Ивашкин В.В. Оптимизация космических маневров (1975) (1246627), страница 19
Текст из файла (страница 19)
)'„111'1 (1.2) 1=1 1'пс. 2.2. Делсипс орбит иа раа иыс типы в аависпмости от ха рактсра перессчеипя пми тра ниц аадаииого кольца. равна точной нискней грани втой величины (ИЛ и в) на множестве всех допустимых траекторий, осуществляющих данный переход. Предполагая существование оптимальной траектории перехода с конечным числом импульсов, определим оптимальный переход. Оказывается, что одним из важных факторов, определяющих структуру оптимального решения, является то, как исходные орбиты пересекают границы кольца К. Дадим классификацию орбит по характеру пересечения ими зтих границ.
Заметиат, что она годится, вообще говоря, н в общем случае перехода меясду некомпланарными, фиксированными орбитами. Ниже будет предполагаться, ЕСЛИ СПЕЦИаЛЬНО НЕ ОГОВаРИВаЕтСЯ, ЧтО Г 1а ) О, Га„а ( ( со. Случаи г,ма = О нли г,„,„. = оо см. в [1) — [5]. Будем различать у орбит граничные точки — начальную (Мп) и конечную (Ми) среди точек, соответствующих движению в кольце в выбрашюм направлении (если зто 5 В.
в ивашина )ЗО пеРеходы нри своноднои ОРнгнтхцни 1гл. 11 можно однозначно сделать, т. е., в данном случае, если орбита пересекает хотя бы одну границу кольца), и внутренние точки — все точки орбиты в кольце, кроме начальной и конечной. К л а с с и ф и к а ц и я орбит. Разобьем орбиты на следующие типы по характеру пересечения ими границ кольца К. Тип 1 — орбита не пересекает границ колы!а (рис. 2.2). Параметры орбиты удовлетворяют условияи Гнпп ( Г. ( !'«( Газах. (1.3) Орбита этого типа — эллиптическая; точка, движущаяся по ней, всегда принадлежит заданному кольцу. На орбите типа 1, ввиду непересечения ею границ кольца и незаданности времени перехода,нет начальной и конечной точек, все точки будут внутренними. Тип 11 — орбита пересекает только внутреннюю границу кольца (см.
рис. 2.2). Для параметров орбиты справедливы условия О (Гп (Гш1» Г~»1» ( Г«( Гпп!х. (1 Л!) Орбита — эллиптическая, начальная М„и конечная М„ точки ее лежат на внутренней границе у (г = г,„;и) кольца К. ПРи г„) гпип в точке ЛХ„бУдет г = г,„;и, )г„) О, в точке ЛХ»: г = гт1», 1', (О. Если г. = гп!и, то эти точки совпадают, ЛХ„= М„, в них 1г„= О. Из апсидальных точек орбиты лишь апоцентр а принадлея<ит кольцу К. Если г„,н г,п1«, то в пределе получаем орбиту типа 1, для которой г« = гпнп. Тип 1П вЂ” орбита пересекает толысо ни!минюк! границу кольца (см. рис. 2.2).
Элементы орбиты удовлетворяют условиям 1зп!п ( 1« ( Гтах З«( З паз~ (1. 5) здесь и далее *) -1 Згпах — !и!ах. -1 ь« — г« а) Параметр а« =г 1= — пп — г ) иногда использовать удобнее, чем аисдентрнческсе расстояние и«, теы, что сн непрерывно и монотонно убывает, если к снстанта энергии Ь впарастапт (прп ! = сспзь) ст стрнцатвльны х дс положительных зна*зсннй, !П СТРУКТУРА ОПТИМАЛЬНЫХ ТРАЕКТОРИИ !ш В этом случае как начальная, так и конечная точки орбиты принадлежат внешней границе Г 1Г = гпах): ЛХ, й= !— - — Г, Мк Р: — Г, в Мк бУдет г = г~пах 1'х ( О, в Мк: Г = гпа., $', ~ )О.
Из апсидальных точек орбиты лишь перицентр я леакит в кольце. Если г„/ гп!«„то предельной будет орбита типа 1, для нее га = гп!ах 1га = г пах). Тип 1Ч вЂ” орбита пересекает обе границы кольца, см. рис. 2.2. В этом случае будет О ( !'«( !' ~по!~ 8«( гша .. 11.6) Для кеплеровской орбиты такого типа множество точек в кольце несвязно, имеются две части 1ветви), принадлежащие кольцу. Пассивный переход между ними по данной орбите возможен лишь за пределами кольца. Следователыю, в рамках поставленной выше задачи переход с одной ветви на другую требует затраты функционала 11.2).
