Ивашкин В.В. Оптимизация космических маневров (1975) (1246627), страница 17
Текст из файла (страница 17)
((). Отсюда, после перехода ко времени 1, следует принцип максимума: уЮ = (ор1, 7) + со7о+ а,й'(=+) шах = О, (4.23) 118 УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ КОСМИЧЕСКОГО МАНЕВРА ИГЛ. причем абсолютно непрерывная функция ф1 (т) удовлетворяет системе — =-((~о) р'+ "(~.)) — 1()(о) . „4 ф1 (~„) = с — (б+ б1) Ь„(8о), непрерывная слева функция б, (1) — неотрицательная, неубывающая, изменение ее осуществляется на множестве (й Ь (х (1)) = 0): б1(8) = ~ дбЯ)О, дб(1) О, Ь(х(Г))дб(1) =О.
1н Функция б, (г) разрывна в точках т;, где сосредоточена мера б (~), б (11) ) О. Обозначим прежнюю сопряженную функцию и гамильтониан в условиях Дубовицкого— Милютина через оро,,й'о. Тогда функция ор1 будет связана с фо соотношением ооо (Г) ф1 (1) + б (1)Ь'* (1) как следует из (4.23), (4.24). Условие (4.23) похоже на прежнее условие (4.9), если /11 = Ьг (х), дЬ1!ди =- О. В етом случае оптимальное управление максимязирует функцию Щ1„Д + со/о. В системе (4.24) добавочный член — О1 (Ь1)* ~ О и при движении внутри допустимого множества Ь (х) ( О после первого прохождения участка на границе, где сосредоточена положительная мера ) дб (1).
б) Пусть дЬ1/ди ж О, интеграл 1о взят 1 раз по частям, 1 (1~('и, где и — порядокйнаименьшей производной от Ь по т, котораяхзависит от управления (предполагается существование и непрерывность соответствующих производных). Тогда (о — — Я~ ( — 1) Ь,. х бо Ь вЂ” 1 + ~'~ ) ( — 1) Ь бодоот+ А=1 1=1 О 1 + ( 1)1)Ь х бооит, о О НВОВХОДИМЫХ УСЛОВИЯХ ОПТИМАЛЬНОСТИ 119 где «о й ~ Роб (т) С[т ') „- (1) ц1 Используя ото соотношение, из уравнения Эйлера (4.7) получим 1 ! Л(б) = ~~со~о+(ф', ~) +,'У', ( — 1)к-кб„й'~б [т, о »=1 отсюда следует принцип максимума, выраженный через абсолютно непрерывную сопряженную функцию »[о'1 Я = (ф, 1х) + со/о + Х ( 1)» Кй»бк(~) шах — О, (4.25) »=1 ис Р ,у~[ — = — [(/„) »[о + со (7, ) ) + ( — 1) (й„) б„ ф'(гк) = с+ ~~~ ( — 1)" (йх ) бк(го) — (йх) б(го), К=1 где (4.26) бк(1) = ~ бк 11[1 — неубывающая, неотрицательная, непрерывная (прн й ) ) 1) функция.
Из (4.26), (4.25) следует, что функция ф выраясается через кро (1), »Р1 (1) следующим образом: Р'(1) = Ф(1) + Х ( — 1)к 'б»(йр Н), к=о ор~(1) = »[о~ (1) +,~~ ( — 1) б (йх ) ° »=1 При [ (п добавочный член,~', ( — 1)к 'й"бквфункцииЯ~1 »=1 не зависит явно от управления, максимизация Я1 по управлению и Е= »1 сводится к максимизации функции У' = (»Р1, ~) + со/о. Лишь пРи [ = и в фУнкЦии Я1 по- 120 услОВия ОптимАл! ности кОсмическОГО мАИРВРА [Гл, ! является добавочный член ( — 1)"-'О„й", зависящий явво от управления. Оптимальное управление и' максимизя.
