Ивашкин В.В. Оптимизация космических маневров (1975) (1246627), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Если, двигаясь по пассивной дуге орбиты Т, КА приходит в точку Ъ сообщения импульса ЛГ1 (1 = — 1, 4: 2, ..., 7»'), то и орбите Т при- Тл своим номер 1, обозначим ее через Т,. При 1' =- '1 имоем начальную орбиту Т, =- Тл, после сообщения последнего импульса А)гч 7~АУ получаем конечную орбиту Тл = ~у й =Т, „. Рассмотрим т рехимпульсный апсидальный переход (Л' .= 8) рлс. 2.15. схема трехнмс использованием промежуточ- пульсзогл перехода. ных орбит Т„Т„условно изображенный на рис. 2.15. Пусть шах г; = гал, 1 =- 1 —:4.
Тогда двухимпульспый переход 1 Т, — Тл осуществляется по схеме и, — ал, рассмотренной выше, дляпегогл, — глю га, = га„. Двухимпульсный пе- РЕХОД Тл — ~- Т, бУДЕт ИМЕТЬ ВИД Лл. ае (= ал), 1„,, =-- Глл, гах = — газ. Орбиты Т.„Т, совпадают, сливаются в одну орбиту Т„гл, = глл, га, =- г,л, весь переход вырождается в двухимпульсный переход пл - ал. Пусть г» =- =-. шах гзп ) гал, например, га, .— г». Тогда двухпипульсный переход Тл - Тз осуществляотся по схеме пл -» а,. ПозтомУ 1.л, . 1„„, гл. -. гал — г*.
РассматРиваа пеРеход с орбиты Те па орбиту Тл, получим глз — глл. 11ось переход осгпптся трехимпульсныи: (2. 81) пл -» пз -» и,, для него Глз 1'лл Газ 1'ал Р 1ал Глз = 1'лл (2 6) Таким образом, трехимпульсный переход не вырожда- '144 переходы пРН сВОБодной ОРиентлцип !!'л и е тся в двухимпульсный, только если апоцентрическое расстояние переходных орбит больше апоцентрическпх расстояний исходных орбит. Пусть 7!' = 4 (рис. 2.16). Предположим сначала, что таХ Га; = Га„. ТОГда трЕХИМПуЛЬСНЫй ПЕРЕХОД Т2 — ь Тн, по предыдущему, вырождается в двухимпульсный переХОд Пе — ь а„, дЛН КОтОрОГО П!аХ Га; .=- Ган.
РаССМатрИВая весь теперь уже трехимпульИ4 оный переход Тн — ь Т„, опять видим, что оп вырояедается в двухимпульсный переход 4 Ян-ьоен. Пусть 12 = шах г . ) ган, 4 ! 7 НаПРИМЕР Гае Га ) !ан. Рассматривая двухимпульс- "г 2 ные переходы ҄— Те н То г -4- Т„, получим, что г 2 — !нн 1а2 !ае ' га4 1н4 = г„„.
Переход между орбпРпс. 2.16. Схема четырехпм- тами Т и Т осуществится пульсного перехода. приложением одного импульса в общем апоцентре. Весь переход Тн — ь Т„будет трехимпульсным (2.5), (2.6). Далее индукцией легко доказывается, что любой многоимпульсный переход с числом импульсов 14! ) 4 сводится к двухнмпульсному, если и!ах га; =-= ган, или трех- импульсному, если !пах г; ) га„. Рассмотрим теперь однопараметрическое семейство трехимпульсных переходов (2.5), (2.6). Параметром будет аПОЦЕНтРИЧЕСКОЕ РаССтОЯНИЕ Га, =- Гае ПРОМЕжУтОЧПЫХ орбит, причем, в силу заданного ограничения, будет ШВХ (Ган 1ан) ( 1а2 ( !гоне ° ПРн минимальном значении гае =- шах (гаю ган) бУДет га, = гал = ган, Т, = Т„, Л)ге = О, получаем двухимпульсный переход. Поэтому, рассмотрев данное семейство, получим оптимальную траекторию на множестве всех апсидальных многоимпульсных переходов.
