Ивашкин В.В. Оптимизация космических маневров (1975) (1246627), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Для нее ~2п2п П2ПХ в силу определения Л. Отсюда и в общем случае будет 1П1П 1П2П .= — 2зРЛЬ+ 2Е+ ( — "Р + Лга. ) =- (Г12~Р1-)2. 2 1П П Следовательно, всегда расстояние от фазовой точък до некоторого фокуса одно и то хсе в обеих плоскостях: его будем часто обозначать через Фг и Ф, соответственно. В дальнейшем будет показано, что граничные импульсы часто сообщаются так, что линии их действия проходят через фокусы Р;„или Р,„.
рассмотрим соответствующие фазовые траектории. В каждой из плоскостей Р„, Р„проведем через фиксированную конечную точку Г~~' и= Р„Г~„'1Е= Р„по четыре фазовые траектории (рис. 2.25, рис. 2.26). Две из них соответствуют сообщению импульсов при г = г;и, причем так, что линии их действия проходят в плоскости Р, через фокусы Р,„и Рап.
В плоскости Є— это прямые П,П, и П,П„проходящие через конечную точку Г~Ц и фокусы Ргп, Ра„соответственно под углами 2Р2„„к оси ОГ,. 159 рис 2,25. Разбиение фазового множества в плоскости р и „на подииожества с помощью тРаектоРий П.П' (1'= 1, 2 3 4~ ), проходяих через конечную точку н фокусы Г1„, Рг, эллипса и лы Л„соответственно.
Рис, 2,26, Разбиение фазового множества в плоскости Р„на подмножества с помощью траекторий П1П, (1' = 1, 2, 3, 4), проходяюих через конечную точку и фокусы Р,.„, хг, эллипса Н„н гипер- болы В соответственно. )бо ПЕРЕХОДЫ ПРИ СВОБОДНОЙ ОРИЕНТАЦИИ (ГЛ. П В плоскости Р, они будут шшерболани П,П, П«П.: ((/ ! )2 Рз — — 1 аз ьз Лзгз (1 — е )з(1+с ) (1 ез '- сер с Лпшее« (!О ЬР 1 — з + сз 1 — ез + сз з еа са ' = а Ч~еан ' ев(( !к РЛПшо). .-! В плоскости Ра зтп тРаектоРии бУНУт кРивыми втоРого поРнипа ПзПз, Пеп: параболои )е~ =.
— ег«Ае !'! + с'-, если с = 1о е! —.— 1' 1 — е~~!е„(прнман П.П, параллольна асими- тото нрпвой В ), зллппсом Ре + (Р! + еРВ)е(1 — ез — сзез) == с, если сз < (1 — ез) (е~» (иРЯман ПгП,, поРосекает обо ветви В пРп Р, ) О), гиперболов — )'„+ (Р! + еРВ)з ( — 1 + ез + сзез) = сз, если с«) (1 — еаз)/е„(пРнман (1 П. пеРесекает лишь одпУ ветвь В ). Эти фазовые траектории, проходящие через конечную точку !гк и соответствующие сообщению импульсов при г = гпп и г = гп„з, разбивают все допустимое множество -1 (и ("а ~1 г '» еа К газа) начальных скоростей Х'и в Р (1",з~ в Р„) на подмножества ЛХ; б= Р„(а(1! б= Р„).
Рассмотрим их. Две другие фазовые траектории соответствуют сообп(ению импульсов при гше„так, что линии их действи" в плоскости Р„проходят через фокусы Г, . Они являются прямыми П,П„ПеП, в Р„(проходящими через точкУ Гн и фокусы Х'з„, Х з„соответственно под углами грели (3) к оси 0(г,). < з1 ПЛОСКОСТЬ СКОРОСТЕИ 161 3.5. Разбиение множества начальных данных траекториями <р<а = 'р<ак, <р<л = <р<лк Здесь подойдем к вопросу о разбиении с другой, более конструктивной стороны. Покая<ем, что кривые П;П; (л«П;) в случае общего положения И<П ~ О, Р<." ~ О пересекаются лишь в исходной точке Г~," (Г„М) и делят все мнол<ество начальных данных на восемь подмножеств ЛХ< (М<), соприкасающихся по линиям разбиения П,П, '(П,П,').
