Ивашкин В.В. Оптимизация космических маневров (1975) (1246627), страница 27
Текст из файла (страница 27)
1: В = (д — Ь)(е, 1+е П= — —,(р+(1+с) Ц, гз и причем е = е„, г = геа, Ь = ты На дуге М„я„при до ~(б ( 2я должно быть и (б) ~( шахи, (9) =- 1, к, (2я) = — 1. в 4.2. Оптимальные траектории, начинающиеся с внутренней границы Ч здесь Б — сумма импульсов перехода Т, — ~ Т„. Весь переход полностью определяется заданием первого импульса йУ, (Л)ге, ЛУз) или элементов орбиты Тз (г„з, г„з), Сначала рассмотрим оптимальный переход типа 11 1. Общая структура такого перехода будет следующей. После сообщения в начальной точке М„первого импульса ЛУт получается орбита Т, типа 11, для которой г„з ~( гшш. В ее апоцентре аз прикладывается второй, апсидальный импульс ЛУз, увеличивающий г„до г ио Далее осуществляется оптимальный двух- или трехимпульсный переход типа 1 1, с полученной орбиты Т, (г„= гааз гоз = газ) на орбиту Т„(рис.
2.47). Суммарная характеристическая скорость перехода будет равна шк = ЛУт + (У„, — Уез) + ю, (4.14) ПЕРЕХОДЫ ПРИ СВОБОДНОЙ ОРИЕНТАЦИИ [ГЛ. пх„= п2„(г„а, г«2). Поэтому оптимизация перехода сш дится к минимизации функции пхн (гн„г«2).
Зафиксируем сначала апоцентрическое расстояние г„, переходной орбиты Т2 н определим начальный импульс харг„миниап1 зирующий пхн. Затем определим оптимальное значение г„,. г -опт им из ац и я. Па дуге ЛХ„аа переходной орбиты будет к,(1И ) =- 1, кх(аа) = 1(1, = г1«ха г, = 1«2),в остальных точках будет к, <" 1. Тогда из общей теории з 1 следует, что пипия действия начального импульса в плоскости скоростей проходит через точку г', лежащую на оси $'1: Ихг = евах (2)2трlгхга (1'1 + га) )' '.
Из (3.4) видно, что эта точка— один иэ фокусов эллипса В„== = (Р; 1а = Гаа) 1-= Ра, СООТВЕТ- ствующего орбитам с апоцентрическим расстоянием га,. Получим непосредственно этот результат, заодно — и параметры е«, ег. Рпо. 2.47. Схема пеРехода В фУнкдионале п1н от пеРе- типа 11 1, менной 1.„2 зависит лишь состав- ляющая пх, = Л)гх — !1„2. для общности и использования в других типах переходов рассмотрим функцию пх1 1-11 1 + е2! «2~ е2 = х 11 в переходе 1! ! будет еа = — 1.
Преобразуем выран<ение для и„используя построения в плоскости скоростей Р«; "пни п21 — — )гн)га + ех)г12 — = )гн)га + еае«)гх„ Га2 е = гнпп/г„а — эксЦентРиситет эллипса 21„. Из свойств эллипса следует Е«~12 ~1«!2 П« - — х'2«)2+Па где хг1„(1 = 1, 2) — левый и правый фокусы эллипса Да, О« — ЕГО бОЛЬШаЯ ПОЛУОСЬ, Оа = (2Дтр!Гни« (1 + Еа)]'-. Поэтому пх (Иг) = ! н)га + еа (2'11 !'2 Оа) ! н! 2+ е2( — 1'2«~ 2+ Оа) ° 1) СЛУЧАИ, КОГДА ОДНА ИЗ ОРБИТ ЛЕЖИТ В КОЛЬЦЕ 185 Пусть з, = — 1. Тогда, если г н ( г „то начальная тОЧКа Р'н ЛЕЖИТ ВНУТРИ ЭЛЛИПСа Л„, СУЩЕСтВУЕт ПРЯМаЯ, ПрОХОдящая ЧЕРЕЗ й н И лг1„, ПЕрЕСЕКаЮщая Й„В ТОЧКЕ Х'2.
