Ивашкин В.В. Оптимизация космических маневров (1975) (1246627), страница 46
Текст из файла (страница 46)
2.77, где 1»:= Р» Е= ЛХ,). Если переход Т" — )- Т» будет (1) двухимпульсным вида à — ~ у (а" — 1. ЛХ(б)), то весь переход будет трехимпульсным вида М» — 1- à — +-М», см. рис. 2.78. ю) Он является переходом ҄— 1- Т'„) типа 11 !'1)б в основной задаче (его фазовая траектория — кривая 1»1 1(б)1 эш) 1»»= Р„, см.
рис. 2 77). Остальные опти- (1) и) а) мальные решения вспомогательной задачи не приводят к переходам основной задачи. йзб импыльснып хлглкткг оптпгглльпых гглгкходов 1гл. Пз 3 а м е ч а и и е. Все получеппыо результаты справедливы и ири обратном движении по одной из исходных орбит, поприпер начальной.
8.2.3. П е р е х о д ы т и и а 111 1У, для нпх г. и )~ гоно з. и ( з»ыг ( г»к ~ ( г юн з»к ( г~п»ч Л е м м а 8.5. Оптимальный переход типа П1 1'Ч состоит из оптимального перехода (типа 1П 1П) с начальной орбиты Та на промеоиуточную орбиту Т', для которой г',, = гюы, и последующего оптимального перехода (предельного, типа 1У 1ч') с орболпы Т' на конечную орбиту Т„. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Не ограничивая общности, рассмотрим случай г»в ) г,„;„. Возьмем лгобую допустимуго траекторию перехода между данными орбитами, удовлетворяющую условиям ~ 2. Пусть для нее ю' — наименьшее значение аргумента ю, для которого г» (ю) ==- = г,»,„Т' — соответствугогцая орбита, г„,' =- гоь», г» ( ( з, »х Оптимизируем переход Ть — ь Т' типа 1П 111 в соответствии с результатами з 5.
Тогда, заменив, если потребуется, величину ю' на меньшую, получим, что переход Тк — ~- Т' будет одпопмпульспьы|, причем импульс (обозначим его через ЛП,) прикладывается па внешней границе Г, прп г = г„,», Оптимизируем далее переход Т' — ь — »- ҄— предельный переход типа 1ч' 1ч'. Выбрав затеи оптимальную величину г„', получим оптимальную траекторию всего перехода. В случае >, „= г,„;„первая фаза перехода будет отсутствовать. Лемма доказана.
Для получения оптимальной траектории надо рассмотреть переход Т' — »- Т„п соединить оба частичных перехода в один. Переход Т' — ь Тк будет одпонмпульсным при г = = гю,„илп будет иметь множество эквивалентных решений. Рассмотрев в последнем случае двухимпульсное решение вида à — э- у (̄— ь М~ч), пз условия коллипеарности ого первого импульса гхуг, и импульса М', перохода ҄— ~- Т' легко определигг орбиту Т' (п соответствующую скорость Г' ~ Р ) оптимального перехода. Коли г'„ ы> !в! остальныв слхчлтт во вспомоглтвльнотт задачи 299 ~ М, (см. рис. 2.66), то Х" есть точка пересечения отрезка Ектт ?ттет с кривой В, = (г': га = та„а), весь переход будет одноимпулт сиым прн г =- г„,.„. Если при этом ?г„) О, то получаем переход ҄— а- Тт т типа?Н ?тта на восходящую ветвь Т„орбиты Та в основной задаче; при тат ?г„<" 0 имеем псРеход Ттт — а- 7т„"' на писходащУю ветвь Те (двухимпульспая реализация Мб - О!,; также дает эквивалентный переход типа!11 1уа, см.
рис. 2.68). Нрп тат Тга с= М, () ттта точка ?г' есть точка пересечения прямой, проходящей через фокус 7стб тт точку !'т,', с гиперболой 7?а (сат. рис. 2.66), прп этом ег = — 1 (! === 1), ет =- — 1, если ?граю е:— тд„ если ?г„~ Яв. е ., =- 1 , ег=1(т=2), т?тазовая траектория перехода 7" — а- Та и, следовательно, всего пеРехоДа Тб — а- Тк, в этих слУчаЯх ие еДинствепна (см.
рис, 2.66). Если для части 7" — а- 7'к взять двухимпульсное решенно à — т- у (Л7„ -т- Л, ), то весь переход тбт будет также двухпмпульспым .!7а — ~- М„.'. Ои реализует ', тгт в основной задачо по!ттхоттт, Та — т- Т",," типа 111 ?Ъб (см. рис. 2.67). Его фазовая траектория в Р— кривая ?т~'~?г'.»~татт!"тбт?,;, здесь !" -- 1'!тт~ (см.