Для етой 1 21 пегехОДЫ Мкжду ОРБИТАМИ. ЛежАП22222И и КОЛЬЦЕ 1Е5 тРаектоРии хаРактеРисти 2ескаЯ скоРость игк ьпппнььальна: и2к (г„е) =.; т1п. Справедлива [8) Л е м м а (Тинг Лу). Функция 2ок (га,) монотонна или имеет внутренний макеимуль. С л е Д с т в и е. ФУнкЦИЯ 2ок (га,) может пРинимать минимум лишь при крайних значениях аргумента, т. е. может быть (гае)опи = гпах (гаи~ гак) (2 7) или (Гае)опт = Гтак ° (2 8) В первом случае оптимальный переход будет двухимпульсным (2.2), во втором случае оптимальным будет трехимпульсный переход (2.5), (2.6), (2.8): Ли Г ЛК Г 2=:Г И Рпс. 2.17. Схема трехпмпульсного перехода вида ли Г лк, ги .— - Ги з — —. гжа2 Гл и — — гл к (2.9) 'ок (га2) — ()л2 )глн) + (~ аз ) а2) (~ лз ~ лк) == (Рле — 1Га2) + ()'„З+ $'„3) — (Рли -2 ) лк). Обозначим — = З„(2. г „ а2 = Злк ( з, с,к Тогда з' 'ли (1 -1 з„] н 2рср ~/ (Зли + Зи) ' лн причем промежуточный импульс сообщается па внешней границе кольца (рис.
2.17). Докажем лемму. Пусть, для определенности, гли ( гли (условие г„п ( гак при этом отбрасывается). Тогда суммарная характеристическая скорость равна пкрнходы прлл се»годной орл~лллгглл)лллл 1г,л л, и лтзссмотриьл функцию а' йк (аа) —— г ргр ак йк (а.): 1 — га )' ь, + а„+ го»л1., 1/1+ га аа) г гак+'а 1 (1 ' а) еж. — 13 — ' к зг 2 (1+ г„)'О(гж + а) о )1роизводпая лтлгтк/с(ла может обращаться в нуль ири — 3(1+,„„)+2)~3 2г а еа = аа 3 + г „ Если ап ( 1/9, то т„> О, лллгк/л21„) 0 прн 0 ~ ха ( к,.', л1лугк/лБ, ( 0 при а„) а.. Точка аа =- й. является топкой маисимуыа функции йк (аа)г (гаа)аит — (гат)пжт 1!ли (гае)„„= (гае),„;„. Если йп ~ )1/9, то ета ( О. В этом случке при л„)0 будет л(й„/л/т„( ( О, функция йк(а ) монотонно убывающая, аи (гат)ппт — (г ат)юп!и ° Ломала~ г а с пейирезультаты(2.7), дел г.„(2.8) доказаны.
1 Области оптима льпост» х=у ~ ге=2 обоих переходов легко определяются при перл'хо- ~ ~г' к' де между круговыми орбитами, е„= ек = О. Если отношение радиусов г,,'гп меньше г = 11,94, то о»- Рис. 2,13 Области сптимальнсстлл тимальным всегда будет двух- и трехимпульсипгс перека- двухимпульсный хомапок- дпк между круговыми орбитами, ский 191 переход (2.2), Лг = 2 (величина х - . Р ''-' есть корень уравяепия ха -Р хе — (2 р' 2 .,'. 1) х -Р 1 — О).
В другом крайнем случае, прп гк/г, ) г = 15,56, оиги- мальным будет трехимпульсный переход (2.9) Штерпфель- да (10), /т' = 3 (г ' = 4 соз 40' — 3). В промежуточиоы случае р ( г„/гп ( г существует предельное значение У,„„„(гго гк) такое, что пРИ гп,,„. ( гжа„бУдет Лгжт 2, арг 1 3) пепкходы глежду ОРннтлмп лнжлшимп В Кольце 147 а прп газ. ) г, зч — Лоос = 8. Области оптимальности обоих пеРеходов и завксимость г,,сг озт от гл,сгк пРиведены на рис. 2.18.
В общем случае, при го,зт ( со, еоо„~ О, тип оптимального перехода, по-видигяому, целесообразно устанавливать непосредственным сравнением по функционалу, если относительяо простые критории не подходят (один критерий приведен выше): гш,/гял ~ 9, несколько других будет указано палее). 2.3.
Изменение сопряженных функций на оптимальных траекториях Ос=О, рг:1, )о =О, пс -О, 2 ~( —, щ=-г „, (2ЛО) ргп 'а а в точко Л(з сооби1сиин второго импульса ЬГг аналогично: Оз л, оз лгип(г к--г о), ")з .О -' ( '"- ." с. т ° ~ зк' г, (2.11) Иа услозш! (2.1О), (2.11) и (3.34) гл.
1 оирслслим иостоянныс В, 0 Для орбиты Т: 1-- г," (за= з, если рз = 1, 2 В 1 1 ес. ~н 1 Вз =. Имея в ппау еозиожность применения излагаемых результатов для числоллого получения решения л случае произвольных (фиксированных) орбит, рассмотрим изменение с о и р я ж е н и ы х ф у н к пи и вдоль полученных оптвмальных траекторий. В данном случае, ввиду свойства (2.1), анализ можно провести двояким образом — по пероменным, соответствующим оскулирующим злемеитам (навримор, аналогично работам (17), (31) — (37) гл. 1) или по переменным р, Х, и, С, соответствующим кинематическим параметрам.