Поэтому каждая из двух данных ветвей играет роль самостоятельной орбиты и будет называться в дальнейшем орбитой. Одной присвоим тип 1Ча, другой — 1Чб: 1Ча соответствует движению от внутренней границь! Т к внешней Г, на ней Гх) О. При этом ЛХ„й т, ЛХ„Е= Г, 1Чб соответствует движению от внешней границы Г к внутренней Т, на ней )Г„(0, ЛХ„й Г, М, Е=.1. Для орбит этих типов в кольце нет апсидальных точек. Если гп,к г п„то в пределе получаем орбиту типа 1П, ДЛЯ ИЕЕ Га =- Гппп, 8- ( 8,пах. ЕСЛИ 8«,Р 8мах~ ТО ПРЕ- дельной будет орбита типа 11, г„= гмах. Если же одно- ВРЕМЕННО Гп «8 Гуп!п~ 8« а«! а~пакт ТО ПОЛУЧИМ ОрбИТу ТИПа 1~ Г~п!п~ Га = Г~пах ° Если исходные орбиты — начальная и конечная— типа !и 1 соответственно, то переход между ними обозначим гу.
11апример, если ! = — 1, 1 = — 1Ча, то переход будет типа 1 1Ча. Рассмотрим в плоскости 1Г„, г,) множества, соответствующие орбитам указанных типов (рис. 2.3). При г„) 0 точки плоскости соответствуют эллиптическим орбитам, при г„= 0 — параболическим, при г„( 0 — гиперболическим орбитам.
Кривая АВ, для которой Г«8„= 1, будет представлять круговые орбиты. Симметричная с ней относительно оси г«кризая г'6Н 1Г г„= — 1) представ- пвввходы пэи своводнои огивнтхции игл. и ляет гиперболические орбиты с бесконечно большой энергией (прямолинейные траектории, удаленные на расстояние и-, от притягивающего центра). Множество АВС соответствует орбитам типа 1, мно.кество ВВРС (без прямой ВС) — орбитам типа 11.
Прямая ВС представляет предельные орбиты типа 1, =- г,„и,. Множество А Сб Е (без Г Ы отрезка АС и дуги Е6) соответствует орбитам типа П1. л Точки на АС изображают предельные орбиты типа 1, и, , я = и,»,, Множество РСНН (без в СР, СС и СН) соответствует д гы, и п„„и„орбитам типа 1Уа и 1Ъ'б. Точка С изобрал'ает предельную ори биту типа 1, и-, = г~ииы и, = ги,,„, интервалы (РС) и (СС) — предельные орбиты типа 11 (и д гтих) и 111 (и, =.- гиии) сост" ветственно. Иногда для простоты и полноты изложения будем и предельные орбиты включать в орбиты рассматриваемого типа, т. е.
допускать знаки равенства в условиях (1А), (1.5), (1.6). Предельные орбиты, соответствующие границе ЕСН, формально тоже можно включить в рассмотрение, но по существу они никогда пе участвлот в переходе, так как, очевидно, требуют бесконечно больших затрат энергии. Рве. 23Ь Множества в илес кости (и, и„), соответствующе щиа орбитам разных типов 1.2.
Структура и классификация оптичальных траекторий В силу неааданности угла и времени перелета в данной задаче оптимизации перехода будет ф, == О, ф =- О (гл, 1). По теореме 1.3 (см. гл, 1. п, 3.6) все внутренние точки оптимальной траектории, в которых сообщаются импульсы. будут апсидальными. Неапсидальными могут быть лшиь начальная или конечная точки траектории перехода, в которых сообщаются импульсы, т. е. точка схода с качалыюй орбиты п точка прихода на конечную орбиту. э ы стРуктуРА оптимальных ТРАкктогии !зэ Пе уменьшая общности, за начальную точку траектории перехода возьмем пачальпун~ точку начальной орбиты ЛХ„~= Тп (если эта точка однозначно выделяется, т. е.
орбита принадлежит к типам 11, Н1. 1С'), ее будем также обозначать через Мп. Если начальная орбита типа 1, то точку схода с пее назовем квазиначальной Мгп так как в силу пезаданности времени переход можно бы считать начавшнмся из любой предыдущей (по времени) точки начальной орбиты. Аналогично, за конечную точку траектории перехода возьмем конечную точку М„б= К конечной орбиты, если эта орбита типа 11, 111, 1Ъ'; ее также обозначим через Мп. Если эта орбита типа 1, то переход можно считать закончившимся в любой ее точке, следующей (по времени) после точки прихода ЛХ„на конечную орбиту.
