Ивашкин В.В. Оптимизация космических маневров (1975) (1246627), страница 24
Текст из файла (страница 24)
2. 0 2.31 в плоскостях (срьа, сртп), (ср„„ср,-) прпводены множества М„ЛХЫ М„ЛХ, для случая, когда Рпс. 2.28. Рапбппппе фазового мпожсс пы н пыля коотп Р тре екторпяки Л ц, 9 = д, 4), про хокяптик и 1с пса по и ч кую точку и фокусы Р, сппсрболи Л ПЛОСКОСТЬ СКОРОСТЕЙ .) соя срс в ~ ) е„прямью 11, .-- срс а пересекаюс обе нет~и кривой 11„. Покажем, что введонкые мполссгства Л7, ( 1),), 1= 1, 2,..., 8, пе имеют общих внутренних точек, они 1 ус~с ' 1 1а ! '1,- л 'Оал 1'ис.
2.29. Построение лтожества Мл в сслоскссчв 1' . о Бис саа Рис. 2.30. Построение множеств Мд, Мл в плоскости (с1,„, ср„). Рпс.2.31. Постреенпе множеств Мл, ЛХс в плсскостсс (<Г,а, лишь соприкасаются по общим границам — дугам кривых П;П; (П1П;), и их объедппешле равно всему допустимому мпонсеству М, (ЛХ„). Сначала покажем, что 1)Ха ~= ~ ЛХ„1. Любую точку из ЛХ, лсопспо получить следующим )66 ПЕРЕХОДЫ ПРИ СВОБОДНОЙ ОРИЕНТАЦИИ )ГЛ. П 0 Мг, М-= () Ж- 1=-1, 2 ..„8 г=п 2,..., З Легко видеть далее, что множества М; не имеют внутренних общих точек . Например, вп ут р енине точки из ЛХ8 уДОВлетВоряют услоВиям ф1а ) фгак~ фза ( фзак ф1« ) ) Ч'1»к фзк ( Ч)2»к а ТОЧКИ ЛХ1 . фга ( фгак фгк ) ) фгкк фга < фг к, фз„( грз„к, зги множества лишь соприкасаются по дуге $'~~) Пг кривой )рга а» фгак Тан )не обстоит дело с остальными подмножествами М) ()д)).
Каждое из них, очевидно, будет связным, односвязным множеством в Р (Р ). Таким образом, кривые 1Р; = ф)а«~ ф)к = ф)кк раЗбИВаЮт МНОжЕСтВО дОПуСтИМЫХ точен в Ра (Р„), соответствующих орбитам, достигающим обеих границ кольца, па восемь подмножеств Л|1, причем М, = (Р.п): М, =(Р.п): М, =(Р'": хХ (уй). 1Р)а ~~ ф1ак фг»Р фг»к) )Рг» (Чгг к )'» ()'ппп)2 фг» ( Ч)1»к, (ЗЛО) Ч)га ( Ч)гак~ фз» ~ 1фз»к) фга ( Ч)гак фга ) фгак за (зпгах) а остальные множества ЛХ), г = 5 — 8, получаются, если сменить знаки неравенств, связывающих углы ф)1, фгг« в определении множеств ЛХ; 8, на обратные.
РаССМОтриМ СЛуЧаИ й'~'„' = О ИЛИ Р)х„' =- О, )г)К ' а О. хд1) Пусть "„„= О, г „= гпп,. Кривые П,П, и П2П, сли- обРазом: сДвигаемсЯ из зг„по линии фга = ф, к До точки (1) (1) а Р'„, в неи Ф1 ~ )Фгкг 1Р2» ( фхак~ фгк ~ >Ч)гкк Чз» ( ( ф,кк, СОГЛаСНО (3.7), даЛЕŠ— ПО ЛИНИИ ф,а = фз дО данной точки Г'), в ней Ф, з Ф, фг ) фгк, фзк ( ( фх фг )~ фг„. Следовательно, фг„~ )фгк„фзп ( ( фз к, т.