Здесь воспользуемся вторыми переменными, при необходимости можно легко осуществить переход к первым. Пусть сначала ))г = 2, переход — двухимпульсный, г„л ( глю Для переходной орбиты Тз будет г =- г „, г„„=- г„к В силу условий оптимальности в точкс Мл сообщения первого импульса ЛГ будет (соответствующие величины снабдим индексом а1ь): 148 ПЕРЕХОДЫ ПРИ СВОБОДНОЙ ОРИЕНТАЦИИ (РЛ. 11 орбите Т будет кг(1)) < 1, Компопеитг,г В остальных точках на «г, «з имеют впд Те "1 (В„Ве ) В, "1 )гз = 1, =Г 2 Вз 1— ) л, ьз ( (2 12) На начальной орбите (н оскулнрующей в точке Мя), согласно (3.28) гл.
1, будет В= — (1 — «),  — ' [1 — (1+а) «[. е е На этих орбитах максимум модуля базис-вектора достигается з точке сообщения начального импульса, при О = О. Действительно, кромо точки О = О максимум я,(О) мог бы бйть достигнут при д =- л, здесь яг = [ р(. Рассмотрим эту точку. Пусть сначала ре = 1. Тогда )га =р (е = я) = (1 — е) В + = — 1 — 2 В 1 — 2« 1 — г 1 — е г.", Ве . Г1 ге т = «.— ' = — «з = 1У, «е. Ь ' Ь У 1 — с ! 1+ ж 'гщг' гз Д здесь « -= '( ) (1 — —.) =: Сг1 1+ с. При О(ет(1 будет 1+с) (, 2 ) 1г)' 2( С(1.
Тогда р„= — 1 будет при « =- 112, что невозможно прп О ( е ( ег ( 1. Случай )ге = 1 воаможен лишь при е = ег. Прп е ( ег будет и, =[)г! < 1. Пусть рг .= — 1, « = [(1 + ег)г4 (1 + + е)[ *. Случай р„= — 1 возможен при е = ег, случай р„=- 1 невозможен при О ( е ( ег ( 1.
При е ( ез будет [ )г [ ( 1. Следоватольно, прп О( зг( Луг всегда максимум яг (О) достигается ггггшь прп д = О. На конечной (и оскулирующей в точке Мк) орбите будет 1 1 — е В= е ()гз «) В='-' [)гз (1 е)«[ 1 21 пеРЕХОды ыежду ОРБитАМИ, ЛЕЖАЩггмгг В КОЛьЦе 149 рассмотрим величину р при () = 0: р»=р(О «О) =В(1+ )+ Пусть рг = 1, е ( ез. Случай р = 1 возможен лишь при е = ез( — 1 будет при з =- 1/2. Последнее имеет место при ей ~( ез, е= е* (е ) (рис. 2.19): еи = 1 — (1 — ез) (2 + еи)з 1 — е» е ' =.= 1+ «* ег и* = 4 соз 40' — 3 = О, 066, е' — 0,88.
(2.13) 'Этсюда следует 1 — ее Пз =- (2.14) 1 ~з = — 2, Понтону прп е, ( еи, ек ( ( е*(ез) будет ( р () 1, «Ч =3. При еи < е»и или е* < е„< ез и ез )» е» будет ( р„( < 1. Пусть рз — — — 1, е ) еи. Случай р = 1 возможен лишь при е = е, прн е = — еи*(е ) будет р =- — 1. Если ез < е < ( е**(еи), то — 1 ( р ( 1.
Величина ез и (е ) удовлетворяет уравнению (2.13), если в нем сделать замену е* еи, ез . еез (см. рпс. 2.19). При е > езз модуль базпс-вектора в точке О = 0 превысит едпинду, р ( — 1, следоватольио, в этом случае Дг = 3. Рассииотрииии теперь траекторшо трехпипульсного перехода. Здесь'считается, боз ограничении общности, что г к ) г „. Соприниенныс переменные на начальной орбпто Та, на орбите Ти — — (ге..—. = г, г, = г, .ии и на оскулируиощих прп 0 < ю ( А)ги орбитах г. и '«и гпюи) определяются так же, как и в случае двухпмиульсного перехода при рз = 1. На иих всегда будет к, (О) < 1, для орбиты Т, (г« Ви = и, рз = 1, Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
