Ивашкин В.В. Оптимизация космических маневров (1975) (1246627), страница 16
Текст из файла (страница 16)
)*+ — (й')", Р(С„) = с — с(С,) (й,(С„))*. Если в точке траектории, лежащей на границе, есть скачок меры, с (С) ) О, то в ней функция ар (С) терпит разрыв: Л Р (С) = о)> (С + 0) — ф (С) = о' (С)й~, о (С) ) О, 6 (х (С)) = О.
Траектория в этой точке касается границы (3). В случае кусочно-непрерывного оптимального управления и' (С) максимум в (4.9) достигается всюду: Я(ф(С), ха(С), иа(С)) = птах Яг(ор, ха, и) = О. оЕР Если 6 (х„) ( О, и (х„) ( О, то са, ор не равны нулю одно- временно, — в смысле обобщенных функций или в смысле интегрального уравнения +у г = — Р'[(Д„)" (х+ У)+(4)'са), у(т) = ~ (й„)*с(с,.
а Тогда уравнение Эйлера приводится к виду 1 ~ ((аг', /) + соСа) У с(т = )" (У). а О НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЯХ ОПТИМАЛЬНОСТИ !!! 4.2. Некоторые модификации условий оптимальности Сделаем некоторые замечания отиосительио случаев решения задачи оптимизации при постановке, Несколько отличающейся от рассмотренной выше. 4.2.1. У с л о в и я т р а и с в е р с а л ь и о с т и. Пусть ск У = Фо (хн, хк) + ~ ~н (х, и) й (4 11) — минимизируемый функциоиал.
На фазовые координаты в начале и конце движения наложено ~г, ограиичеиий в виде равенств Ф! (хн, хк) = О, ! =- 1, 2,..., и,. (4.12) Непрерывно дифференцируемые функции Ф; считаются независимыми, матрица частных производных от Ф; по по х'„, х'„имеет максимальный раиг г = ип Задано также па ограничений в виде неравенств Ф,(хн хк)~(О 1=и,+1,...,п,+пн. (413) Вводя в уравнение Эйлера (4.5) дополнительные члены, учитывающие условия (4ЭН) — (4.13), получим, что со- Когда иа пекотором интервале точка движется внутри устимого миовсества 6 (х1 ~( О, т. е.
6 (х' (!)) ( О, а ( г ( 6, то функция ф (!) удовлетворяет обычной сисе д, = — Н6)*1+(1')'сн) здеаь имеем обычный принцип максимума [49). В случаях, когда уравнение Эйлера (4.5) записать иельая, можно сохранить принцип максимума.
Если ) (х (!), и (!)) = О, ~.". (х (г), и (!)) = О, ! ~ [!к, гк), в (1) ~ Р, то формально получается принцип максимума, если сн = — 1, а = — О, ф = О. Случай выро!Идевиости системы (4.4) в окрестпости оптимального решения х' (т), к" (т) удовлетворяет прииципу максимума при с = О, о = О, при этом будет (ф(8),У(х" (8), и(!)) = О, и(!) !==Р, ф(!) фО, ~ !== [~н !к). 172 условия ОптпмАльности 110смпч1"Гкого ИАнеВРА ггг!. краняются условия оптпмагн ности, приведенные для слу. чая Ф, = О, задаппык точек х„, хк, меняются лппп условия на граничные значения сопряженной вектор-функ- ции гр (г) Теперь п,-ьи о) = - р„' = ~', дпг ~ Ьг~ дк ) — з(гк)йх(г~) (4 1 ~) к — гр (г г -~- и;1-п дягд ' д.
) О(~к)Ьх (гк) (4 1'1) к гг (г — О) = — гр„= Х Ьг причем ь, ( о, ь; ( о, Ь;Ф; = О, г = пг + 1, иг -)- 2, ...,111+111 П р и м е р ы. 1. Пусть для задачи оптимального маневрирования максимпзируется конечная масса тк: 7 у = — пгк= — х к1 в начале и конце двив ения заданы все фазовые коорди- наты х', 1' = 1, 2,...
