Ивашкин В.В. Оптимизация космических маневров (1975) (1246627), страница 22
Текст из файла (страница 22)
= О, и)з =- О, к, (д =- л) — -- 1, ити = О, рз = — 1, Ли = О, и)з О, иии (О = 0) =— 150 ПКРКХОДЫ ПРИ ОНОКОДНОН 01'ПКНТАЦПН (РЛ. !! Прн з!п 6+ 0 на орбите Тз будет к, (О) < 1. Для конечной орбиты (и оскулирующих в конечной точке орбит) переменные будут теми же (с точностью до знака), что н в случае /зг = 2 для начальнгя! орбиты при р, = 1, Рз = — 1. Это получается после обращепая движения. Поэтому на з щгх б1'я~ т /гг к,(О)<1 прибфО. Рассмотрим точку сообщения нчпульса Л)»2, лежащую на внешней границе Г, Лрг < зг < Л)»! + г))»2.
В щей точке Р = 1, 2 = О, 2) = О, Сопря!кгп ная переменная е (!) будет разрывна: е+= ь +а(!2), с- 2гпгах Условнез! оптимальности будет выполнение неравенства (2.15) $+ )~ $ или )'а — )'„(2 + гй ) О. Если зто условие выразить через зксцентрисптсты г, гз. то полу- чим, что должно быть сз < е* (ез), причем гг ) г„, алесь е* удовлетворяет уравнению (2.13). Выразим условие (2.15) через расстояния г „, г„а, г,чаю Обозначим Р, = г и!»пм,. Рз -= = "-.„/гпыч (О < Р! < 1, 0 < Р; < 1). Тогда получим углозпс Ьз(р,) 1 — 52(рг) Нз рис, 2.20 приведена зависимость р (Рг). Если Рг < Рз (Рг), то будет, следовательно, гУ = 2, тая как условие (2.15) нарушается.
Рпс. 2.20. Зависимость критического значения р' параметра р, = г,„/ /гю , соотпетстВУ1ощсго нулевой мере о (12), от параметра р, = г „/г,„ здесь о (12) ) 0 — мера, сосредоточен иая в данной точке. Из (З.З4) гл. (2.12), (2.14) получим Кз [(газ/1 г'2) !- Вз[ юах (2+ ), 2»гааз [(Вз/1 — гз]+ Вз) =- гост !» аз >;>2 пнгнходы пеи своводнон оеиннтлцин >гл.
и 1 з. плоскость ско!чьстгй Ниже для анализа и геометрического представления результатов оптимизации будет часто использоваться плоскость скоростей Р. Пусть рассматривается плоское движение КА, причем выбрано положительное напранлоние вращения вокруг центра О. В соответствии с зтии в на>идой точке г можно выбрать иоложителыюе направление трансеер- Ч сали еа (рис. 2.22). Тогда, если двиг жепнепо орбите осуществляется в положительном направлении, то трансверсальпая компонента скорости будет положительной: $'> .= (1г,к') ) ) О, Ь =- гР'> ) О, н противном случае Ь < О, $'> < О. Для движения вдоль радиуса-вектора Л = О, >г> = О. Плоскостью скоростей Р буден о называть плоскость, координатами точки в которой является трансворис.
' ., 'рансеерсальиак и радиальная сальная >г> и радиальная !г, коя>покомионсктм вектора кенты скорости рг КА, соответству>оскорости. щие заданному радиусу-вектору или заданному расстоянию г от центра тяготения. Точку в атой плоскости будем обозначать так же, как и соответствующий вектор скорости Х'. 1'ассмотрим некоторые свойства плоскости скоростей Р, нужные для дальнейшего.
3.1 Кривая т„= сопя! Геок>етрнческим а>естол> точек в плоскости Р, соответствующих орбитам с заданным г>ернцептрическнм расстоянием гк (О < гл < г), является гипербола Лк !11! (рис. 2.23): >с с $2 — — — = — 1, т а а ! а! плоскость скогостеи Ее эксцоитриситет равен е„, фокусы — левый Еа„и пра вый г'„— лежат ин оси )г„нв расстоянии 2нсв ! . -, г зр„п с " ~ и (г.)-с) ~ г Г+с (3.2) а асимпто- от начала координат.
