Ивашкин В.В. Оптимизация космических маневров (1975) (1246627), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Покажем, что функция (А, орс) непрерывяа, тогда она будет и абсолютно непрерывна согласно (1.38). Действительно, если бы в некоторой точке ! ! был разрыв функции (А, фс (|)) за счет скачка меры, и ( .3=' лд"! '! "~'Р ро* (В 8роро*) тор 0 Р Рнс. 1.3. Геометричесная связь венторов А т~ ро Поэтому прн двил|ении по границе в кеплеровском поле не может быть в|п ф = О. Так как и в общем случае обычно при движении по границе р, == рл„|„поле близко к кеплеровскому, то и для общего случая полагаем |йп ф чь О, ~! ч,. | ( |о.
Отсюда и из Л (А, ф,) =-0 следует непрерывность функции ф„(!), г! " ! |з. Из условия (1.38) определяется проекция вектора ф, на вектор А: ортА = (орс А))/ А ! = В (!)/в|п зр (!). Отсюда следует, что ф„А (!) — абсолютно непрерывная функция времени на данном граничном участке. Покажем, что мера и абсолютно непрерывна на (г„ |з). Пусть зр„! = зр„(г! + 0), тогда ~ (д ) оРРО! — ~ РАз = оР|(!) — ро(!) о (г! !) |,+о Л (А, ф„) =. (А, |Зф ) =- — (А, ро)о(Г ) = —;в!по ф (! ) ~-0, то в некоторой окрестности у точки ! — — ! было бы й' (!) ~ О.
Позтол|у (А, зр„) абсолютно непрерывна, |!'(!) =- О, г|( г( гз. Пусть в некото- Р рой точке данного участка |йп ф = (|, ~'о = !"о |о ро О. Тогда А = О, нз Ьз =- 0 следует В =- О. В случае кеплоровского поля будет, однако, Р В=+ — )зрг)+О, так как 1 О ДВИЖЕНИЕ В ПРОИЗВОЛЬНОМ ПОЛЕ Здесь ч,(Г) =-ч„, — ')(д„')*фгоГ+ ~ о,(1) —,' сЬ вЂ” абсолютно непрерывная функция, о,(1) = О(г„~) = ~ Ао (Г), ()т сюда т~л (г) = (фп А ) — б,(1)з!пф, т. е. мера а, (1) абсолютно непрерывна по Е Функция ф„(1) поэтому также абсолютно непрерывна. Дифференцируя тождество Ь' (г) = О, получим с = [(А,ф )--  — (А, (д )"фг))/з~п'ф, (1.40) причем должно быть, в силу (1.14), о)~0, т (г Условие (А, ф„) — В = 0 может оказаться невыполненным в начале участка, при г =- г, — О, т.
е., вообще говоря, В (г ) ~ (А (1~), ф„(» — 0)). Тогда выполнение условия В = (А, ф„(г, + 0)) обеспечи- вается скачком меры о (Г,): (А, ъ~,. + Лф,.) = (А, ъ~,.) — с (с,) (А, р';) =- В (1,). Отсюда (А, ~р„) — е (и) маг ф (и) (1.41) где ф„= ъ~„(г, — 0) и, в силу (1.14), а (г,) > О.
Аналогичная ситуация будет в момент г = т окончания участка. Таким образом, для оптимальности рассматриваемого граничного участка с максимальной тягой необходимо должны быть выполнены условия Ь (г,) = О, Ь (г,) = О, Ь (гг) = О, условие (1.41) в начале участка, а на самом участке мера б (г) доля;на удовлетворять условию (1.40). 32 услОВия ОптимАл! ности кОсмическОГО млнеВРА )Гл. ! 1.2. Импульсная тяга 121.
Особенности двптепня с ими у л ь с н о й т я г о й. Двип)енпех! с импульсной тягой называют такое дви)кение КЛ, прп котором не ограппчт! верхний предел реактивной тяги (Рп„х =- по), допуска. ются скачки вектора скорости (будем иногда назым)ть такое двп кение импульсным, а скачки скорости — пчпульсами скорости). Если КЛ в момент 1, сообщается ичпульс скорости ЛХ") =- Л)))У;, то при ! =- !! радиус-вектор т непрерывен, а вектор скорости р и масса т терпят скачки: ). (!! + О) = э (1, — О) —.- 2 (!!), Х" (!! + О) = Х' (1! — О)+ ЛЪ',.1'и;, Физически импульс скорости мо)кно представить как прс!)) (") дел дуги максимальной тяги Р (!) = Ршпх Д ( Г ( при 1 2ппх 1'и(!) — 21",, т(!(") т(12-+ О), т(!1м) — хт(1! — О).