8, кроме хк = т„: Фг = — х,', — х,', = О, 1 ( г ( 8, Ф = г„— ук = О. Тогда из (4.15) следует (11.16) гьгк = 7(Ь гг = — Ьо > О. Если вместо УсловиЯ Ф, =— Вгк — 7ггк = 0 задано (4.17) лг — т„( О, то, кроме (4.17), будет 7)77а = Ф~н = — Ь7 ) О. 2. Пусть в предыдущей задаче вместо (4.16) ограни- чено время прихода в конечную точку: Ф = гк — г„(0. Тогда будет, кроме (4.17), Ро, = Ь„(О, Ы о нвовходимых условиях оптимАлъности ЫЗ н нчем, если 1„„,,: у„(н частнпсгн. прп 1, —.— оо, 1„„„, < ~) о), то ф„, — О.
'422.Налично нескольких ограничений на фазовые координаты. 1)усть фазовые координаты должны удовлетворять нескольким ограничениям 6, (х) ~( О, ) =- 1, 2,..., Ь Тогда в уравнении 1 Эйлера (4.5) вместо одного функционала — ~ Ь,Мз будет 1 о 1 функционалов — ~'„~ Ь;„идсг Соответственно в уравнении з=~ о (4.10) для ф будет 1 добавочных членов: — = — И/х) 'Ф+(1х)*со) + .",с;(Ьы)' (418) Пусть ограничения Ь; ~( 0 таковы, что вх границы достигаются оптимальной траекторией в разные интервалы времени, так что меры а; сосредоточены на непересекающихся множествах. Тогда уравнение (4.18) можно упростить: подразумевая под Ь (х) функцию Ь; (х), которая соответствует ограничению, существенному на данном отрезке времени, прл атом о = о;. 423. Случай разрывных правых част е й.
Пусть на поверхностях сР)(х) =-0 1=1 2 аг нарушается непрерывность по х правых частей ~ (х, и) системы (4.2) и производных ~; (х, и), причем непрерывность сохраняется при движении между данными поверхностями, см. также (50). Такая ситуация может возникнуть, например, прп моделировании реальной снстемы уравнений движения с непрерывными и гладкими правыми частями более простой, но кусочно-непрерывной системой (в частности, это имеет место при упрощенном расчете траекторий КА с помощью сфер действия). Предположим, что оптимальная траектория л" (~) пересекает поверхности б; (х) конечное число раа, оптвмаль- 414 УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ КОСМИЧКСКОГО МАНКВРА !ГЛ.
1 ное управление — кусочно-непрерывно, в точках пеРесечениЯ 1Р!х (х) чх О, пеРесечение повеРхности осУ- ществляется с ненулевой скоростью, например, положительной: Ы!у. -у -(11-+О) = 1р;х~(х, и)! ~о)0, <р;(х(11)) = О, 1 хх 1, 2,..., Лт„ фт (х, и) ) О при !! х — х (11) ~ ( е, и 1.= Р. Траектория разбивается на несколько участков, на каждом из них функции / (х, и), ~„(х, и) удовлетворяют обычным условиям непрерывности по аргументам: / (х, и) = ~З(х, и), !"„(х, и) = Д„(х, и), Г! !(8(1! Осуществляя переход к аргументу т, О ( т ( 1, с(!1йт = = у (т), закрепим при варьировании значения т;, соответствующие моментам ~1.
Тогда вариация Х' (т) удовлетворяет обычной системе (4.6), причем каждому участку (т; „1;) СООтВЕтетВУЮт СВОИ'фУНКЦИИ ~ (ХО, й'), /х (Х', й'). Вариации Х (т;) удовлетворяют условиям типа равенства: 1Р!(х) = 1Р!хх(х. = О, 1=1, 2,..., !Л„г, = О, (4.19) т „, = 1. Предполагая, что рассматриваемая система невырождена в окрестности оптимального решения, т. е. множество, образуемое вариациями Я1 (х' (то)), х' (1)) при возможных вариациях й (т), есть все пространство Е"'"", получим прежнее уравнение Эйлера, лишь добавится член пь — ~ 1111(1; х(т1), соответствующий ограничениям (4.19): 1=! 1 1 с, ~ (~ой + ~" хоо) сй — ~ й„х йо, — Х (8) + 1(х — х' (й)) + о о т, + (с, х (1)) —,Я~~ 11119!Мх(т1) = О оо г при всех х, й.