При анализе удобно точку в плоскости Р„(н Р„) задавать углами <р<„(<р<„), образуемыми векторами (см. рис. 2.23, 2,24): <г< — ек Лг< <и и,в — ек Лг, <в< СОЗ <Р<а = 1 в СОЗ <Р<л =' <г<<1 Г,ар<в< В частности, ла кривой П,П, (П„П,) будет <р,„= <рл „--- = сопз1, на П,П, (П<П<)' <рва = <рв„к на ПвПв (П<Па). <рли = <рллк иа П<П< (П<П<): <р,„= <рв„к. Обозначим через е<Р (е;<,) кривую в плоскости Р„(Р„), на которой угол <р,< (у' = 1 или у' = 2, (л = <х или р< = л) сохраняет постоянное значение <р<И.
Эту кривую можно строить, естественно, в любой плоскости: Р„или Р„, независимо от индекса )<, но в плоскости Р<, кривая е,<, будет прямой, проходящей через фокус Кл<,. пусть задана некоторая кривая ел<, (е,е). Будем смещаться вдоль нее. В атом случае в качестве параметра на кривой удобно взять расстояние Ф, от точки до фокуса й'1~„Ф = РЧ<<Р1 = )г<в<Г;„. При смещении вдоль е;<, угол <р<Р, по определению е;Р, остается постоянным, а остальные три угла <р<л будут, вообще говоря, меняться: <р<л = <р;л (<рд Фз).
Дальше понадобятся знаки производной от <р<л по Фз при условии <рзи = сопз1. Обозначим ее через <1<р<л«(Фззп< в<и Из определения кривой еяи величины Ф;, плоскостей 6 в. в. ивашкин ЦЕРЕЕОДы ПРИ СВОБОДНОЙ ОРИЕНТАЦИИ [ГЛ 162 РЛ. 1, р р следуют соотношения а )г„п = Ф» з1п»р»а ) 1 = ВР.Лг1 + Ф» соз »рза, (1) )г~зз = Ф1 з1п р»., Р»'~ = зг Лгз+ Фз соз зр1,; з»а»ро соз »р»1+ (зг»пз»/Ф») Ф,а = 2Лг„Фзз — — 2Лгз (1+ 1), еа соз »ры — соз »ры = ВР.Ф1.
(1 — е')/Ф1» (3.6) "'з Ф» ) Фз з», з = 1(зза (1 — е ))2 (1 + згеа соз»р»а)» Ф = !Ф» + Фза + 2ВР.Ф»Фза соз 1Р1а) = (Ф'; + Ф,'„+ 2ВР.Ф;Ф, соз 1р;а) с*, опРеделающие фУнкции»Р»л (»Рл», Ф;). Отсюда получаем следующие знаки для производных: 1т,„ (3.7) »а 2а 1а 2 И,-, 'М и а»Р»а Э а и е ч а н и е. Производная з)зр»1,12(Ф;2 обращается в нуль, лишь если ззп зр»1 = О, т. е. точка лежит на ОСИ Р'О Из (3.7) следует, что вдоль кривой зрз»и = сопз1 (еслн Гз ~ Г Зн Га ~ Г,„„а) ОСтаЛЬНЫЕ УГЛЫ »Р12 МЕНЯЮтел МО- потонно.
Следовательно, четыре кривые зр»1 = сопз1, проходящие через исходную точку, пересекаются лишь В ЭтОй ТОЧКЕ. ЕСЛИ Г„=- Гза„тО СЛИВаЮтСЯ КРИВЫЕ »Р;„= = — СОПЗ1, ЕСЛИ жЕ Г„= Гм„, тΠ— КРИВЫЕ Зр»а = СОПЗ1. Это, в частности, имеет место для кривых П;П1 (П»П;), ПВОХОДЯЩИХ ЧЕРЕЗ ТОЧКУ Х'Оп (1Г1ам). плоскост1 скогоствй ; 33 463 гтпгг гг )Нг> 111 ) ф Р рй21 (8.8) Из произвольной точки Г'~ этого луча проведем дугу сп ОПИШЕМ тЕПЕрЬ ПОдМНОжЕСтВа В Ра, Рл, ПОрОНсдаЕМЫЕ кривыми П;П;, рассмотрев сначала случай )1~1„' ) О К~н2) О. Прямые П,П, п П2П,', делят множество М = тэгг~г 1 ха ( вгпггх) Е Ра На ЧЕтЫрЕ ПОдМНОжЕСтВа М123 = гв ' сР1а ( суаггг суха ( 1Р2ан ха ( в~пвг), Мв (УГ СР1а ( ЕР1анг 1Рва ) Суван г на ( Згпвх)г Мввв = '1~ ' сР1а лэ сР1ан суха ) суван ва ( вювх)г Мв '= гхв ' суга ~ 1гуггнг 1Рва и- сухан за ( в~пвх) (рис.
