Ивашкин В.В. Оптимизация космических маневров (1975) (1246627), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Кроме того, импульс, сообщаомый на внешней границе Г, мо1кет быть првложен в каждой вз точек пересечения орбиты с внешней границей кольца. Указанные выше одно- и двухимпульсные переходы являются, очевидно, простейшими реализациями оптимальных управленнй, позволяющими, к тому же, осуществить движение в рамках основной задачи. В частности, фазовая траектория однопмпульсного перехода может быть реализована с помощью перехода с двумя импульсами на границе (см.
рис. 2.59). 5.3. Случай немонотонпой функции и„(ш) Рассмотрим теперь переходы Т„- Т„, для которых функция г„(и~) имеет внутренний минимум, приче51 г,м„~( ш1п г (1Р) ( ги„. ~( г„„, О ~~ ш ~( и~„. Возьмем произвольный переход такого вида. Обозначим г„"= пил г, (ш).
Множество (ии г„(ш) =- г„,) есть точкз или отрезок. Возьмем произвольную точку ь~к этого множества, пусть Т* — соответствующая орбита. Весь переход Т„- Т„представим как последовательное осуществление двух переходов Та — Т", Т* — ~- Т„-. Для первого из них 271 их!Пул1сыьп! ХАРА11тв!' О!Гг!п1Альн11х нРРсходов !Гл. !!! функция г„(и!), О ( ш ( и1*,— монотонно убывающая, г„' ( г„(ш) ( г„н. для второго функция гн (ш), ша .-. ( ш ( шн,— монотонно возраста!ощая, г,' ( !а (ш) .
( г„„. Ка!кдый пз этих переходов относится к рассмотренным в предыдущем раздело. Будем считать, что они уже являются соответствующими одно- илп двухнмпульсными оптимальными переходами на мпо!кестве г ) г,'. 11а всем переходе Тн — а- Т„будет сообщаться до трех импульсов. Кроме рассмотренных одно- и двухимпульспых траекторий, траектория может быть трехнмпульсной вида Мн— — ~- л* — М„, она также реализуется в основной задаче. В гл. 11 показано, что в этом случае должно быть г„ = гпнп.
Следовательно, полученные в гл. 11 траектории перехода типа И1 111 оптимальны и для вспомогательной, и для основной задачи. 5 6. ОПТИМАЛЬНЫЕ ТРАГКТОРИИ ПЕРГХОДА МЕЖДУ ОРБИТАМИ ТИПА П, ПЕРЕСЕКАЮЩИМИ ВНУТРЕННЮ!О ГРАНИЦУ КОЛЬЦА 6.1. Ограничения на фазовые координаты и управление Эдесь будут получены оптимальные траектории перехода между орбитами типа 11 (во всполюгательной задаче). В этом случае исходные орбиты пересекают внутреннюю границу кольца, их апоцентры лежат в кольце й! Гнн < Гнпп (!'ан (!~па': г.
и (гни|( г-1 ( гнал. (6.1) ппп (гпн1 ган) ( !а (и!) ( гюан (6.2) Включив в рассмотрение орбиты, для которых г„=-. гпп„, мы замыкаем это мпоакество исходных данных. Тем самым будут учитываться н орбиты типа 1, для которых г„= = г„„п, опи являются предельными для орбит типа 11.
Применим результаты $ 2 к данной задаче. Из лемм 2.3, 2.6 и условий (6.1) следует, что прп оптимизации можно ограничиться рассмотрением следующего класса переходов: а) апоцентр текущей орбиты всегда ле!кнт в кольце К, ~ з] оптом ьчьнып ьи гь «д мсз„м о1юп ами типа // б) текущая орбита всегда нересекаез впут~нгипою границу кольца (пли касается ее), г (иб ( г„в„, (6.3) в) функция г„(и) монотонна плп имеет одни внутренний мекспмум. Из (6.2),(6.3) следуот, что для фиксированной орбиты расстояние в активной точке будет удовлетворять условию г„н„~( г (/а) ~ гн (и), (6.4) Сначала, в и. 6.2, рассмотрим оптпзп/льп/зе траектории на множестве траекторий с монотонной функцией г„(и).
