Ивашкин В.В. Оптимизация космических маневров (1975) (1246627), страница 15
Текст из файла (страница 15)
ФУ, 1РР„1у„+ — '(Ря+ тр„) =- О. (3.32) Если импульс сообщается на концах, то для начальной точки 1 = гя в (3.32) вместо равенства будет знак >О, для конечной точки ~( О. Условие неположительности второй производной (3.23) во внутренней точке сообщения импульса приобретает вид Р!+ — ', 0'.+ Р.)'+ — "" (3ФЯ вЂ” 1)). (О, ]я(]1«я. (3.33) 101 УслОВиЯ ОптимАльнОсти кОсмическОГО мАневРА 1гл.
! Кроме того, если условия в конце не зависят от времени. а оскулирующая (при сообщении импульса) орбита удоз. летворяет всем ограничениям, то условие (3.30) выполняется н для движения вдоль таких оскулирующих орбпт. Рассмотрим теперь подробнее внутренние (по времени) точки сообщения импульса 1„( 1, ( 1„. Пусть сначала такая точка лелснт на границе й (х) = О, для нее г «;) = г„„„или г «;) =- г„„„.
В соответствии с результатами З 1, если в этой точке сосредоточена мера, т. е. О (Г;) ) О, то точка будет апсидальной, для нее У„' = )г, = у'„=О, ~ру =О. В этом случае условие (3.29) перейдет В условие М". + — ~'~ — — ",' Р = О, 1в<1(йю Формулы (3.8) принимают вид (А = С )г = В(1 + е созб) + В г р 1+ е сов б ~гГ р„„ Х = Ве з! и О =- В 1,' — У'с, Игр = О) .0 ВФ', + — г, Р ргй ц = — —," Р Ве з1п О = — — У „, рч Р ~ = '; (в +,, ~ ) - ~ (в + ~ .) т = 1 ---- О.
(3.3 ) Тогда из (3.32) следует, что ф, = О, а из (3.29) следует, что ф, = О. Отсюда и из постоянства переменных 1рс, ~В, вдоль траектории следует, что ф, = О, ~р, = О. Очевидно, что данный вывод и результат справедливы, если на оптимальной траектории сообщается хотя один внутренний апсидальпый импульс. Поэтому справедлива Т е о р е м а 1.2. Вели на оптимальной траектории плоского перехода сообщается хотя бы один внутренний апсидальный импульс, то сопряженные переменные фо ~р„, соответствующие времени и угловой дальности полепга, равны нулю на всей траектории: р,«) =-О, р„«) =О.
р Ю случаи цкнтглльиого ньютоновского поля ГОЬ Последовательные точки сообщения импульсов ~ = гы ЛГ = ЛГ; связаны соотношениями(3.30) — (3.33), (3.27). Пусть теперь с (г;) =. О, причем фу ~ О. Тогда нз условия (3.32) следует, что ру, Р„+ |р„ гф„= — — ' (К„, + ф„) = —— ус Подставляя это значение гф„в уравнение (3.29), получим уФ = "р В+Я+У„р„. (3,35) Условие (3.33) принимает вид ' "+,"Р" + — "'"' ( — 1+ зф', ) (0 (3.35) или 0 ( Р ( 1 — 3 я1и' ср ( 1, (3.37) где 1з (У + „Р,)тУ ( ~'~ ) я;иэ,р г Этому соотношению можно дать интересную геометрическую интерпретацию.
Пусть Лà — импульс скорости, проходящий в плоскости скоростей через конец вектора скорости Х'. Сдвигаем его (см. рнс. 1.20) параллельно себе на расстояние ф . Если Р— точка пересечения линии действия этого перемещенного импульса с осью ры то 7 = ( Р„+ ф„(7 (я1и ~р( (р,.г!г)ч"- — обезразмеренное расстояние Ог" от точки Р до начала координат (см.
рис. 1.20). Условие (3.37) показывает, что 1 ( 1, точнее 1 ~( р' 1 — Зя!и'~р. Иначе его можно интерпретировать как ограничение на угол ср: я1и' ср ( (1 — 7Я)!3, ) я1и ср ( ( 1! ф' 3, ) ср ( ( 35 . Если ф„= О, то Р есть расстояние 1 от начала О до точки пересечения фактической линии действия импульса с осью тогда 1( ф' 1 — Зя1иэср. 106 УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ КОСМИЧЕСКОГО МАНЕВРА 1ГЛ, [эассмотрим важный частный случай. Пусть фь == О, ф, = О. Из (3.35) следует тогда а= — — фУ +И вЂ” 0 Г (ср. леммы в [47), [48]). Отсюда и из (3.36) получаем 3 — '"Р ф[„(О, что возможно лишь при фт = О. Следовательно, если ф1 .— — О, $„= О, то во внутренних точках сообщения им- пульсов не моявет быть фт ~ О, всегда будет фт = — О. В этом случае будет, как видно из (3.32), И, (11 + 0) = = у'„(11 — 0) = 0 (этот результат получен в [48) непо- средственным варьированием).
Получена Т ео р е м а 1.3. Если на оптимальной импульсной тРаектоРии 1Ри = О, ф, = О, то все импУльсы, сообЩае- мые во внутренних точках траектории (ск ( 11 ( 1,), будут апсидальными, радиальная скорость в них равна нулю до и после сообщения импульса. С л е д с т в и е 1.
