Ивашкин В.В. Оптимизация космических маневров (1975) (1246627), страница 40
Текст из файла (страница 40)
рис. 2.63. В соотвотствпп с результа<'и тамп п. 5.1 гл. 11 определим функцию оэ (х) следующим ! о) оитиз(тл( иы!) иггкьод мвгкд)' ()ввитзми тниА )ы 267 образом [7[: (о(х) = о)((х) = — — (г'7„,?7' — и")-„?7(7), если У("~,70'„ ю (х) =- ыо (х) == — ?77и$'7,", осли Г ) е= 7т(7, о) (х) = о)з (х): —.
(7е)„,Уи ) — Г,„?7~~'), если ?'(') ~ .!?.'."' (5.9) Здесь обозначено через г(„?'(') расстояшш в плоскости Р„От фОКуеа тз(я )(О фаЗОВОН ТОЧКИ У(7): Р(-! =- [(?777)7+ (?7(а — егЛг„,,„)7[' 7(2) (Н (а) и 2(Š— сиЛВ) + — '" -[-.Л77",7777„, (5.10) мох Л .-- [2)то)7)Г7777т~оо7: (тая [ Гыя~)[' ' ( — 1, если ( — 1, (5.12) В частности, 29,, '7~ П7 Г,,К," .= ~2(К, Величина у(7)?'-,',.' =. [(! -' — ?,о)а (?,'и — у,„)з)'* (5.1З) есть расстоянио в плоскости 77о меи()(у точками !"" н !'(,). В конечной точке хо (при ?ом . !'(,.')) будет о) (хя) =- ?).
Очевидна непрерывность о) (х) иа С, исирсрывиан днффере)щируемость в С, в):утри отдельных кусков границы. Рассмотрим теперь функции) Я: —. об (х)7( (.(, и)— о)7 ())/7; (х, и) в С, Выра)кения для фуикц))и (о (х) в иодмнои;ествиь М„Я,. где иодозреваемый иа оптимальность перевод являетсн двукнмиульсным, близки друг к другу. ?!озтому рассмотрим общую форму такого выра)кения, что будет иуи(ио и для дальнейшего. 52л?(. Аиалг(з функции (о(х), связанной с д в у к и м и у и ь с и ь) м и е р е к о д о м.
??усть функция о) (х) имеет следующий вид: о) (х) = еч ((?)((7) (Е, Е) — (?)(7)), (5) 14) Збб ПЗП1УЛЬСНЫЙ ХАРАКТКР ОПТИМАЛЬНЫХ ПКРКХОДОВ ~ГЛ. П[ где констаита к, = 1 или зч = — — 1 фиксирована, Ф1С (ь, Е) = Е; )г11т = [)г, -1 (Г11 — ККЛ Г1) ]ь — [2 (Š— КГ ЛИЕ) ' 2 ([ьв !Г,) -,'. Л*'г ]У*, (5.15) [ — 1, 1=1, вг =( 1 . 2 1 (5.17) (5 18) г, (Е, Е) ( г (и) ( Г, (Е, Е), причем предельные значения г, и г, удовлетворяют условиям Г1 ь Г1 (ИЛИ Гт = Г1), Гз ( Гз (ИЛИ Га — ге), (5.10) так что хотя бы в одном из этих ограиичепий всегда выполняется равенство, а г„, г., — конставты, фигурирующие в определении Л*. Если г, = г, (5.20) то рассматривается случай — 1.
Е1 =-Е1, г; =г„ , (Л 111 (5.21) гогда предполагается, что Е, Е удовлетворяют условию г„(Е, Е) ( г„ех (Е, Е) ( а, = (Гз) '. Если 1ке Гз =Г„ то при этом г„( ЗЗ = (ГЗ) 1 Гз ( Г1. (5.22) (5.23) Л* = [2[1в„/г,г., (1; -,'- г,)]ю. (5.16) Индекс !' (у . 1 пли ) = 2) будет выбрал позднее.
Здесь ['1, 1г, — коъшонепты скорости для текущей орбиты Ю 1О (Е, Е) в точке па расстоянии г = 1;.. Пуст1, при фиксированнь|х фазовых координатах (Е, Е) г= 11 па управляющие параметры (г, 5', Т) палоькены ограничения Ее Те = — 1, 1 5) ОптимАл! ны!1 НГРГход мв1кду ОРБитАми типА и! 2ЕЗ Оба условия (5.19) могут выполняться в виде равенств г, = г,, гв == г'„г„~( г„з„~( з, (5.24) Тогда можно рассматривать для ! любое пз значений) = 1 илп 1 =- 2, прп атом 1,<~)ул«1<<юр< ! '< '! как слодуст пз результата (3.5) гл. 11, доказанного для слУ <аи г," =.