Тогда (2) )2) ~~ппх ' )О )х) ! Скачок массы связан с воличипой импульса: А!',А т (1, + О) = т (!! — О) ехр ( — — ') Предполагаем существование оптимальной траектории, на которой сообщается конечное число импульсов, мел,ду моментами сообщения импульсов оптимальное управление Р (!), 12 (!) кусочно-непрерывно, двпгкеппе осуществляется в соответствии с обычной системой (1.4). 0 ( Р (1) ( С* .
( оп. Оптимальная траектория перолета в импульсном сл)- чае обладает тем свойством, что любой ес кусок оптимален. Пусть х (г! — О) = х, х (1.,'- О) .= хп, йх (1! ( !2 ( ), Перелет П)2 из точки х в точку х,', осуществляемый кяк ~ П ДВИЖГНИГ В ПРОИЗВОЛЬНОМ ПОЛЕ 33 н шаа = — ~ Р и1 — й+ ~ М'(~,) =- с!п — ', шш(шаа. ш Ш',' ! ш~ь,!1 Тогда заменим в траектории Пи„перелет П,а па П, и осуществим остальной перелет по-прежнему (оставив без изменеяия импульсы ЛГ (1;) и ускоренно Р (1)Ет(Г)— здесь используется неограниченность тяги Р). В конечной точке получим прежние параметры г, р', 1, но суммарная характеристическая скорость уменьшится на величину шм — ш„. Соответственно увеличится конечная масса т"„.
Необходимые условия оптимальности траектории, на которой сообщаются импульсы, можно получить различными способами. 122. Условия оптимальности в импульсном случае. Можно, следуя Д.Ф.Лоудену, рассматривать оптимальную импульсную траекторию как предел (при Ра,аа — а ос) оптимальной траектории с конечной тягой, считая, что каждый импульс является пределом дуги максималыюй тяги Р = Рш„. Необходимые условия оптимальности получаются предельным переходом иэ условий, соответствующих случаю Ршаи ( оо.
На интеРвалах (~О Гьм) межДУ моментами сообЩениЯ импульсов движение осуществляется с конечной тягой, условия оптимальности будут прежними. Поэтому, в частности, они состоят нз дуг пассивного полета Н, ( О, Р = О и дуг особого управления Н, =. О, Р ( о. Уравнения (1.23) для сопряженных переменных ар„(г), ари(Г), ф, (1) по зависят от тяги Р явно, поэтому они не меняются и в окрестности точки сообщения импульса.
Тогда из равномерной ограниченности правых частей данных уравнений и ~; — Г, — Г; для импульса следует, что (а) О) эти переменные будут непрерывны в точках сообщения импульса, если в этих точках пе сосредоточена положнтель- а В. В. Ииашиии часть оптимального перелета П„и: хи — хи (с незаданной массой т'„'.==т(аи+О)), будет также оптимальным перелетом между точками х~ и х. (т,—.п1ах). Действительно, пусть существует перелет П„с большим значением массы т; ) т", и меньшим значением характеристической скорости 34 УСЛОВИЯ ОПТИМАЛЬНОСТИ КОСМИЧЕСКОГО МАНЕВРА ~ГЛ. ) ная мера а (1;), связанная с границей ь (х), т. е.
фт (1)в — О) = 1пи 2()) ф') =-2()) (1) + О) = 1)гп ф» ф)), у' ~= 7 Если в момент сообщения импульса точка находится па границе, то функции 2()„(1), 2()2 (1) будут разрывны в этой точке, при этом скачки )22))„, )22()2 удовлетворяют уравнениям (1. 25) .
Переменная 2)) будет разрывна в точке сообщения импульса, разрыв определим ниже. Рассмотрим, во что переходят условия оптимальности управления на дуге максимальной тяги. Из непрерывности вектора 2))Р и условия (1.29) (совпадения направлений вектора тяги и вектора 2))Р) следует, что импульс скорости напРавлен вДоль сопРЯжеппого вектоРа 2))г.
)) Р (2)) = и )' (22) фг (22))'( ч)2 ! (2,.). (1. ) ) Поэтому, если под у'о (2)) понимать единичный вектор, направленный вдоль импульса )2Р ), то формула (1.29) будет справедлива и в импульсном случае. Далее, на границах участка ~2 ( 1 ( й максимальнои тяги, не совпадаю- 0) (2) щих с началом или концом всей траектории, выполняются условия Н, ()1') = Н, (С()) = — 0 (1.35).
В силу С~)П— — получаем, что в точке сообщения импульса (2) функция Н, непрерывна: Н, Р, — О) =Н,(~, +0) =0. Отсюда следует, что в этой точке ПОЭТОМУ И ВВИДУ НЕПРЕРЫВНОСти 2()и (1) ФУНКЦИЯ т)()22 Непрерывна: ЛМ()~о)) -О Я)2()'")С+О Я)фо Э ' + те,. 2()~ = + Далее, так как на пассивных и особых участках величина т)() постоянна в силу (1.36), то на Всей оптимальной импульсной траектории она постоянна: л) (1) ф„, (С) = сопзг = с, ) О, 1 О дВижение В пРОизВОльнОм пОле 35 Если импульс сообщается в начале (или конце) траектории, то Н, (Ь» + 0) = 0 (или Н, (~» — 0) = 0).
