Ивашкин В.В. Оптимизация космических маневров (1975) (1246627), страница 48
Текст из файла (страница 48)
может быть, фазовую траекторшо. Этп переходы можно разбить на две группы. Для переходов первой группы — типов ! 1, 11 11, П1 П1, П 1, П! ! — во вспомогательной задаче оптимальныс фазовые траектории определяются. в общем случае, однозначно. Этк траектории могут быть реализованы прп управлении с помощью приложения некоторого конечного числа импульсов (до четырех). При этом сам переход будет осуществлен за конечное время в процессе реального движения точки в пределах заданного кольца Е, т. о. в рамках основной задачи.
Тем самым пз решений вспомогательной задачи получаются оптпт1а.тьпые переходы соответствующих типов в основной задаче (см. таблицу, в которой показано, нз каких решений вспомогательной задачи следуют решения основной задачи). В переходах второй группы — типов 11 1Ч, ~)1У ((7 .=- = 1, 11, П1), П П1 — во вспомогательной задаче может существовать множество оптимальных фазовых траекторий, эквивалентных по функционалу. Теперь оптимальная траектория вспомогательной аадачи или, в случае псединствеяпости решения, две траектории пз множества оптимальных траекторий могут быть реализованы в рамках основной задачи как два различных многоимпульсных перехода.
Так для основной задачи получатотся все оптимальные переходы типов 1Уа 1Уа и 1Уб 1Чб, () 1Уа и ~1Уб ф = 1, П, 1П), П П1 (двух- и четырехимпульсные 303 ИМПУЛЬСНЫИ ХАРАКТЕР ОПТИМАЛЬНЫХ ПЕРЕХОДОВ !ГЛ. П1 варианты), см. таблицу. Одновременно становится понятна природа одного интересного свойства ряда оптимальных переходов в основной задаче. Если в указанных выше парах переходов исходные орбиты имеют равные злемеиты А', Е, то их оптимальные траектории зквивалентны по характеристической скорости. Причина етого факта ясна — данные пары реализу1от одно оптимальное решение или входят в множество оптимальных решений (эквивалентных по функционалу) во вспомогательной задаче.
ГЛАВА 1« ОПТИМАЛЬНЫЕ ПЕРЕХОДЫ МЕЖДУ КОМПЛАНАРНЫМИ ОРБИТАМИ В СЛУЧАЕ ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ НАПРАВЛЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ПО НИМ Здесь будет рассмотрена задача оптимизации переходов между орбитами, аналогичная рассмотренной во 11, 111 главах. А именно будут определены оптимальные (по минимуму расхода топлива) траектории плоских перелетов между компланарными орбитами в центральном ньютононском гравитационном поле. При переходе должны выполняться ограничения на расстояние г от КА до центра тяготения 1см. формулу (1.1) гл. 11), управление осуществляется импульсной тягой.
Взаимное положение исходных орбит, время перехода — не заданы. Единственным отличием будет то, что движение по исходным орбитам происходит в противоположных направлениях. В плоскости движения выбирается положительное направление вращения вокруг центра, например, против часовой стрелки. Оно определяет положительную ориентацию трансверсали С«в каждой точке и анак трансверсальной компоненты вектора скорости $; = 1Р,«»). Если У, ) О, х, = = гу, ) О, то движение будет прямым, 1 =. О [1); если же $; ( О, «. = г$'~ ( О, то движение будет обратным, « = я; случай Р', = О, « = О соответствует радиальному движению по прямолинейной, или «центральной» траектории. Здесь перицентрическому расстоянию орбиты с т.
( О будем приписывать знак « †», т. е. считать для нее г„, ( О, Обычно будем полагать направление движения по начальной орбите обратным, «"„ ( О, а по конечной — прямым, х,„) О. Как и прежде, наряду с основной аадачей оптимизации перехода, осуществляемого в кольце К, рассмотрим вспомогательную задачу оптимизации с ограничениями на активные точки приложения импульсов или тяги. случлп пеотпвоположных двпжкнип [гл. гч з!о 1 1.
пккоторьпс свойств г оптппАг!ьпых пкккходов во вспомогхткльйой зддхчк Сначала рассмотрим вспомогательную задачу (сы. ! 1 гл. 11!). 1!удем определять оптпьщльпые (по быстродействию) траектории перехода между орбитами, онределясмымп элементамн Еь. Ео и Ек, Еа, причем траектория х (ш) удовлетворяет почти всюду системе — г (~о) I (и)), дп ащ — =- 1г, (~о) Т (и:) —, !',. (ш) б (и), х (0) = (Е„, Е,), х (ша) .== (Еь, Е„), |пах (гоав, г- (гс)) ~(' г (ш) ( гоах '(г,„'ь;, г,.' (и)), где величины Т (и), Р, (и) == Цг определяготся как проекции единичной тяги Ть(ш) вскорости й' (и) па положительную трансверсаль. Радиальную скорость (г, (ш) можно. как и прежде, считать положительной. Ыожно рассматривать и выпуклое замыкание этой системы, включая в рассмотрение скользящие режимы. Структура оптимальной траектории будет вытекать из следующего результата.
Лемма 1.1. Пусть Ев ==У,„=О (г„а =г,в =О), -1 -1 звв ( г„„о, гнк ( г„а„. Тогда оптимальный переход между орбитами асуп!ествляется приложением радиального импульса на внутренней границе ко.н ца, при зтолс г (ш) ===. гь„о, Е (и) == О, г-, (и) :=. О. Доказательство проводится анализом оптимального (по быстродейстюпо) изменения константы энергии Е.