г„,„, !1 =-. г,„з. 1! р и м О р. Пусть перекод типа 111 111 осуществляется па множестве траекторий и управлений, удовлетворяющпк условиям (5.8), (5.5). Тогда будет Г,(З) .Г )Гь:=Г<, г., (.х) . г„,,„= —.= гв. Следовательно, в данном случае Прп ев = 1 получим функцию <о (х) для области Яз, прп з = — 1 — для области М,. рассмотрим выражение яг(х, и) =. <51,(х)/ь(х, н) — , '<оз(х)!<, (х, и) = <'д<Р<Р (Го Е) де5.П (Б, Н) = е ~ ' /ь(х, и) )- Зьз ~к(х, и) (при Ф<" ) О).
11з формулы (5.15) для Ф<" следует ж)>< О 'à — — = 1)<1\< 1, ОА <р<Я ' дя Тогда, учитывая (1.3), получим Я' (з, и) = П (х, и)/Ф';", (5.25) где Н (х, и) = е„(1<, (х, г)Я -, (Г! (х, г) — егер'"г)Т). (5.26) Л е и и а 5.1. Для функ<)ии <о (х) вида (5.14) для фиксированного фазового состояния х = (Л, Е) при условиях (5.17) — (5.19) и<ах П (х, и) = Ф<') и достигается при 270 ИМПУЛЬСНЫЙ ХАРАКТЕР ОПТПМАЛ! ПЫХ ПГГЕХОДОВ !ГЛ. 111 управлении: если /=-1, г,=г,, г,(г„ если 7.= 2, г, = г„!., ) г„ г = г„ г = г.„ (5.27) г =- г„г = г„если Г, = Г„Г1 —.— Г,, я = з.,!г',"!Ф1П, Т = ет (Р!" — ЕУЛ г!)7ФО1. (5.28) ев = — 1, если Е"и> =' М,.
е, = — 1, 1=1, Согласно лемме 5.2, если Х'!'! ~= М, Ц М„то шах .7д (х, и) =- !пах оэ„'/ (х, и) = 1. (5.29) Если точка находится в области М„то этот максимум соответствует сообщению тяги в направлении к фокусу г„(в плоскости Р„). Если же уг!'1 ~= М„то максимум соответствует сообщению тяги в направлении от фокуса г,о.
Рассмотрим теперь множество М,. Здесь функция со (х) равна (по модулю) величине импульса, сообщаемого на постоянном расстоянии г „. Функции такого вида будут и далее встречаться, поэтому рассмотрим общую форму такой функции. 525. Анализ функции о1(х), свяаанной с однонмпульсным переходом. Пусть рас- Из леммы (5.1) и формулы (5.25) для Я (х, и) следует Л е м и а 5.2. Для функции 1о (х) вида (5.14) для фиксированных (То Е) при условиях (5.17) — (5.19) максимум по и функции,Ж (х, и) равен единице и достигается при том же управлении, что и максимум функции Н (х, и).
Для краткости изложения ука!кем лишь идею доказательства леммы 5.1, После максимизации 77 (х, и) по Я, 7' получим, что 1с!' (х, и) есть вогнутая функция расстояния г, она может достигать максимума при г — г, и г = г,. Рассматривая далее функцию 71е (г = г,) — 7(в (г =- гэ), получаем утверясдение лев!1!ы. Применим полученные результаты к рассматриваемому случаю (5.7) перехода П! П!. Как показано выше в врпмеРе, здесь бУдет 7' = 2, г, = го,„,, пРичем е.
=1, 1 =2, ск =. 1, если !жми — М„ 1 в! Оптпмлльныи !гинкход мни<7<у ОРБитлыи тииА 11! з71 стояние г (и<) в активных точках траектории перехода удовлотворяет том гке условиям (5.18) — (5.10), что и в предыдущем и. 5.2.4. В качестве функции ю (х) здесь рассматривается следующая: ю (х) = [([г,'л — $"")г + ([<[л — )<<<<!)Чк-' (5 30) равная (по модулю) величине вмпульса, сообщаемого на 1'ис. З.З. Игобрагкснис имиульса в плоско< и скорсезе!! Р В. <з расстоянии г =. г, при переходе с текущей орбиты на конечную.
Пусть Ог<Л вЂ” расстояние в плоскости скоростей Ров (г = г,) от начала координат до точки пересечения прямой, проходящей через точки Х'~,'~ и ГИ, с осью 01<< (рис, 3.3). В точках дифференцируемостн функции о> (х) рассмотрим функцию гс (х, и). Д е м м а 5.3. Для функции <о (х) вида (5.30) для фиксированного фазового состояния (5, Е) при условиях (5.17)— (5.19), налоясенных на управление и = (г, Я, Т), шах Я (х, и) = 1, если и О! ' ~( Лаг, при <' —.
1, г, = г,, гг ~~~ г,, (5.31) Ори~ ~ )Дага при <' =. 2, г = г, г! ) г,, (5 32) Этот максимум достигается при (единственном, если хотя бы в одном из условий — (5.31) при 7' =: 1 или (5.32) при <' = 2 — выполняется строгое неравенство) управлении г (и) =- г„я (<о) .= ([<,"„' — )г'и)
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