руст в этом случае функцию У" = (ф" 1) + со1'+ ( — 1)"-' сой" (=е) игах. (4.27) иып [(фг, 1)+ со/о]гг о = [(1, фг)+ с,1']!ось [(",1)+ со1'+( — 1)" 'с Ь ]гг о —— = И![го, 1) + со10+ ( — 1) 1сойо]г,о. 0 «( / «( и — 1 Пусть !а ( а «( ! «( 6 ( !„— дуга на границе, на ией Ь' (х (г)) = О, 0 «( Ь «( и — 1, /г" (х ([), и (г)) =- О. В начальной н конечной точках этой дуги 1 = а и г = 6 функции й'(х(г)) непрерывны (О «(Ь ( и — 1), так как они не зависят от управления и там будут выполняться условия: при О«(/«(и.— 1 [(ф' 1) + со1" ]о-о = [(г[г 1) + со1'[~го [(1[!' 1) + о1")о+о = [(г[г' 1) + о1о[о-о при / = и [(ф", 1) + с,1' + ( — 1)"-'О„6"] -о = [(о]г", 1) + со1" ] ~о Кф", 1) + с 1']о „=- [(1[!", 1) + с 1" + ( — 1)"-' п„й"]„,.
Система (4.26) для гр неоднородна и при Ь (х) ( О, еслв пройден участок на границе с положительной мерой. Рассмотрим случай, когда управление и' (г) кусочно- непрерывно. Условия (4.23), (4.25), (4.27) будут вьгполняться всюду. Пусть х' (г!) — изолированная точка оптимальной траектории, лежащая на границе. В ней функция О, (!) имеет, вообще говоря, скачок пг (/г + 0) — О, (О— — О) = О (1!) ) О. Функции с' (т), 1 (/ «( и, будут непрерывны. Функция ф' (1) будет разрывна, г]го (/! + 0)— — г[г" (Г!) = с ([г)(й„'([г))о. Функции г[г' (1), 1 «( / «( и,— непрерывны. Функции Ь' (х (Г)), 0 «( / «( и — 1, непрерывны в данной точке, причем Ь' (х (11)) = О, 0 «( / ( «( й «( и — 1 (если /г ( и — 1, то /! + 1 четво, йг и (гг) < < 0 [52]). Отсюда и из (4.23), (4.25), (4.27) следуют усло- вия 1 4] О НКОБХОДИМЫХ УСЛОВИЯХ 011ТИМАЛЪНОСТИ Если граничный участок 6 (х) = 0 примыкает к некото- РомУ конЦУ тРаектоРии 1 = оз или 1 = 1„, то выполнЯ- ется лишь одно из этих условий (во внутренней концевой точке участка).
Указанную форму условий оптимальности при 4 ( ( [ ( п будем называть второй формой. Условия оптимальности, аналогичные условиям случая 1 =-. и, приве- цены такл,е в [531. 4.4. «Сме1панная» форма условий оптимальности В некоторых работах ([49,[54] — [55]и др.), на участ. ках Ь (х) ( 0 применяется обычный принцип максимума задачи без ограничения на фазовые координаты [491, аналогичный в этом случае основной форме условий оптимальности: оР =- 1го, ф = — [(/,.) 1) +со(~, )*], (ф, )) + со~о=+шах, иео при движении же по границе применяются некоторъ1е условия оптимальности, аналогичные условиям второй формы прн [ = и: 1Р оРф',,УГ = (ф ~) -'- со)о ),й =Е шах, ~о (4.28) ф = — [(!'„)*ф+ с,ум)*]+),(й."')".
Такую форму условий оптимальности условно назовем осмешанной». Предполагаем, что множество (и 6 (х (г)) = = 0) состоит из конечного числа изолированных точек и отрезков. Функция 1Р (Г) будет разрывной, но ее скачки отличны, вообще говоря, от скачков функции оро (с). Если траектория пРилегает к гРаниЦе изолиРованной точкой х (1о), то в окрестности ее будет ф = 1ро, функция 1р (О имеет при Е =- Го тот я;о скачок, что н о[1о (К): 'Ч (~о) =- ~Р (~о ' - О) — "Р (го — 0) = пФ' = О (~о)Ю' . Рассмотрим дугу на границе, ~, ( ~ ( ~з. Пусть на ней 'т .= ф". Тогда ф (О нмеот скачок з начальной точке Г, (точке выхоДа на гРаниЦУ) и конечной точке 1з (точке 122 УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ КОСМИЧЕСКОГО МАНЕВРА 1ГЛ.
