Ивашкин В.В. Оптимизация космических маневров (1975) (1246627), страница 29
Текст из файла (страница 29)
1'.ели при переходе, кроме граничных, сообщается лини одпп апсидальный импульс, то переход будет, вообще говоря. трохимиульсным вида (5.4) оп — Пв -о- Л'в. в начальной точке 1)Хп сообщается первый пчиу:п,с Л('м далее КА ио промежуточной орбите 7'с движется и оо игрицентр пт, где сообщается второй, аигпдпльиый импульс ЛР,, затем по переходной орбите То — и коночную точку М„, где сообщается последний импульс \Гт (рис. 2.Я). 198 ггвгвходы пгп своводноп огпгнтапип игл.
Сумма величин импульсов будот равна гпг — — ез1 зз + Л!'г, и'г = Л1' з -,'— ззГзз (5.5) Здесь коэффициенты е,„ез удовлетворяют условиям ег = ез Л 1 зз1 зг ~ ег1 пз =- Л1 з ~ О (бгд)) Если Л1', = О, то получаем рассгготреннуго выше двухпчпульспую реализацию одпопппульсного перехода (5.1)— (5. 3) . Пусть Л)гз > О. !,п7) Тогдв при заданной величине г „перпцентрического рассто~зг яния орбит Т, и Т, оптимальные импульсы ЛГг и Л1 з минимизируют функции гг„ в и они определяются в соответствии с результатами и. 4.1, по формулам (4.3) — (4.5) (с учетолг замечаний к ним). При этом величины е,, е, надо Рис. 2.61.
Трехвмпульснмй выбрать из двух возможных переход (впда ггза т Ма) вариантов (5.6) так, чтобы бымежду орбптамп типа РП прп ло выполнено условие (5.7). гзз = Оп!и Если же в обоих вариантах задания е„ез после минимизации функций иг„и~з получается Л1гз ~( О, то переход (5А) при условии (5.7) не может быть оптимальным при данном значении г„необходимо рассмотреть случай Л)гз = О, получим прежпюго одпоимпульспую схему.
Дадим аналитическое услоппе существования решения (5.4), (5.7). Пусть сначала е, =- — е, ==- 1. Импульсы ЛР'и Лзгз лгинимизпруют функции и, (г„з) =- Луг + Гаг. и, (г„,) = Л)'з — Ргмп Если 1',з, (,з — трансверсальньп', компоненты скоростей з'з, Х'з после сообщения оптимального импульса ЛГг н до сообщения оптимального импульса ЛГз, то, в силу условия Гзг .> 1'зз, для оптимальных решений будет 'шзт жзз » З! СЛУЧАИ ОРБИТ, ПЕРЕСЕКАЮП!НХ ГРАН1ГПЫ КОЛЫ!А !ВВ В плоскости скоростей Р„. построенной при г =- г, «1 эти скоРости Äû соответствУ1от сообЩению импУльсов так, что линии их действия будут проходить через некоторые фокусы Р1„кривой Р, — -- (!'. г„= г„з).
Пусть Г1„!',з — компоненты скоростей Г, 1, соответствув1- щнх проведению импульсов через другие фокусы. ТогДа, в силУ свойств мннимУл«а фУнкЦнн Л!г -~ ЕГЕ, будет Уа ( рм, !11» ) У1» следовательно, оба решения !'„, Г1„соответствующие точке Гз, болыпе решений Г1», Г1», соответству«ощих точке Гк: Г1« ) !'11 ) !"1» ) Гм. В общем случае, если индексом «+» (« — ») снабдим величины, относящиеся к той точке Г„плн Г„, для которой в оптимальном решении (5.4). (5.7) будет е; = 1 (е; -= — 1), то должны вь«полпяться условия (5.8) !'1» ) Г ) Г1- ) Г1-.
Поэтому анализ области существования этого решения можно провести следующим образом. Получим для каждой точки Г„и Г„при заданной величине г„числа ! 1» (1'1~) ! и 'г«Р) 11з (г1~) )1з (гзл) (в скобках указаны фокусы, через которые проходят линии действия соответствующих импульсов). Далее сравниваем их.