е. М, 6= М,ы. Аналогично получаем, что ЛХа 6= ЛХ„,. Далее, из условий ЛХ„Ы = Ма П М„„ЛХа = — М128 0 Мз () Мззг 0 ЛХ81 Мгзз Г) Мззг = Мг Мз () (1 г 281 = рк', Мззг () М)81 =- Мг Мз () Мззг = Мз следхйет, что ЛХ2„=. ЛХ, () М, () Мз.
Аналогично, Мззз = = Мз () ЛХз 0 ЛХ8 -РХ128 = ЛХ1 () Мз () Мз Мззг = ЛХз () Мз () ЛХ,. Следовательно, ПЛОСКОСТЬ СКОРОСТИИ 167 ваются с осью $'з в Ро, с кривой Л„в Р„. Поэтому множества ЛХ; (М;), 1 = 1 — 4,8, сливаются с дугой Л„, остаются невырожденными множества М,, ЛХ,, ЛХ, (рве. 2.32, 2.33).
Если )г„к —— О, г„„= гжзз, то ПзПз п ПзП„сливаются с осью зг, в Р„, с кривой Л„в Р„. Множества М„ Рис. 2.33. ',Подмножества Яз в плоскости" Р„нрв г„„= гжо. Рис. 2. 32. Подмножества М, в плоскости Р„' прн г,„= гж1о. г„щ) Рис. 2.34. Подмножества Мз в Рис. 2.35. Подмножества Яз в плоскости Р прн г = г .
плоскости Р про г . = г 1 = 2 — б, сливаются с дугой Л, остаются множества М,, М„ЛХ, (рис. 2.34, 2.35). До сих пор построения множеств М; (ЛХ;) проводплнсь для случая, когда исходные орбиты достигают обоих предельных расстояний г ж, гж,„.. В противном случае можно использовать лишь одну плоскость скоростей, пзс входы пеи своводнои оеивнтхции ргл. и сиз Р или Р .
Пусть, например, как и прежде, фиксирована орбита Т„тииа 1сс. Тогда, если г„с ( г,„;и, г к ( г,„„., то обе орбиты псресессасот границу уч их можно характеризовать точилин в Ра. В плоскости Ра множество иачальиь«точек (г ., гткс) разбивается прямыми Рс„'г!', Р и сг„. Па трп погсмпожества: гп 17з — (1~ ~ ср' ( ср'с к га ( гспкс) (1'' й Рса ( Рсак Рпа а Рпак~ а ( ~п1пк) ЛГ,, =(1'Я: ср„) ср,ак, га(с ), примыкающп:с к соответствующим подмножествам ЛХс, рассмотренным вьппе, си.
рис. 2.25, 2.27. Аналогично, осли г сс,а гтпи гак ( кп„к, то построения можно провести в плоскости Р„, си. рис. 2.26, 2.28. Получаем подмножества сРс, 'Рс г гт и), ,л» с ргсм. Мг = (1 С ~ срссс ( срс к срак ( српкк с к )~ гпип) Л и — — (Р ° српп 1~ српак гк ~ 1гтсп) если )гс ) О, или, если Ус ( О, множества дсь с' = 5, 6, 7, которые иолучасотся из Лт;, сменой знаков неравенств, связывающих углы ср;,„ср;аз в определении Я; с, па обрат. иыс. Мсисжества ЛХ„ЛТ„ссепусты, если прямые ГспП: и Е',„Г!с пересекают обе ветви гиперболы Л = (гспд гк = гпк„). 3.6. Другссе способы построения множеств М,, 7' = 1,3,5,7 Покажем теперь, что множества ЛХ; (Ят), 1' = 1, 3, 5, 7, моркно образовать иначе, чем принято выше.