рис. 2.Г>6). Если же для перехода Т' — а. Т» взять решение у — Г (и — а- -а- Л,'( ), то получим трехиъшульспьтй пероход Ме — ттат -т- у — ~ Л)т„'т, являкпцпйся в основной задаче переходом ҄— а- 7'„т типа 111 ?Уа (см. рис. 2.67). Его фазовая траектория — кривая ! '„'! 'т,',т! ';,т,т!'а ~ Р (стт. рис, 2.66). Остальные решения (ка отрезно Т' — Т» окп сплопть ЗаПОЛНяит КриВОй ЧЕтЫрЕХуГОЛЬИИК ! тат! тбт!,; ! ат, т) тп ттт не позволяют осуществить движение в рамках основной задачтл (см. рпс.
2.66, 2.91т). 3 а м е ч а и и е. Все излол,еипые результаты справедливы для обратного движения по одной из орбит (с 7,а ( О). 13 этом случае переход Та -а- Т' будет совершаться при прямом движении на текущей орбите. Н?- правление движения будет меняться при переходе Т' — Т„. 3ОО ИМПУЛЬСНЫЙ ХАРАКТЕР ОПТИМАЛЬНЫХ ПЕРЕХОДОВ [ГЛ. П1 8.3. Оптимальные переходы типа П П1 Исходные орбиты будут удовлетворять условиям ~', н ( гуп1п ( газ ( 1хпах ап1п ( а па ( хмах ган ( гпаах ° Л е м м а 8.6. Оптимальный переход типа 11 111 состоит иг трех частей: оптимального перехода (типа 11 11) с начальной орбиты Тн на промежуточную орбиту Т" с г„'= г „., оптимального перехода (предельного, типа 1Ч 1Ч) с орбиты Т" на промежуточную орбиту Т' с г,' = г м и оптимального перехода (типа 111 111) с орбиты Т' на конечную орбиту Тн. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим произвольную допустимую траекторию данного перехода, удовлетворяющую условиям $ 2.
Пусть и" — наименьшее значение скорости ю, для которого г„(ю) = гпха„, Т' — соответствующая орбита, г„" =- 1„„„, г," — ее параметры. Оптимизируем переход Тн — а- Т" типа 11 11 или 11 1. Уменьшив, если нужно, величину ю", получим, что оптимальный переход Тн - Т" будет осуществляться приложением одного импульса ЛГх на внутренней границе у, при г — гпп„, г, ( ( г но В плоскости скоростей Р„, построенной при г = = гнпп, точка Г", соответствующая орбите Т", будет лежать на ДУге П„Е= Я„= (Г, г = а,х), заключенной между точками пересечения прямых, проходящих через начальную точку 1гн и фокусы хгью с эллипсом В„(см. рис.
2.83). Пусть ю' — наибольшее значение скорости ш на траектории Т" — Т„, для которого гн (ю) =- г м (ю' .м ю"), Т' — соответствующая орбита с параметрами г,' = гпа1п, га ( гюах. Уменьшив, если надо, значение и„— 1о', получим, что переход Т' а- Т„будет осуществляться приложением одного импульса йГа на внешней границе Г (при г = = гю,х). В плоскости Р точка Г, характеризующая орбиту Т', будет лежать на дуге Пн 1:= Л„, заключенной между точками пересечения прямых, проходящих через конечную точку Г„и фокусы лг1„с гиперболой Л„=- = (Г: г„= гю1п), см.
рис. 2.84. Переход Т" — ~ Т' будет предельным типа 1Ч 1Ч. После оптимизации этого частичного перехода, в соответствии $ 8) ОстАльные случАН ВО ВспОЖОГАтельнОЙ 3АдАче 301 с результатами $ 7, и оптимизации всего перехода по параметрам г„", г„' орбит Т" и Т' получим оптимальную траекторию перехода Т„-<- Т„. Лемма доказана. Оптимальный переход Т" — Т' (предельиый типа 1Ч1Ч), а с ним и весь переход Т» — » Т» будет не единственным (см.