Если 1пах (Г„(Г1 ), Гм (Рз„)) ( ппп (!'"ю (Р,„), Гы (Рз„)), (5.9) то зз =- — 1, е, .=- 1; если же шах (!1» (Р1») Г1» (Р«Р)) ( ш1п (Гы (Г1«) Гы (Г»„)) (5.10) то зз =. — 1, з, =. 1. Вслп пе выполняется пп одно нз условий (5.9), (5.10), то для данного значения г„, переход (5.4), (5.7) не может быть оптимальным. Дадим геометрическую илл1острацн»о условия (5.8) в плоскости скоростей Р,, Проведем чорез каждую граничну1о точку Гк и Г„п оба фокуса Рш гнперболы Н„= =- (Г: г„.=. г„) прямые.
Ояп выршкут пз ее ветви тг'„+ дуги 17„, А)„, см. рпс. 2.39. Левая точка каждой дуги соответствует сообщени1о пмпул1са прн ьыю == 1, правая— при зм„= — 1 (она может быть в бесконечности). Оптимальный переход может быть трехимпульсвым (5.4), 200 ПЕРЕХОДЫ ПРИ СВОБОДНОЙ ОРИЕНТАЦИИ (ГЛ. 11 ьк = Фз+ ()з) о~+ взФн+ язФк, здесь (1з = я(дв (т Фн = Р,нн(тн =— т„,), (3, = — я!дп (т„— т,„), [!", + ()т,н — вз()кено„)Ч'*, (!ттк + И',к — вз(1зе ок)з)чь Фк = Рзкн!'к = Для определения оптимальной величины г рассмотрим производнуа> от з.н по е„: йо„(он+ дз) + (2 + е„) (Рз ссз 1рн + Рз соз ~рк) т з' 2 (1 + е„) Д здесь 1р„= тренк, трк = тре„к — углы, образуемые векторами Ренн(;, и Рз н(т„с осью )то Пусть сначала т ) п1ах(т „, г н).
Тогда р, = рз — — 1. Возьмем, для определенности, случай я, = — я = 1, )тм ) ! ~з ~ ! тз ( ) ! тз начальному импульсу соответствует фокус Р,н, конечному — фокус Г,н, см. рис. 2.40, Зафиксировав точку зтз, сдвигаем точку !', Бо 7(~ до точки зт, = — 1тз (!',з, — )ттз), уменыпая ~ !'тз ~ до !'т„сов трн до сов рн": сов ср„< соя тр„. Так как (тз " ~тз я(н ~р, =,, (я1птр„= вследствие услення Р,н!'з — Рзн)тз =- 2о„) О, то будет соя трн ) ~ соя тр„" ( .-к — соя трн. (5.7), если проекции дуг 1тк и Атк на ось )т, не пересекаются.
Тогда для левой дуги и соответствующей граничной точки будет я = — 1, для правой я = 1 (для случая, изображенного на рис. 2.39, будет в, = — 1, яз = 1, Рм < < $13 Л!3 -- !.З )нн) ° Определяет топерь оптимальное значение расстояния г =- ттл па множество трехимпульсных переходов. Используя выражение для оптимальных значений ю„в„ для суммарной характеристической скорости получимфор- мулу 1 м слтчаи оэвит, пеРесекАющих ГРАницы кОльцА вя Поэтому соя ср„+ соя ср„) О, следовательно, ю„( О. Оптимальным на данном множестве будет минимальное значение гл = шах (~ „„, г„к). Пусть теперь г к ( гл ( г„„, тогда — (1» — — (а» = 1.