Множество Лус (Яс) получим следующим образом. Р)з точки Х'Ск" (сгскм) сдвигаемся по лсспни ср„„= срсасс (прямой в Ра) от фокуса У',„до ос которой точки ргаа, в неи Ф, ) Ф„„ср,„= = ср„„к, ср, -. ср,„,„см. рис. 2.29. От этой точки движемся по линии срсп == ср„(прямой в Рк) опять в сторону возрастания Ф, (при удовлетворении условий гп ( гтс„, 1з1 нлоскОсть сконостзй !69 за ч зшах) ° ~т «) Г)~т срто ( 'ры ° 1~ни Видно, получим точки нз М, (Мт). 11 обратно, если точка 1ч'>;=. М„ то в нее из У„можно попасть, следуя вдоль такой трнек- 11) торин.
Оба способа, следовательно, эквивалентны. Аналогично, множества Мп 1' = 3, 5, 7, можно получить, сдвигаясь из конечной точки сначала вдоль пзолитпш и и, И ='тзпх та = 1тзох Рнс. 2.36. Различные траекторпп перехода пз точок пноткестн М; (З = 1, 3, 5, 7) н фпкснронапную конечную точку У~~~ плоскостл Р„.
%„= тренк, до точки Уее, затем — вдоль изолнвнн трнк = Фк. Обратна направление перемещения точки в фазовой плоскости Р„ (Р„), получим фазоныс траектории перемещения нз точек множеств М; (Йг), 1' = 1, 3, 5, 7, в заданную конечную точку У~~' (У~„"). Из существования двух способов построения зтах мнозксств Мн следует наличие двух траекторий перехода из точек Ун) Е=. Ит в точку У~к'~.
Одна траектория: сначала точка движется по прямой (в Р„) ср;„= сопзь до точки 1"„пересечения с линией затем — по атой линни (прямой в Р ) до конечной точки У„. Эта траектория соответствует двухимпульсному переходу ментду орбитамп тнпа 1т'н 1Ча, н котором первый импульс (его фазовая трнскторня н Є— отрезок Рчир'~п) сообщается при г =- гоно, а второй импульс (Р~з'Ук"' е= Р„) — прп г = го„,. Другая траектория: по прямой (в Р„) ~рз = сонат точка движется до точки Уее пересечении с линией тр;„= ~рахн, затем по ней (прямой в Р„) до точки У„.
Здесь имеем тоже днухнмпульсный переход (типа 1чб 1чб), но первый импульс Рчз>Г„'," 170 ПЕРЕХОДЫ ПРИ СВОБОДНОИ ОРИЕНТАЦИИ (ГЛ. Гюа . ВТОРОИ ИинуЛЬС )Г„„>' к ПРИ (1) (1) 2.37, здесь Г<1> = Хг(1>, и (т> = — Рта>). в ' и Определим величины Ф".", Ф'. при заданных точках Х'к(ср>„„, = Чьи гр>„„), гг (гр>„, ср> ). Из (3.6) СЛЕДУЕТ ДЛЯ ТОЧЕК Р в, >ГЕ: сообщается при г = = >ю>с (рис. 2.36, 7м Йаг- еа соз Ч и соз >р1ак = ек Лга (1 — ее,) Ф> отсюда получаем ек Лг . (1 — г~) Ф' = ' (З.И) са соз Ч~га сое Чч„и Аналогично, ек Лга1ах (1 — еа) еа сое Ч>ми соа 0~1 В частности, Ф;, Ф;„, Ф,", Ф".' связаны соотношением 1 1 1 1 — + — -= + <Э" Ф" Ф Ф> В этих формулах Ф, )~ (Ф„Ф, ) )~ Фпе если Ф, ( (Ф„Ф,*) ( Ф>ю если Фа((Ф„Ф.,) (Фаю если Ф, ) (Ф.„Ф,) ) Ф„„если 1=1, 1=1, 1= 2, (ЗЛЗ) Указанные две фазовые траектории, приводящие из точки гга в одну и ту ясе точку Х'и б:— М>ч ) = 1, 3, 5, 7, образуют границу кривого четырехугольника, целиком лежащего в этом множестве Мт, см.