Имеем и'1 = ра~а г1а~ 2+ пав 11а (~ 1аР2 ) н~ 2) ~~ Оа ~1а~ н~ так как Е1а~ 2 рн~ 2 ( Х1а) н ° Этот минимум реализуется при Га == 1га, при сообщении Рис. 2.48. Оптимальное сообщение граничного импульса в плоско- сти Р< прн ган)н) ( г 2 121). импульса вдоль прямой, проходящей через фокус и точку 1гн (рис. 2.48): е = ег — --1, оа (1 — са) М 1= " — Е1а) н. 1 — г соз 1р ЕСЛИ Гаа (Г„н (ааа ) 2 н ПРИ Ен ( 0), тО НаЧаЛЬНаЯ тОЧ- ка 1гн леекит вне эллипса Л„(рис.
2.49). Берем и1, в виде н1 — )н)2 ) ~2а)2 Оа ° Так как г аа(га + )' 2)' н ~~г аа) н п1ГИ и'1 = Е2а) н Оа1 этот минимум достигается прп сообщении импульса по направлению к фокусу Х'2„: за аа — зк = — 1, ОЕ1 = Еа„)'„— Оа (1 — е„')!(1 — е„соз ср). 186 пегеходы пРИ СВОБОДНОЙ ориентации 1гл, ц Аналогично легко показать, что при ег = 1 в случае г „( ( наг будет е„= ен = 1, в случае ган ) наг =ен= 1 см. рис. 2.48, 2.49. Объединим результаты. Минимум функции равен щ1 = ( — г ) ~' + О ) з)бп (аа — гаг), (4.15) при этом ) с„(1 — ег) Т = е~ '" ", сг)'т = е» ~ " — Р)а'т'н, (4.19) У«р ' »11+аае сон ~р ее = Р— = з)Кп (ган — гад| ен = ег~).
(4.17) 3 а и е ч а и и е. Если рассматривается граничный импульс, сообщаемый в конце движения (в переходах Рис. 2.49. Оптимальное сообщение граничного импульса в плоскости Ра прп аан(а) < ааг(м)' типа 1 11 и др.), то, очевидно, его характеристики определятся, как и в рассмотренных случаях, лишь в формулах (4.15) — (4.17) надо сменить начальную скорость Гн на конечную Х"н, орбиты Тн, Т, — на Т„, Ти, индексы «н», «2» — на «к», «Х», направление импульса — на обратное.
) И случли, кОГдА ОднА из ОРБит лвхтит В кОльцг )я7 Определение оптимальной велич и н ы г„п. Используя полученное выражение для и, и результаты оптимизации перехода 1 1 (для определения составляющей ш в (4.14)), рассмотрим функцию и2н (2„,). Если гпп(г„к (и оптимальный двухимпулъсный переход Тз — т. Тк имеет вЦД У вЂ” »- ак) или оптимальным пеРехоДом Т, — +- Т„будет трехимпульсный вида у — л- à — ~ лк, то П> (Гны = $'лп — )Г„п (Г„п) + СОПБЬ, птк (га2) = (3п 2а) н т )3па + ) ап ) лп + сопев = = — (3Р22)гн + о„(8 + е„— 1) -,'- сопЯ1, (4.18) «Ье ~ (лапа) по в„= —" = (1+ рзгсояор) " " + ()3 — 1) — ", (4.19) оеа Ыел а причем ~~та) н ~ (е» ее. = — ЯР СОЯ ЕР и, СОЯ ЕР пеа = е„соя ер =- соя ерема, ГГ2(3+е„) ' $' 'пип И (еаза) я па = — )ГоД' 2(1+ е„) ~'( О.
(4.21) Если лте г„з) г„к и оптимальным переходом Тп — т- Тк будет двухимпульсный вида ае — л. Пк, то п2 = ()Гае )гаа) + ()Гпе ) к) п2к = — ()РгпХн + )тол + ()гае + )г е) )' пк Е )плел) Лпп ,К й„=)3ЗР "" СОятр+ )3 — „" + — ()Гл, + )Гл,). оеа а л (4.22) (4.23) Пусть сначала ГШ2п ~( гп2 ~( ш)п (ган2 Гак) зк = 1. 'Тогда из (4.19) — (4.21) видно, что юк ) О (гап)опт > н шщ (Ган, Гак). Пусть пт)п (Ган| Гак) ~( Га2 ьп шах (Гпп г,к). Если г.н ( Гак 'го )3 =- 111 = 1 яг = 1' Из (4'19) (4.21) следует, что 2пк ) О.