Далее. в п. 6.3, будет сделан анализ общего случая, т. е. будут учтены траектории, для которых функция г„(а/) иенопотоппн, гнат г (и~) ~ ноак (г„„, г„а). 6.2. Случай переходов е монотонной функцией /'„(/е) Пусть, для опредслегоюстп, /аа . газ ' нгат (газ' ган/ /ак /мь мб э/ ( /и г~ Тогда, если прн переводе функция г (и/) монотонна, то будет выполняться условие г„(и) = г„а, (6.6) при этом гшы ( / (щ) ( г~ (к/) газ (6.7) Зафиксируем конечную орбиту 7 ю Пачальная же орбита и текущая орбита перевода могут быть произвольными точками множества Ь': 0 ((г-, ) (г„п„.
г„а„ч. г„(г„/ (в этом разделе, п.6.2, будем допускать и обратное движение по начальной орбите, для такой орбиты считаем Ь ( (О, г (О). В качестве фазовой плоскости рассмотрим также плоскость скоростей Р„, построенную при г = г,ма. Коордии] тки натами в ней являются компоненты )//, г „скорости в точке пересечения орбиты с внутренней границей 27(1 имиул! Сиыи и 1Р.1кткР 'и!Тиид1п пыь и1!Ргьодок !г:1. 1!! кольца: к!111 !О яка„ Такая точка всегда существует, в силу условия (62?1). ПаЧаЛЬНаЯ ОРбпта КаРаитЕРПЗУЕтся В !!а тОЧКО1! ! „' =- (Р1«, 1'„,) Гк, а коночная — точкой !'„Р !'к (1С!к.
— 'к',к). Построим в плоскости 71 Р и!Оис 1(к (си, рис. 2.75), соответствующий орбитам с фиксировкиныч апоцентрическпм расстоянием г„, рквиыч гак. Его фоку- Л! (2(!РР!Гтп!Г«к (Гшв! —,. Гак)! - - О«1!«к (6.0) О бОЛЬИ!ая ПОЛУОСЬ ЭЛЛИИСа тга~ Еа — Гт!а!!!ак его эксцентрисптет. В плоскости Ра конечная точка !х„и лежит па эллипсе Х1„. Начальная же точка и траектории перехода в данном случае (6.6) будут принадлежать мпо- ЖЕС'!и! С ! а ((Кб) 01 РапИЧСИИОИУ СиаРУИ И '!У ГОИ эллипса Л„! (г„- г„к, Гк 0), и отрезком А'ОА осп ОРм па ием (Г! = О, га ~( гак) (см.
рпс. 2.75). Легко показать, как и в Я 5, что при оптимизации достаточно рассматривать лишь траектории, пишощие конечное число дуг иа границе мпожества С. Проведем анализ функцив Бсллмаиа ю (х). Как и прежде, опираясь на конечную точку Г~,'~ в плоскости !'а, разобьем допустимое множество С па составляющие части. Соединяем точку !'1Р с фокусами г;, (см. рис. 2.75).
Множество С разбивается па подмножества 1!1; 1 = 3, 4, 5 (см. гл. 11, п. 5.2А). В качестве фупкции — Р! (х) в С рассмотрим ларактеРистическУю скоРость и1« одно- и двУкимпгльспык пеРеаодов типа 11 11, полученные в гл. 11 (п.5.2): 1О (х) == !Оа (г): — !Рга !х!и — Г.,„1',!', Хи! .— — М „(6.10) 1О (х) =.