Точку М„назовем квазиконечпой. Все точки траектории перехода, кроме однозначно выделяемых начальной М„и конечной М„, будут внутренними. В частности, если соответствующая исходная орбита типа 1, то при ЛХ„~ ЛХ„(или ЛХ„че ЛХа) точка М„(или ЛХ„) будет внутренней. Начальную и конечную точки траектории перехода будем называть такэке граничными илн исходными точками. Все импульсы оптимального перехода разобьем иа две группы: а) 1Лмпульсы, сообщаемые в начальной точке Мл или коночной точке ЛХ„. траектории перехода; такие импульсы назовем граничными, онн могут быть, если соответствующие исходные орбиты принадлежат к типам 11, 1Н, 1Уа, 1Уб.
б) Остальные импульсы — сообщаемые во внутренних точках траектории перехода; их будем называть внутренними. По предыдущему, этн импульсы сообщаются в апсидах сопрягаемых орбит. В зависимости от числа граничных импульсов все переходы можно разбить на 3 класса. 1 к л а с с. Обе орбиты — типа 1, имеем переход 1 1. В этом случае все импульсы и точки их сообщения — внутренние, апсидальные, граничных импульсов нет.
2 к л а с с. Одна из исходных орбит — типа 1, другая пересекает хотя бы одну границу кольца. Это переходы Н1, 1Н 1, 1С'а 1, 11'б 1 (переходы типа 1 11, 1 1Н и т. д. пвРвходы при своводной ОРикнтАции игл. и сводятся к выписанным путем изменения направления движения). Переходы этого класса имеют не более чеи один граничный импульс, сообщаемый в точке пересечения соответствующей исходной орбиты с границей кольца. 3 к л а с с. Обе исходные орбиты пересекают грашщы кольца. Это переходы: 11 11, 11 1П, 11 17а, 11 1Уб, 111 111, 111 1Ча, 111 11гб, 1Уа 1Уа, 1Уа 1Уб, 1Уб 1Уа (остальные переходы эквивалентны этим).
Для таких переходов может быть два граничных импульса: как в начальной, так и в конечной точке траектории перехода. 1.3. Характеристика базис-вектора Р ~Р+ Ае = 1г Ср + (СПг) + Сзгз = — (В!(Р'г+(Р, з ч ггр (1.7) где 2ВР + Р ЬВ', Игр 2В'р, С, =- Р'!р', — — — — = злг '1г 2Р„РС,(СИ и г' — з1яп (Р~В) = з1яп У~Р, (1.8) С.,)С,= — ( — ) /р Преягде чем приступить к анализу траекторий различных классов, приведем вспомогательные данные, характеризующие изменение сопрягкенпой вектор-функции для рассматриваемого случая. Прн пассивном движении вдоль орбиты компоненты р, ), ц, $ векторов фг, $„будут определяться в соответствии с (3.34) гл.
1. Тогда модуль базис- вектора равен 1О СТРУКТУРА ОНТИМЛЛЬНЫХ ТРАВКТОРИЙ 135 функция х, (г) может достигать максимума лишь на кон- цах диапазона [г„г,! изменения расстояния г. При рас- смотрении всех точек орбиты предельные расстояния Г1 будут следующими: Г, = Г„для орбиты типа 1, г, = г„для орбиты типа 11, Г2 = г212. для орбиты типа 1 П г, = г,„„для орбиты типа 1Ъ'а, 1Уб.
Г1 = Г„, г,=г„, — Г21111 Орбиту, соединяющую две точки сообщения импульсов (точку выхода на нее и точку схода с нее), будем называть промежуточной или переходной. Пусть для такой орбиты г„г, — расстояния в точках сообщения импульсов, тогда х, (г,) = х, (г,) =- шах х, (и). и Если же рассматриваемая орбита — исходная (в этом случае, точнее, имеется в виду часть орбиты, входящая в траекторию полета) или оскулирующая (при сообщении некоторого импульса), лежащая в кольце К, то максимум функции х, (г) может достигаться при одном из крайних расстояний: при г = г„х, (г,) )~ х, (г,) или при Г = Г2, Х1 (Г1) ( Х1 (Г2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