рис. 2.36, 2.37. В плоскости (Ч>>„, >р> ) ему соответствует прямоугольник (гр>„„— сР>,„, сР; „— >Р>„а), см. Рис. 2.30, 2.31. ТепеРь легко получить и другие способы построения этих подмножеств Рис. 2.37. Различные траекторни перехода на точек множеств М, (1 = 1, 3, 5, 7) в фиксированную точку Г~~> в плоскости Р . уг Е— : М1, Рг Е= Ма а 6=Ма Р'П5= М,. ПЛОСКОСТЬ СКОРОСТЕЙ 171 Мп Х = 1, 3, 5, 7. Очевидно, любая фазовая траектория, состоящая из отрезков кривых ф;„= совз$ и ф;„= сопз1, такая, что знак изменения расстояния Ф> на ней постоянен, приводит в ЛХ; в соответствии с (3.13). В плоскости (ф>„ф>„) такая траектория предстает многоступенчатой «лесенкой». По всем отрезкам ф;„= совзс точка движется в некотором постоянном направлении (вверх, ф; ) О, если Г>1> Е= М, () М или вниз, ф>в ( О, если Р71> ~ б= М» () ЛХ,).
На отрезках ф;- = сопзь точка также движется в фиксированном направлении (вправо, ф;„) О, если Г>1> >== М, Ц ЛХ„влево, ф>„( О, если Р'>1»== ЛХ, () () М»), см. рис. 2.30, 2.31. И обратно, в любую точку Г>1> Е ЛХП )Е (1, 3, 5, 7), можно прийти из р'~,'> по произвольной (до точки пересечения с границей указанного выше кривого четырехугольника) траектории такого типа. Эти траектории сплошь заполняют четырехугольник Ркг Р Р ЕР (Р г Р Р >==7> ) Далее, рассмотрим фазовую траекторию, удовлетворяющую почти всюду системе с управлением в форме скользящего режима: >=1 к>(р>»51»+ Я>т»>), Нм >=1 7<»)О, 7>1>+7>»>=1.
Здесь имеется два базовых управления. Они соответствуют сообщению тяги при г =- г, = »,„„и г = >» =- г„„„.. Если взять в качестве базовых единичных векторов вдоль тяги векторы (где 1, е постоянны на траектории) и в качестве функций ую — любые допустимые измеримые функции, то получим опять траекторию в некотором множестве М» где ПЕРЕХОДЫ ПРИ СВОБОДНОЙ ОРИЕНТАЦИИ 1ГЛ и 17С 5 7) Действительно, вдоль траектории будет !'С= ( «ТГа С~ Ф (ГГ Иг "тГ. =гРга=а„г7 гРга=7 — Р,, па ~~ гГг!гг гга,.„ггг пг гп 'Р, г1 —,'=ры=-Хт гЬ=т юа ' ггаг г='г га 3 и пропгводшас сохраняют вдоль траектории знаки, ,ггг ) () г == соггз1, ет =- сопв1, а знаки величин гкФг г7гр,.„ггг1Ф,а гг силу (3.7) постоянны.
Позтоиу = е. == — 1, Ггг~ с=- г1гг. Аналоги ггго, гР,„( О, ф, .> О, если Гггг ~аа 11г г. Ва --- — ьг. = 1, и ) г ' Е= Мз, ет = — ег;. = — 1. Естгг ТЯ (и) — кусочно-постоянные функции со зв»- ченпями (О, 1), то траектории состоят пз отрезков гр,а= соггз~ и грг„.=- соизс. Ооратив движение по траекториям (3.14), получич траектории, переводящие точки из множеств Мг, 7 =- 1, 3, 5, 7, в фиксированную конечную точку. Они удовлетворяют той же системе с прежними базовыми управлениями, лишь параметр вк меняет знак па обратный. Например, при движопни нз точки Г"г Е= гага в конечную точку Г,';О будет ст = зк = — 1. Заметим, что для всего множества данных траекторий перехода между фиксированными начальной и конечной точками изменение аргумента иг одно и то же: ва (Фгаа Фган) так как для соответствующего управления ~Ггггг„гГгггг„ ам '" = — '" = Р„= +-1. 1 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