Со, (х) = — 1тп1',,". !'и! ~т Л1„(6.11) О1 (х) = !Оз (х) = — !'„,Г!и — !С1«Р',!', !'!'! Р= М.-'. (6.12) Здесь (Р + (1" — СРЛ,гк,!к)1)! -' =- !И !111, И1 -!' В - — '" "кк1 2(!Р РР1 7) . ' '", Дкг;;ак~ ш!к ! 6! Оптимхл! Ны!! н!7Ркход х!г!кду ОРБптамп типа = 277 — расстояип! в плоскости Р„от точки Г!'! До фокуса Р!а Г!п)/н! (()гп! )г(!!)а + (Г!!! Г<!!)21' — расстояние в Рв между точками Г!'! и Г,,'!.
В конечной точке о! (гв) = О. Легко показать:!алое, что определенная так фуию1ия со (л) непрерывна на С', непрерывно дифферен- цируема в 6, вдоль граничных участков. Рассмотрич теперь птахЯ' (т, и). г(7!я етого восполь- зуемся 1и зультатами. изложсппычн в 4 5 (леммы 5.1, 5.2). Па чиогксствах М,, ЛЕ-, функция !о (т) имеет форму, рассмот1н и! ую в лемм!' 5.1. Сравнивая (6.10), (6.12), (6.6) с (5.14), (5.18) — (5.21), видим, что в данном случае будет ее = 1, 7' .1, г,' =гамм, га =гв, г', .
г в. Л" =- Л„ ((!513) ек =- — 1, ! = 1, если Г!!! ~л ЛУ ~, 4' (6 14) ег = 1, ! = 2, если Г!'!~ !)1.„.~~ Иа леммы 5.2 следует, что для любой точки Г!'! = е= Л1, () Л!.- будет шах Я (х, и) = — 1. Этот максимум реализуется при следующем (и единственном при г, ( ( г„а) управлении Г!Н, р!!! — а, Лз г(ш) = гвив, Я(!о) == — ", 7(и!)— !„!' и (6. 15) причем величины !, е!: соответствуют (6.14).
Данное управление соответствует сообщению тяги иа минимальном расстоянии г = г„;„,. В плоскости скоростей Р„тяга (импульс) действует по ирячой, проходящей через фпксированиьп! фокус г'! и теку!Дую !очку Хг!!!, в направлении от фокуса и эллипсу Л„. На множество Л!, функция о> (и) = го, (х) является частным случаем рассмотренной в лемме 5.3. Пусть хг — точка пересечения прямой, проходящей через точки Г!'! и Г!,", с осью 01", в Р, Г! (Е) — ее абсцисса. 27Э Импульсный хАРАнтеР оптимальных пвэвходов !Гл и1 В данном случае, в силу (6.13), (6.9), в области М, будет ОР = ( Г„(Х) ~ ~( Л,г„;„= Л,г",.
Поэтому, по лемме 5.3, опять пзах Я (х, и) = — 1. Причем этот максимум 1~ достигается при единственном управлении 1 (и 1/(Р 1 ( з > ~ ~ ( н й"' к Это управление соответствует сообщению тяги на минимальном расстоянии г = г„э„, в направлении от текущей к конечной точке в плоскости скоростей Р„. Далее легко показать, что на граничных участках .Ж ~( 1, причем если г, = гэю то будет щах Я' = 1, при этом г (ш) == г„„-.
Н Т (иР) = эщп (г — г ), Б (щ) =- О. Рассмотрим множество траекторий, полученное в гл. П, п.5.2., позволяющее осуществить переход нз любой начальной точки х„~ — С в конечную точку х„~= Л,. Управление на этих траекториях соответствует тому, которое максимизирует функцию уг (х, и). Если х„,— М„то весь переход будет одноимпульсным (с учетом аамечания 2 к п.5.2), Для него фааовая траектория в плоскости Є— отреаок Г~п)г~" Если т„~= М, 0 М„то переход будет двухимпульсным вида ̄— ~ а„.
Первый импульс сообщается на минимальном расстоянии г = гюы в направлении от фокуса Е';„. При атом апоцентрнческое расстояние монотонно увеличивается до г„„. После этого в апоцентре а„сообщается второй импульс. Параметры 6 ек приведены в (6.14). Фазовая траектория этого перехода — кривая Р~,")г,Р~„", см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