Принимая х = х' (У), получим Х (й) = О НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЯХ ОПТИМАЛЬНОСТИ $15 ((ф,,() + Сэ~~) У Ит И ОтСЮДа ПРИНЦИП МаКСИМУМа, ПРИ1р(8) удовлетворяет условиям й~ — = — ф„)'У+с,(Д)']+с(й„)", г;(г(С„О Р(Ю, +О) = ф(с,)+ с[, ОР,'„(г,))'+ с(сэ)(й'„(С,))', ф(~„) = с — с р„) й„"(г„). Пусть в точке 1; пересечения траектории с поверхностью гр (х) = О будет й (х) ( О, о (~;) = О. Определим коэффициент И,: [сэ]э + (ф ~)]ь э = [се~э + (ф, ~)]~ ев М,+О) = фУ;.— О)+ ],~,'", о1 —— со (Уо+ — го ) + (~Т-,,Р+ — ]-) 1 )+[ф' [' — ] ) (4.2О) здесь у- = у И, + О), ]+ = у (~, + О), р+ = р р, + О).
4.2.4. 3 а м е н а и е р е м е н н ы х в з а д а ч е оптимального управления. Одна и та >ке задача оптимального управления, как правило, может рассматриваться в различных системах координат. Пусть иа отрезке [11 Сэ] Ск ( 11( 1э ( Ск осуществляется переход от исходных координат х к координатам х, причем функции х (х) дважды непрерывно дифференцируемы по х в некоторой окрестности рассматриваемого отрезка траектории, преобразование невырождено, обратное преобразование х (х) обладает такими же свойствами. Уравнения движения, функционал и ограничение в переменных х запишутся Пе услОВия ОптимАльнОсти кОсмическОГО мАнеВРА 1ГЛ ° ! в виде — = х„/(х, и) = ((х, и), Е1(Ю(то, х(С ) = Т(х(11)) "= "(~н~ Х1) +,7 Я, Ео) + Х(~о Си) = !» =о(~ю~)+~/ ( (х),и)1й+УР„~„) = = о (~о, т~) + ~ (1М С„) + ) (О(т, И) 1И 1 Й(х) = Й(х(т)) = Й(т).
Функционал А (и) = ) (1р, /) б ит в уравнении Эйлера заико шется теперь следующим образом: ч Й (б) = ) ((оР И + с4') Р 1(т + о 1 + ~ ((хп1р () + о(о) 4т+ ~ ((Ф, ~) + М') б с(т = 'С1 ч с = ) щ ~) + со~о) Ю (т + ~ (( р, () + с,щ 8 (т + о ч 1 + ~ [($, ~)+со~о) бдт, ф = (х„-')'Р. 'сэ Принцип максимума сохраняется на отрезке (С1, 11) в новых переменных со~о (т, и) + Я, ~ (т, и)) =~ п1ах = О, о причем новая сопряокенная переменная ф равна ф(~) = х„- (1) ор(1) ~1~~ ~ ~~ Го (4.21) Преобразуя к обычному виду (4.10), получим + = — ((6)'ж+ "(Ф')+'(Й )". И) = „'-'М). 1 ы О неОБхОдимых головнях ОптимАльнОсти ыт Со(1ряженная переменная ф преобразуется, таким образом, как коварнантный тензор, а функция Я~ = (т, 7)+ + со7о является инвариантом. Случай без ограничений см. в [51].
4.3. Условия оптимальности с непрерывной сопряженной функцией Для полноты изложения приведем связь рассмотренной выше формы условий оптимальности с другими формами. Сначала рассмотрим условия оптимальности с непрерывной сопряженной функцией. 1 — О Преобраауем с учетом (4.6) интеграл!о = ~ й„х'да, о з уравнении Эйлера (4.5). а) Проинтегрируем то по частям: 1 — О 1 н ~о= ~ й„х'1(а, = агй„х'(„=1 — 11 а,— (й,т')дт = ,'1 ° т о о = а,йх и' 1, 1 — ~ а1Ь'р йт — ~ (Ь')хх'гоа1 с(т, о о где обозначено а, (т) = ~ с(а„й (х, и) = —, = Ь„7' (х, и) о (Ь (х) = й' (х)). Тогда, подставляя это выражение для !о з уравнение Эйлера (4.5), получим, что ~ НФ" 1) + М'+ а Ь") Ит = й (Р), о где абсолютно непрерывная функция ф1 (т) удовлетворяет системе ~Ф ио ((~„')' ф1 + со (6 ) + а1 (Ьх ) )' ~,1(4) с (а, + а) й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