Если з» вЂ” — — е» = 1, то за]1» = е»Р» == — 1, линии действия импульсов проходят через фокус г',„. Если яа = — — — з,= = — 1, то импульсам соответствует фокус Г,„. Во всех случаях будет, вследствие условия (5.8), выполняться неравенство соя ср„ ) соя ф„. Отсюда вытекает, что ]]а соз 1~к + (1» соз Ч~к ) 0 и поэтому и„' < О, г,а т < глк. Остается рассмотреть множество гп и ( гл ( глк. В этом случае бп = ра = — 1, возможны стационарные точки, в которых ю„=- О. В них соя рк + соя фк = — 2!(2 + ел).
Импульсу, для которого з =- 1, соответствует фокус г'»„; если е = — 1, то фокусом будет точка г', (см. рис. 2.39). Опять будем обозначать соответствующие величины индексами «+» и « — », кроме того, Сц 1 = соя сРИ-> о = = я]п ~рц ь Тогда (5.11) запишется в форме С +С = — 2/(2+ел), (5.12) причем е ' < соя ф < е„!(2 + е ), — 1 ~( соя ср. Отсюда следует, что стационарные точки возможны при 0 < гл < г~паа)2 ел ) 2, В ПРОТИВНОМ СЛУЧаЕ бУДЕт йлкЫЕл ) О, Гл,„, = Глк.
ПО- кажем, что в стационарной точке, если она есть, функция вк (сл) принимает максимум. Тогда наименьшее значение функции будет на одном из концов отреака (г,п~п, ппп (гл„, г„к)], поэтому будет или глп, = шрп (гпю глк) = г,к. (513) Глаза = Глнп Вторая производная Рю„Ые~ = ю„" при условии (5.12) пгРГходы пги Гвогоднои ОРивнтации ргл. и 202 равна 2 (2+" Р ~Г гщ~~ гг2 (1 -)- е )Е' ~ Фа Зафиксируем углы 1рю Гр .
тогда это выражение максимально, когда величина Ф минимальна, а Ф вЂ” максимальна, т. е. когда г„„е = г,„=- гию В этом предельном слу чае будет 2 2+е Б. — —,2, )2 + 2 т, 3 „1) Ф (1 — е..с.)— — о'(1 — е-„С. )) Если учесть, кроме того, условие (5.12), то полу'пги что ю,", ( О, Отсюда следУет (5.
13) . В случае (г„)„„,=ппп(г» г„„) = г„„будет еъУз = общий переход (5.4) вырож дается в двухимпульс1И гй вида Ма — ~ и„, юн = ЛУ~ + ! Уев — Узз ~ г„„( гаю (5 14) первый импульс сообщается в начальной точке ЛХ„, воличина гл уменьшается до > „„, затем в общем перицептре п„переходной н конечнойорбнт сообщается второй, последний импульс (рис.
2.62). Сравним этот переход с одноимпульсным (5.1) — (5.3). В плоскости Р скоростей при г = г„„, построим гиперболу 11„= (У: г„== г„и) (рпс. 2.63). На ней лежит точка Уго определяющая киоинечную скорость. Правее 11'„— точки, определяющие скорости на начальной орбите: при Г, ( Π— начальную скорость 1 а1 случАЙ ОРБИТ, ПЕРКСЕКАГОШПх ГРАНИПы КОЛЬНА 203 Гв, при Г„) Π— конечную скоросп Га, которую будем обозначать здесь через Г!и = (Г,л ! Г. ~). Приведем через конечную точку Гв и оба фокуса ттлп прямые.
Дуга 0а здесь бУдет тонко!а. Множество допУстимых точек Г~м разбивается на три подмножества М;, 1 = 1, 2, 3: М1 =- (Г(гй лрт„) %па, гп > ' ), М' . (Г(г>., С „ Ма=(Г':срг. ~)сг - ' ~'. ). Если Г,",~ 1== М„то 1~п,. Г, (1лл ) ( Гм ()лг„), если же Г„' е= М;и то Г!г (глп) ( Гм (1'гп) ( Гп,. В этих случаях двухимпульсный переход (5.14) может быть оптимален, Рнс.
2.63. Области в плосностп Р„, соотвотствующло одно- и двух- нмпульспмм пм сходам тппа 11! 1
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