Пусть при компланарном переходе между нефиксированными (по долготе перицентра в) ор- битами не заданы время и угол перехода (условия в начале и конце перехода зависят лишь от г, $'„И„). Тогда будет ф„= О, ~р = — О. Применяя предыдущий, результат, полу- чим,что все импульсы во внутренних точках траектории будут апсидальпыми. Т е о р е м а 1.4. При оптимальном импульсном ком- планарном переходе между свободно-ориентированными ор- битами и при невиданности времени перехода импулы сы, сообщаемые во внутренних точках траектории, апси- дальни. С л е д с т в и е 2.
Пусть для общего перехода (с' за- крепленными (или ограниченными) временем и углом пе рехода) есть хотя бы один импульс во внутренней по времени точке траектории, сообщаемый на границе кольца (1е ( 11 ( 1в, М" (1;) ) 0). Тогда, если о (1;) ) 0 (име- ем общий случай), то будет, как показано, $'„(11 ~ 0) = = — О, фи = О, ф1 — — О, выполнены условия теоремы 1.3.
Все внутренние импульсы будут апсидальными. 3 а м е ч а н и е. Уравнения (3.29) и (3.32) можно использовать и в другой форме. Можно, например, Гсз УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ КОСМИЧЕСКОГО МАНЕВРА !ГЛ. 4.1. Условия оптимальности А. Я. Дубовицкого— А. А. Милютина Кратко воспроизведем вывод условий оптимальностк из (4). Пусть функции х' (1), и' (1), конечный момент времени Г„ дают минимум функционала 1к Х (х, и) = ~ )э(х, и) 111 ~н (4.1) при ограничениях йх1й = у (х, и), х (4) = х„, х(1„) = х„, й(х) (О, (4 2) 1(т) = Гн + ~ и (т)11т о В пространстве уг' пар (х (т), у(т)), где х (т) — непрерывная вектор-функция, а Р (т) — измеримая функция.
функции х' (т), Р' (т) доставляют минимум функционалу 1 У1(х (т), Р (т)) = ~ Р(т) ~' (х(т), й'(т)) Ыт (4 3) 0 при ограничениях — * = О(т)у (х(т), й'(т)), х(0) = х„, 1 х(1) .=- х„, й(х) (О, э(т) )~О. Если Р' (т) + О, то й' (т) = и' (Г (т)). На интервалах, где Р' (т) = О, й' (т) = и; Е= Р, 1 (т) =11. Множество х (1) при 1„( 1 ( Ä— непрерывная функция, х Е= Е", и (1) — измеримая функция со значениями из ограниченного множества Р Е= Е". Функции ~' (х, и), у (х, и), й (х) и их частные производные по х — непрерывные функции аргументов, причем й, ~ О, если й (х) = О.
Далее осуществляется переход к новой задаче с другой независимой переменной т, 0 ( т ( 1, и управлением Р (т) > 0 — как ограниченной измеримой функцией —, при этом ~ 11 О НЕОБХОДИМЫХ УСЛОВИЯХ ОПТИМАЛЬНОСТИ 109 (С1, и1) берется всюду плотным в [тв, С„) Х Р. Пусть ), й (т) — вариации траекторий и управления. Тог- если система (4.4) невырождена в окрестности т), с' (т) и 71, 7'„"одновременно не равны тождественно ю, то при любых х, й выполняется уравнение Эйлера: 1 1 со()(со1'„Х+тйт — ~ Ь ас,— ).(й) + о о + ( (х — х' (й)) + (с, х), 1 = О. (4.5) 1 Здесь с, ) (о'/'„Х + 7й) йт — линейный функционал, леот- о рицательный на конусе запрещенных вариаций, уменыпаю- 1 щих функционал У„со ( 0; — ) й хос — линейный функ- о ционал, неотрицательный на конусе вариаций, допустимых по ограничению я (х (т)) ( О, мера с, неотрицательна и сосредоточена на множестве (1: я (х (т)) = 0); — А, (й)— линейный функционал, неотрицательный на конусе вариаций, допустимых по ограничению с (т) ~) 0; — А (с) ) ) О, если й (т) ~ )0; Л (и) = О, если й = 0 на множестве интервалов (т: со (т) = О); с„с„ь (й) не равны нулю одновременно; 1 (Х вЂ” х' (й)) — линейный функционал, исчезающий на подпространстве Х = Х' (й): — =- й(т)~(хо, йо)+со(т)~х(хо йо)х' х'(0) =0' (46) (с, х), 1 — линейный функционал, исчезающий на подпространстве х (1) = О.
Берется х = х' (й), тогда 1 (х — х' (й)) =- О, уравнение Эйлера принимает вид 1 1 со ~ [Уо7~. х' (й) + 7ой[ с[т — ') й,х'йс, — ) (8) + (с, х'),, = О. о о Вводится функция ф (т) такая, что (4.7) ф(1) = с — Й,.с(1), У = — " [(у')"Ф+ (4)"") + (ь'-)*Ф 110 УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ КОСМИЧЕСКОГО МАНЕВРА 1ГЛ. 1 (4.8) Из (4.8) после перехода ко времени С как аргументу следует принцип максимума для исходной задачи: существусот такие с, ( 0 и неотрицательная мера с, сосредоточенная на множестве (С: 6 (х (С)) = 0), что почти всюду па (С„, С„) оптимальное управление и' (С) максимизирует функцию Я = (ф (С), С (х', и)) + саСо (х', и), обращая ее в нуль: (ф, С (хо ио)) .+ соСо (хо ио) ( ) птах Я (ф, хо и) = О, и\= Р (4.9) причем — = — — (6)аор — са у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