На интеРвалах (Зм гьм) межДУ точками сообЩеннЯ импульсов функция Н, = ~ »рг ) — (т«р )/с отрицательна (при Р = 0) или обращается в нуль (при особом управлении). Учитывая (1.43), получаем, что вообще Н, (г) = ) р, ~ — '"~'" ( О.
Следовательно, модуль базис-вектора ( «рг ! в точках г' приложения тяги и сообщения импульсов достигает максимума, постоянного для всех указанных «активных» точек (как и в обычной постановке Д. Ф. Лоудена): я, (г') = / «р~ (Г') ) = птах !»рс (С) / = — = сопзй. с Если тср =О, то «р (»)=О, »рг(~)жО, ~»(~(~„; «Р, (с) .= О, «Р, (й) Вн О, а (с) = — О, Е» ( С ( ~», имеем тривиальный случай. Позтому т1р,» ~ О. Можно положить т«р /с = 1, тогда х, (~') == ~ »Рг (~') ( =- ~пах ~ «Рг (с) ) =- ' т — =-. 1, (1 44) с в активных точках базис-вектор является единичным вектором вдоль импульса (или тяги).
Из непрерывности функции Н„= («рс, И) + («рг, д) + + «Р в точках сообщения импульсов и равенства ее нулю на пассивных дугах и дугах особого управления следует, что на всей оптимальной траектории в импульсном случае Н, (ю) = ( р„, Х') + ( р;, д) + «р, = О, г„( г ( г„. (1.45) 3 а м е ч а н и е 1.
Если оптимальная траектория состоит из дуг пассивного полета, соединенных точками сообщения импульсов О»; = Л»' (~;), 1 = 1, 2,..., Х (т. е. имеем траекторию многоимпульсного перелета), то из (1.44) следует равенство ) Ч (Ч 1 =! р, (»,) 1 =... = 1 Ч5, (е,) ~ =... = ! р (г,)1= = 1пах ! «рг (1) / .= 1. (1.46) с Это условие (вместе с уравнениями движения и уравнениями для сопряженных переменных) последовательно 30 услОВия Опти31Альности космическОГО ИАнеВРА игл. 1 1Р„(1) = сопзс ( О, ( БАРР (11) ( = 1пах ( фг (1) ! = — ф = сопзЬ = 1. Рассмотрим некоторые следствия из условий оптималь— ности (1.42), (1.44), (1.45). 1. Пусть импульс сообщается пе па границе, Ь (х (Г1)) .
' ( О, а (1,) = О. Воаможпы два случая. а) Момент 11 сообщения импульса пе совпадает с нач»- лом или концом траектории, Г„( 11 ( $„. Тогда пз (1.41) следует, что — )1р~ ! „) О, д )1р~ ) (О. (1 42) Так как 1 е в а1 ~ф'~ и функция (фг, 1р,) непрерывна при 1 = 11, то в рассма1- риваемой точке сообщения импульса „вЂ”,~ф,~,, =О, е (ф,, ф,),, = О. (1.4Е) следовательно, векторы фу иф„ортогональпы в точке со- общения импульса, аналогично (1). связывает фазовые я сопряженные перезгенвые в точках 1о. общения импульсов. 3 а м е ч а н и е 2. Вследствие равенства тф )с = сопзс = 1 переменную ф„, можно в импульсном случае исключить нз рассмотрения.
Она будет неявно входить и условия оптимальности через основное условне (1.44) Кроме того, так как ускорение а = Р~т теперь неограночено, то можно задачу рассматривать в иной постановке (зквивалентной). Вместо тяги Р (г) в качестве управления можно взять ускорение а (г), а (1) )~ О (сообщению импульса в а (8) соответствует 6-функция). Массу ( — т) как мвннмнзирусмый функционал можно зал1епнть на характеристическую скорость ш = )а (1) й = — с 1п (т/т„), В точке сообщения импульса скорость 1Р имеет скачок, равный модулю импульса Лр'1.
Если ф — сопряженная переменная, соответствующая скорости и~, то условия (1.44), (1.46) в такой постановке будут заменены па з И ДВИНСВНИВ В ПРОИЗВОЛЬНОЪ| ПОЛЕ 37 Далее, в силу условия (1 41), должно быть — ",1р,~, сО, т. е. !Фг 1;-',) О, тде ' фгр=з0(з„р„)— ~з(зг!,„~ьО, Л/зРг/з(0, (1.50) (зрг Р.) = = — З ( р,, Л" р,) + () г, (А',р,) ), (зр,)з = —,Я ~, з)чч„з =-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