рис. 2.88, 2.89, 2.83, 2.84, здесь Уа =- У<2<)б), У' =: У('()б), Т' =- 7"хб, Т' = 12"~). Соответствующие ' <б) решения удовлетворяют системе (7.12) — (7.14), причем для них еу =- — 1 (1 = 1), з = 1. Линия действия импульса или тяги проходит в плоскости Ра (Р„) через фо- КУС $'1а ЭЛЛИПСа .йа = (У: Га = Гтах) (ФОКУС Х'12 ГИПЕР болы ))7» = (У: г„= г»11»)), причем импульс направляется от фокуса. Простейшим из этого множества будут два двухимпульсных перехода, осуществляемые по схемам 7-+- Г и Г -т. у.
На рис. 2.83, 2.84 приведены фазовые траектории этих переходов для случая Уа = Ух<с), У' = = Уб<б) Это — кривая Уг<б)( 2<а))тб<б) (:== Ра Ух(с)ух(2) 1'2<<с) Е—: . <2) (1) Г<П (П (2) (2) т»2) (== Р„для первого перехода 7 -+ Г, кривая т"2<б)У2<б)У<<с) <=— т <1) и) П) (== Р„('2<б) <'2<б))тх<б) с Р„для второго перехода Г -т.
у. (2) (2) (2) Для определения точек У", У' воспользуемся переходом Т" -+. Т' вида у -+ Г. Линия действия его первого имПуЛЬСа АУ1 В ПЛОСКОСТИ Ра ПрОХОдИт ЧЕРЕЗ фОКуС Х'ха и точку У", линия действия второго импульса АУ, в плоскости Р, проходит через точки х»„и У'. Соединяем частичные переходы ҄— )- Т", Т" — » Т', Т' -т- Т„в один переход Т» — т- Т„. Так как импульс АУ, перехода Т» — + — » Т" должен быть коллинеарен импульсу АУ, перехода Т" — т- Т', то точка Ут будет точкой пересечения прямой, проходящей через начальную точку У„и фокус Х'1„, с эллипсом Л„(сх<. рис. 2.83): = У2 (х' 1а) =- У2(б).
(1) Аналогично, точка У' будет точкой пересечения прямой, проходящей через конечную точку и фокус .Р„, с гиперболой Л„(см. рис. 2.84): б) ( 1») У4(б). Этим полностью определяются орбиты Т" и Т' и все множество оптимальных переходов между данными орбитами Т» и Т» ° 3(>2 имптльсныи хлгактвг оптимальных пвввходов [гл.
)и Если переход Т" — ь Т' будет двухпмпульсным вида Т-2- Г, то и весь переход Т»- Т» станет двухнмпульсным вида 717» -2- >27» (8.15) (см. рис. 2.85). Получили двухимпульсный переход между орбитами Т» и Т„типа 11 1П в рамках основной задачи. Фазовая траектория для части Т» -2- Т' этого н> (1) перехода изображается кривои Г»)22(с>1 2о >> 4(ю с- =Р» для части Т" — ~ Т,4 — кривои Р2(с>1 2(4) ('4(с>)~» с=- Р. .(2), (2) (2) (см.
рис. 2.83, 2.84). Соответствующие зависимости г„(н2), г„(ш) условно показаны на рис. 2.80 (для г„) 0) штрпховьып) кривыми ка отрезке ш" ~( ш ~( и '. Если переход Т" — ~- Т' будет двухимпульсньы( вида à — 2- у. то весь переход будет четырехимпульсным вида )17„Г у И, (8.16) (см. рис. 2.85), он также реализуется и в основной задаче. В данном случае для порехода Т„ -~ Т'(()азовой траекториеи будет кривая 1 1'2(а>Р2(с)1мв> е== Р», для перехода ;(и (и Т" — ьТ» — кривая 1 2((2»)1 )4('„->)(4(с)>Г» Е= 7)., (сл(.
рпс. 2.83, 2.84), зависимости г„(и), г„(ш) показаны условно сплошными кривыми па рис. 2.89. Для перехода 11 111, таким образом, нз всего множества оптимальных решений вспомогательной задачи выделяются два эквивалентных реп>еппя, реализуемых в основной задаче. 3 а м е ч а н и е. Приведенные оптимальные решения для перехода типа 11 111 годятся как при пряз(ом. так и при обратнол( движении по началы(ой орбите, 7,» =- 0 (считается, что 7,» 0).
В случае В» ( 0 направление движения меняется при переходе Т» »2- Т" или при переходе Т" — 2- Т'. З 9. ОПТИМАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ ПЕРЕХОДОВ В РАМКАХ ОВНОВНОЙ ЗАДАЧИ В результате оптимизации переходов в рамках вспомогательной задачи (Я 4 — 8) получены оптимальные траектории в основной задаче для всех случаев. кроме переходов типа 1)(а 1)(б и 14(б 1)(а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
