯ Зе ри и, = 0). Для данной задачи ддо дд,.
(1, И) го 1' (д гсо и) д'дс. д'дд (Фд' д'д 'а) д)1, (д) дда ддо я ==- ~~ ~ар 1 — 1 ) 1'о + ау — - пьах = О. 11 1'",а Гс~ / ддо ~' о Из оптимальности траектории следует 1'= ~~~~1 ( — ' ) адд.1" =- 1=1 =орос, ~ ф1 ) — а- 1пах, ар„=- — 1 = — — ", скачок с1ар„=- — и а с пРи Г„= ГВ11о соответствУет скачкУ сааР, = — Ото, скачок ларг, = О при Г„= Гм,„— скачку саар = иго. Получен прежний результат. Таким образом, на участках траектории, где оскулирующие орбиты нарушают ограничения, выполняются„вообще говоря, обычные условия оптимальности для движения вдоль дуги Г (г), р (г), а на участке, где оскулирующие орбиты ограничений не нарушают, принцип максимума верен и для возможного движения по всем оскулирующим орбитам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