1 схода с границы): Д1[ (»,) ф. (»,) [ (», — О) = а ~ ( — 4)"-",(», — 0)(йс." ") „ 1=1 лф(»1) = р (»а+ о) — ф" (»1) = = ~ ( — 4)" ' „(»а+ 0)(Ь'„н)ь. В остальных точках траектории функция а[а (») непрерывна. В уравнении (4.28) функция Х равна Л =- ( — 1)"б„. бс = О, ба (») = баа + ~ бс С»» = баа + оса (» — »а) бс (») = бса, ба= б1, с б„(») = б„а + ) б„сс»» = (с — са)~ 1 баа + б<~ -сса(» — »а) + ° + бса ( 1), ГДЕ бщ„баа, ..., З„а, », — некоторые постоянные. Пусть на дуге», ( С (»1 функция а[с (») определяется выражением ф(») = ф" (») + Х ( — 1)'-'б,(») (й."-н)* 1=1 Покажем, что на дуге»г (х) = О можно выбрать функцию а[с (») более общим образом так, чтобы удовлетворить некоторым специальным условиям скачка.
Например, в [49[ в точке стыка», вектор ф (», + 0) берется касательным к поверхности Ь (х) = О, в [54) функция с[с (») непрерывна при» = »„в [521 рассматривается возможность осуществления скачка в произвольной точке граничной дуги. Рассмотрим на дуге Ь (х) = О, », ~( » ~( »1, специальные функции б, (»), которые аналогичгы функциям б, (»), но определяются в предположении с»б (») = О, »1 <» (»1: / О неовходимых услОВиях ОптимАльности 123 )огда легко показать, что 1р (1) удовлетворяет на 16= ~ ро гз) системе (4.28), причем (4.29) Л=( — 1) о =( — 1) (о — о ).
1(аксимизируемая функция ус", выраженная через функ- дию 1р (О, будет иметь вид и У" = с11' + (Ф вЂ” Х ( — 1) ' о1 (Ь" ," ), !) + 1=1 и +,~~ ( — 1)' ' О~Ь' = 1=1 и = с„~'+ (ф, /) + ~( — 1)' '(о, — О1) Ь = 1=1 = с,~~ + (1р, ~) +,Я ( — 1)' ' а,Ь'.=~ 1вах = О, 1=1 а~о о,(1) =о,(~) — о,(~).
Следовательно, надо максимизировать по управлению функцию У(1р, х, и) (4.28) с тем же значением Л (4.29). Подбором констант б„, ~, можно менять скачки функции 1г(1) на концах дуги. Рассмотрим частные случаи. а) Берем ~, = ~1, 3„= о, (11), 1 (1~( п. Тогда, учитывая, что 3, (11 + О) = о, (11), нолучим ф(г1+ 0) = 1р" (г1) +,~',( — 1)' 'о,(г1 — 0)(Ь~' и) = 1-1 = ре(с,— 0) =ф(~,— 0), функция 1р (~) непрерывна в точке 11. В точке 11 будет скачок: п р(~ — 0) ф (1) + ~ч'„( — 1) о (~1)(Ь„) 1=1 121 условия ОптимАльнОсти космпчгского мАнРВРА 1гл йф(1,) =1л(1, + 0) — Ф(1а — 0) = Н = ~х,'5 ( — 1)' ' (5, (1, + 0) — 5, (гз)) (Ь', " ) 1, = 1=-1 1)'-';,(12+ 0) (Ь",-"),, где 51 (11 + 0) '= 5 (1а) + 51(гт) — 51(га), 51(гз) = 51 (1а) 1(11), 1(1(и, причем 5,)0,5,=5,— 5,=51,— 511~:О, 5, = 5 а О, з1дп "А = з'1дп( — 1)". б) Пусть 1, == 1„51О =- о', (1, -1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