Отсюда и пэ результатов гл. 111 следует 2! е м м а 1.2. Оптико.н ныл~ переход лсежду орбитами с противоположными направлениями движения (Ьа ( О. Ьк ) 0) состоит из двух частей — из некоторого перехода с обратным двилсением (Ь (ш) ( 0) и перехода с прямым движением точки (Е (ш) ) 0). С л е д с т в и е. Среди оптимальных переходов между орбитами с противоположным направлением движения всегда имеются переходы, осуществляемые приложением конечного числа импульсов. 1 г1 слгчли с пгкжпкп стет кттгои тглкктогнп 3(( Хотя структура оптимального решения этим полностью определена, будут полезны дополнительные свойства функций г,- (и(), г„(и).
Во-первьы, лспо, что на каждое( частичном переходе, на котором направленые движения сохраняется, справедливы леммы 2.1, 2.3, 2.4 гл. 1П относительно функции г. ((и). Далео, леммы 2.2, 2.5, 2.6 гл. П1 относительно свойств функции г„((и) справедливы н в данном случае для всего перехода.
Используя эти результаты н результаты, полученные ранее для переходов между орбитами с одинаковым направлением движения, рассмотрнн в Я 2 — 4 поставленную вспомогательную задачу. Заодно будем исследовать непосредственно вытекающие оптьы(альные решения основной задачи. Затем в $ 5 рассмотрым те случаи переходов в основной задаче, которые не вытекают нз решений вспомогательной задачи. З 2. СЛУг1АИ, КОГДА СТРУКТУРА ОНТПМАЛЬНОП ТРАЕКТОРИИ ТА ЖЕ, ЧТО П НРП ПРЯМОМ ДВИ1КЕНИП ПО ИСХОДНЫМ ОРБИТАМ Для ряда переходов между орбитами с протпвоположнын направлением движения оптимальныо траектории имеют ту же структуру, что и в случае прямого данн(ения по обеим исходным орбитам.
Это пореходы типов <3 ?Ъ' ((',г == 1, !!, 111, ?У), 11 П1. Опи получены н подробно проанализированы в гл. ?11. Частью этих переходов всегда является некоторый (возможно, предельный) переход типа ?У 1((, поэтому во вспомогательной задаче оптимальное решение может быть определено неоднозначно. Дадим краткий обзор этих решений. Переходы типа ?У ?Ч. Если Хк(0, Хк)0, то на~аль~ая ~очка 1 к не(кит во мне;(светках ЛХ„М, н, (и может быть, Мл, ЛХ„ЛХ„см. рис.
2.25, 2.26. Если ?г(п Е= М4 () ЛХ, () ЛХ,, то фазовая траектория определяется однозначно. Это отрезок пряной ?га 1 к (н (н в плоскости Р„(при ?г~п Е= ЛХ, () ЛХ,) или отрезок прямои И(ОУ(М в плоскости Р-, (пРы И(л С= Мз). Дла основной задачи получаем отсюда однонмпульсные переходы типа ?Уа ?уа н ?Уб ?рб (импульс сообщается на внутрен- 312 сличая пготивоположных движкнии 1гл. 1ч ней границе у, если 1'1и ~ Ме () М„или на внешней границе Г, если Р ~~~ е- Ме). Если 1'~и ~= М, () М„то во вспомогательной задаче получается множество решений (см.
рис. 2.25, 2.26, 2.36, 2.37). Из него выделяются два двухимпульсных перехода М„-+. М„типа 1Ъ'а 1Уа и 1Чб 1Уб (см. рис. 2.86 для случая Ьи ) О). При сообщении одного из импульсов и меняется направление движения. г„) Рис. 4.2. Фааовое множество траекторий перехода Т„ -+ Те типа 1Ч 1Ч в плоскости Р . Рис.
4.1. Фааовое множество траекторий перехода Т„ -~ Т" типа 1Ч 1Ч в плоскости Ра. Ми «Г 'як 1а) (рис. 4.3). Для него направление движения меняется при Переходы типа 1Ч 1. Пусть Тв ( О, Аа ) О. В данном случае оптимальная траектория включает в себя орбиту Т*, элементы которой суть г'„= гпяа, и",„= гжах (см.
и. 8.2.1 гл. 1П). Во вспомогательной задаче, вследствие неединственности оптимального решения для перехода Ти — ~ Т*, получим множество оптимальных траекторий (на рис. 4.1, 4.2, где в плоскостях Р„, Р, изображаются фазовые траектории части ҄— ~ Т* всего перехода, заштриховано это множество). Для основной задачи из него выделяются две траектории. Одна реализует переход типа 1Уа 1, его часть Та — е. Т* (҄— а. Т1еш) изображается кривой Р~~~ 1'киа1РР~ с= Ра (Р1и~уа1а1Р~1а1ре4Я1 с= Ро) на рис.
4.1 (4.2); он будет трехимпульсным вида 1 2] случАН с пРежней стРуктуРОН тРАектоРНН 313 первом или втором (как показано на рис. 4.3) импульсе. Другая траектория реализует переход типа 1Чб 1, его алемент Ти — ~- Те(Т„- - Т~~) представляется кривыми )бй 1 йсб) 11 с: Ра (1й (бебе>)б 1НРб<о> ~ Р ) на рис. 4.1 (4.2); он будет четырехимпульсным вида Мбб"1 — б- у — ь à — ~ яи (рис. 4.4), направление движения меняется при сообщении первого импульса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