2.27), причем М„в Ц Мв 0 Мввв 0 Мв П подмножества лишь сопри- Р„ г гзггг касаются по границам П1П,'.. гв Образы этих множеств на П, вг ггз г 'П, плоскости Рл будем обозначать так же, снабжая вол- м,' м,' и, ной: гд123 и т. д., их объе- ДИНЕНИЕ РаВНО ВСЕМУ МНОжЕСт- Гг„П Гг„ ву Млаа ()г(2>: гл(ггп1п) 6= Рл. Аналогично, мнонсество К ег'= М„а= Рл делится прямыми ОД Я Я <2)1, (, МНОжЕСтВа З НЛОСНОСти Ра тРВ- 2 1 ' '21Л 221ЛН 1Рвл 1Р,л„, Гл ( Гпнп), г г ходнщнмгг через конечную точМвм = 1 г: сугл ( гуглнг ку н фокусы Узм эллипса Д„. — 1тггвь суха ) сувлнг 1'л ( гш1п ), ЛХВ = (" г": СР1л ) СРглн гувл ) СРвлнг 1л ( гюго) Д231 = (Р'ог 'Ргл ) суглн еувл ( еувлн г'» (1ппп) Дв 0 Мзвв 0 Яв Ц М231 = Ы.„(рис.
2.28). Образы этих множеств на плоскости Ра обозначим через Мю М,вв и т. д., их объединение равно Ма. Возьмем луч $",,'~11,„одну из границ множества М„„ ДлЯ точек вг„на нем сугл = гу,лн, Ы1 164 пеРехОДы пРн сВОБОДнОЙ ОРпентапни 1гл. ~1 кривой сО„ -. сопзС па которой Ф, Ф, =111,(1'и), (331) Продел и:м тккоо построение для каждой точки луча. Множество точек, образоваппое семеиством таких дуг, ооозначпм через Я„, а соотвстм,' ствующее множество в Ров через М, (рис.
2.29). Для лкь Л и' „' бой точки пз М, (Я,) будет П СРьа ( СРтап Ч~еа а= СРЬак~ СРтп -:. > срьпп срта ( среп„как слеДУет нз (3.7) — (3.9). Спетое р' 1вательпо ЛХ1 ~ М ьа Г) ЛХ Обратно, если некоторая то 1- У1М 6— : 1Хиа Г) ЛХ141 то из гсловпй срьа ( срьак срт ) 1р1 „и пз (3.6), (3.7) легко следует, что кривая ср„„-: =- сопз4 перосекается с крнвой 1Р,„ь —— - сопз$, так что в точье пересечения У1П будет Фп, -.: (Ф; ( Ф„т.
о. У111=- М„. Следовательно, ЛХ,= ЛХ„, Г1 Г) ЛХ,ь.„прпчеч это множество вполне определяется условпямп (ср1„~( срт„к, срь, ) 1ртп„). Границами его будут кривые У~н П,,' (,р, ср, „) У111 Ц,' (ср„= ср,а„) н (если Пыль пересекает ветвь 14„) крнвая Л~. Аналогично, пз точек У~'1 отрезка У1,'1 П„на котором Ф, ( Фпо сР„„== сРтак, ПРовоДпы ДУги кРивых сР„„= сР,'„ Ф, ( Ф,. Полученное множество точек этих дуг обозначим Яь ~ Рп~ Мь с: Ра~ для него ЛХь — — ЛХРП Г) ЛХаьь, оно опРеДелЯетсЯ Условпамн (ьуьа ) сР,а„, сР,„( сР, „). Топ~о так же мпоькество ЛХ; = Мт„Г) ЛХь„ = (РМ: сРьа ' суток, сРе„( сРепк) бУдет обРазовано дУ- гамп кривых ср„„= сопзт = ср,'а, Ф, ) Ф„исходящих пз точек У141 луча У~,.1П„для которых ср,"„= срь„„Ф, Фм,. См: 01п зппкп неравенств на обратные, получпм 17 з = — ПХ114 Г) ЛХььь (Яз = ЛХнь Г) Яььь) На рпс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