Если ср„— угол наклон ты к трансверсали, то соз — ! Ч фас=с, = г !г. Правая ветвь гиперболы В~ (е', ) О) соответствует прямому движению по орбите, левая В„, — обратному. На рис. 2.23 ОВ = = (рср/г) 1с Параметр на гиперболе В„ можно ввести по-разному. Моясио, например, взять расстояние Ф;„— г'1„!г точки р до фокуса .с'1, (для краткости расстояние Ф;„часто будем обозначать через Ф;) или угол ер;„между вектором г'1„Р и осью )гы нли угол Фп, определяющий (при г„) О) следующим обра непты скорости КЛ: )г! = п„зес Ф„, )гс = т„!а Ф„ Рпс. 2.23. Кривая в плоскости скоростей, представляющая орбиты с постоянной величиной г .
зом компо- для прямого движения — н!2 < Фп < я/2. Точкам в плоскости Р, лежащим между ветвями гиперболы В„()г! <и'„(1+ Р;!т'„)), соответствуют орбиты с меньшие! перицентрическим расстоянием, чем на В„. В остальной части плоскости ()г! ) па (1 + Р;~!т~)) перицентрическое расстояние больше заданного иа В . При г„— ~0 гипербола в пределе сливается с осью О)гс, при етом оп -е- О, тк — е- оо, ОГ1„— ~- оо.
Если г„- то гипербола В„вырождается в два луча на оси ОЕ„ уходящих нз точек (-!- ()гсс!г)"-, О) в бесконечность, Ог!я =- а„— ()гсг/г)'ь, та —. О. При уменьшении гя от г до нуля семейство непересекающихся кривых Вв сплошь пзркходы при своводнои оривнтлпнн <гл. и ааполняет плоскость Р, причем точки внутря круга (2)х„р/г)ч соответствуют эллиптическому движению, а вне его — гиперболическому (этот круг показан штриховой линией на рнс. 2.23). 3.2 Кривая т = сопИ Геометрическим местом точек в плоскости скоростей, соответствующих орбитам с фиксированным апоцентрпческим расстоянием г„, при г ( г„( со является эллипс й„(11] (рис.
2.24): (Ъ'с/с„) + ()г,/т„) =- 1, ! т„= ( — '" " ) = ( — "2(1 — е„)) Зксцентриситет эллипса равен е„, большая полуось о„ расположена на осп 0(г„малая т„— на оси 0)г, Фоку сы — левый г'„, и правый 1'".„, — лежат на оси Ойм на расстоянии ОР;,: (3.4) от начала координат, причем Ог';„( )г~~„р/г ( о„. Параметром на кривой Л„можно взять расстоянш* Ф;„= Р;„)" точки г' до фокуса хг;„(это расстояние будем часто обозначать для краткости через Ф;) или угол <~;,„. образуемый вектором г';„'г' с осью 0$"и или угол Ф,, определяющий компоненты скорости следующим образом: $; =- о, соз Ф,„, Р„= т„з1п Ф„ причем для прямого движения — н/2 ( Ф„( н!2, Точкам.
лежащим внутри эллипса Н„. (К: г, .= г „). соответствуют орбиты с меньшим апоцентрическнм расстоннием, чем данное для тт„, Вне эллипса величичина з„=- г„' меньше заданной на )1„. Если г„= г, то эллипс вырождается в отрезок прямой между точкамн а з1 пх[оскость скОРОстви 155 Рис. 2.24. Крппая в плоскости скоростей, изображающая орбиты С ПОС1ОЯИИОИ ПЕППЧИИОИ > а, тп приведены в (3.1). 1!оверхпостью г„.-. Сопз~ при г„) г будет эллипсоид вращения Г,-'. — Р-' Г, г Сз тй а„, та указаны в (3 3). (~ (ртр!г)'*, О). Для параболического движения (г = оо, Е = О) эллипс Л„становится кругом радиуса (211тр!г)' (на рис.