Если г„к г„н, то р = — 1, 1 = 2, зн = 1. В случае, когда переход Т, -~ Тк — трех- импульсный, п2ю пт„' определяются по (4.18), (4.19), 188 ПЕРЕХОДЫ ПРИ СВОБОДНОЙ ОРИЕНтАциИ 1гл. и будет ш„' ) О,как и при У,х(гп(п (У„н, У„к), Пусть шк, и' определяются по (4.22), (4.23). Так как ххах + ххко = $' 2 )Уо )~ еа+ ек,<, екк = упнп ! уак ( 1 то 1 — (2+ еа) ооо <р шкапе'о =-,— ", + (2(еа+ е, к)) ') Е (1 , .а) * > (2 + еа)(1 — соз <р)<<'р' 2 (1 + еа) " ) О. ПОЭТОМУ (уао)опх )~ Птах (уан уак).
Пусть <пах (уан уак) ( уах ( умах зо = '<о = 1 =- БР (4.24) Если переход Т, — ~- Тк — трехнмпульспый, то шк ) О, (Уа,),„, = <м„х, весь пеРехоД Т„вЂ” ~- Тк становитсЯ тРехимпульспым ̄— к à — э- як. Пусть переход То х Тк двух импУльсный аоо,— ~- пк. В этом слУчае весь пеРеход Тн -о- Тп будет трехимпульсньп< Мн-о- оо — нк, з, =- — БР= 1, справедливо (4.22), (4.23): шк = Ь'ха)Ун + Оа + )Уо )~ 2 (еа + е, к) тх к, (4 ° 25) шнД'2<Уо — —,, " + 1+С(2+е„) (1+ еа) )/ екк+ еа )<~н+ еаоа С = соз <р = Ха н В отличие от других случаев, теперь возможна стационарная точка, в которой ш„' = О, Г (1 + а)Ч' соз <р = С* Ив и ~ в " , — 1 /(2 + еа), ~ ( а+ „к) '* причем должно быть еа ( С* ( 1, е„( е,к.
Рассмотрим, при каких значениях параметров еа, ео,< возможны стационарные точки. Пусть фиксировано е . При максимальном значении епк = е,„,х величина С* будет минимальна, равна е„, Са (е. = е <ппх) = е,„; отсюда е. <пах (еа) = — (1 — еа) еа. (4.26) $ АЕ СЛУЧАЙ, КОГДА ОДНА ИЗ ОРБИТ ЛЕЖИТ В КОЛЬЦЕ 189 С увеличением еа величина еа,„„монотонно уменьшается. Из условия еа„,,„ ) еа определяется диапазон по е„: о а ( е»мах еаоы" (еа = с»~пах) = »1вах (ч 27) у'з — ~ е...;„= '2 (= 0,365). При е„. еам»т.
еаи) е»,о„х будет пе, (О. минимум ии (га) ИМЕЕТ МЕСТО ПРП Га = ШаХ ()а„, >а„). е ,(С Рлс. 2.60, Мпо>нество АВСВ стационарных точен в плоскости (е„, е „), Минимальные значения е„и соответствуют условиям С* ( 1, е„( еаю Поэтому ограничению С* ( 1 соответствует условие е»„) еаы причем 1 — 6еа — Зет е„т= 0 (еа (еа (3+ е„)а е „, (е„= е„) = е„, е„= 4 соз 40' — 3 = 0,064. Поэтому е»м О ( е„ ( е„ (С = 1), евина= . (4.28) еа еа (еа (е» евах.
ПРи е„„( е„, (О ( еа ( е„) бУдет Са ) 1, ш„) О, оптимальным будет трехимпульсный переход ЛХв -и Г -е- пв, (г,л)„= г„„х. На множестве А ВСР (рпс. 2.50) е» ви„(еа) ( ( е н ( е мах (е„), функция ин (е„) имеет стационарные точки. 190 ПЕРЕХОДЫ ПРИ СВОБОДНОЙ ОРИЕНТАЦИИ 1ГЛ. П Рассмотригх вторую производную в стационарных точках: Ехак )ео ~ (С+ (2+ еа) С ) (1+" ) 3(1+С(2+на))/2 (1 + еа) Ь 21»«Ч Е(е о ) С' = е(соя фе(е„= — з„ 2« н а Оценим максимум ю„по Р;„$"» (при фиксированных еа, Е„, СОЭ Чг). ОН ИМЕЕТ МЕСТО, КОГДа Реа)Е» МИНИМаЛЬНО, т. Е. Ио ) н ~ Ва — () ° 㫠— га2)1 ~к /)/2 ( тогах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