2.24 он дан штрихом). Начало координат характеризует орбиту, для которой скорость в данной точке па расстоянии г, равна нулю, г„ :=- О, г„ =-. г. Для полноты изложения укажем, что при г„( О кривые второго порядка Л„= (!г: г„—. Совет) заполняют сплошь часть плоскости Л, лежащую вне круга 7, (1г: Замечание. Если у рассматривается прострап- е ствевноедвижение,то можно ввести пространство б ! скоростей ((г„, (г1, Рь), где ,а д 0(г„0(г!. — каким-либо ! я г е 0 г! НЯ ! образом выбранные взапм! / но ортогопальпые направления в плоскости, перпендикулярпой радиусу- вектору.
Например, если имеется некоторая опорная траектория, проходящая через данную точку, то за оси ОР'ы 01'ь можно взять трансверсаль в бинормаль, соответствующие этой траектории. Тогда геометрическим местом точек, для которых г„=- сопз1 и г„=. Сонэ!, будут поверхности, образованные вращением соответствующих рассмотренных вьппе кривы'. в плоскости ()г„, (г! вокРУг оси 01'„).
ПовеРхностью га -= сопЯ! бУдет однополостный гиперболоид вращения 1!т+ р! Рз тз пврвходы при своводнои орнвнтхции ~гл и 1зв Далее будем рассматривать свойства плоскости Р прп мепнтельно к задаче перехода между свободно-ориенте рованнымп орбитами, когда движение определяется за давнем параметров г.
Ем $', 3.3. Фазовые траектории, соответствующие сообщению импульсов Плоскость скоростей Р можно считать фазовой плоскостью, ибо задание точки в ней полностью определяет ор. биту (1 = гйп Е = —, =- —,(Г', -~ р'г) — ) и последую д 1 з 2 ггр 2 2 ' ' г ) щее движение КА по пей. Обратно, задание злемегпоз орбиты (конечно, такой, что движущийся по ней КА в некоторый момент пройдет от центра притяжения на р,юстоянии г, для которого строится плоскость Р, т. е, должно быть гп ~~~ г, г„~( г ') определяет соответствующую точку в Р с точностью до симметрии относительно осп /г 2рр 0Рп У, = Цг, Рг = (2Š— —; — — '") з|яп )г,. Знак з1яп Гг определяется тем, для какой ветви орбиты — восходящей или нисходящей — проводится построение точки в плоскости Р.
Если знак радиальной скорости несуществен прн анализе фазовой траектории, то для однозначности будем характеризовать орбиту точкой Г ~= Р, для которой рг ) О, и построения проводить в первых двух квадрантах плоскости Р. Построения в нижней полуплоскости будут симметричны относительно оси 0)г,. При пассивном движении, когда элементы орбиты пе меняются, орбита изображается в плоскости Р, построенной для фиксированного расстояния, неизменной фазовой точкой. Если же осуществляется маневр и орбита меняе1- ся, то, пока орбита достигает заданного для Р расстояния г, соответствующая точка в Р будет описывать некоторло фазовую траекторию, по ней можно следить за изменением орбиты.
При сообщении импульса М' на том же расстоянии г, для которого построена плоскость Р, фазовой траекторией в Р будет отрезок прямой ЛГ (или симметричный относительно оси 0)г, отрезок ЛГ), исходящий из начальной точки. Если же импульс сообщается пп другом расстоянии от центра, то фазовой траекторией будет отрезок некоторой кривой второго порядка. Дейст- 156 пеРеходы пРи свОБОднои ОРиентАции !Гл. ц гиперболы Еп равна расстоянию между фокусами эллипса Е . Пусть Г21), Г~а> — фазовые точки в плоскостях Р„и Р„, относящиеся к восходящей ветви одной и той же орбиты: ~ ~2П2п Г' ГП21П аа'= ( — ', 12 2К вЂ” —, Рассмотрим расстояние от фазовой точки ГО2 до фоьуса Р2„. Возьмем сначала параболическую прямолиней11ую орбиту Е = О, Е = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
