Ивашкин В.В. Оптимизация космических маневров (1975) (1246627), страница 42
Текст из файла (страница 42)
рис. 2.75, где У„= Р'~". Точка Г, Е= Р есть точка пересечения прямой, проходящей через г'~„н Гз~ с эллипсом В„= — (Х'. г„= г „). Опа определяется одноаначно везде, кроме случаев р 'э" = .г',„ (пРи атом Р, Е= А'$'~п~) и Гзн~ = Г,„(здесь Г, ~ Р~пА). Выполнены, таким образом, все условия теоремы 3.2. Построенное семейство траекторий является оптимальным в С. Из единственности управления и* (х), максимизирующего Я (х, и) в С, следует единственность полученных оптимальных траекторий в С везде, кроме точек хэ; . 1 61 ОПТИМАЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ЫнжДУ ОРБИТАМИ ТИПА 11 а79 3 а м е ч а и н е 1.
Пусть у начальной орбиты апоцентрическое расстояние больше, чем у конечной: Ган ( Ган. Оптимальный переход Тн -«. Т„на множестве «а (Ш) ~( Ган будет обратным рассмотренному. Замечание 2. Если г„н =гп„, 0(гана ' ~( гн ~ ган ~) ган, то имеет место переход типа 1 11, 1'~нп ~= М,. Оптимальный переход в Ь будет хомановским, двухимпульсным вида и„— «-а„. 3 а м е ч а н и е 3. Изложенные в данном разделе результаты справедливы для случаев одинакового и противоположного направления движения по исходным орбитам. Если по конечной орбите движение осуществляется в прямом направлении (Ха ) О), а по начальной — в обРатном (Ьн ( О), то уг„~ ЛХ, () ЛХ,.
6.3. Случай, когда функция э,(м«) имеет внутренний максимум Рассмотрим теперь переходы, для которых движение по обеим исходным орбитам осуществляется в одном, прямом направлении, а функция г„ (ш) немонотонна, имеет внутренний максимум, больший, чем п1ах (г „, г „): 1паХ Га. (Ш) = «а ) 1наХ (Ган«Ган) Зафиксируем г„".
Пусть г„(ш*) = г„', орбиту при ш = = ш* обозначим через Т*. Весь отрезок 0 ~( ш ~( ш„состоит из двух участков монотонности функции г„(ш). На первом участке 0 ( ш ~( ш* функция г„(ш) не убывает, г„„~( г„(ш) ( г„". На втором участке ш* ~( ш ~( ш„ функция г (ш) не возрастает, га ~ ~г„(ш) ~ г„„. Переход с начальной орбиты Т, на орбиту Т* относится к рассмотрению в п.6.2. Он будет одно- или двухимпульсным, осуществляется по схеме ЛХн — «- а*.
Аналогично, переход с орбиты Т* на Т„будет одно- или двухимпульсным вида и*-«-М„. Объединим оба импульса в апоцентре в один. Весь переход между орбитами Тн и Т, будет двух- или трех- вне ИМПУЛЬСНЫН ХАРАКТЕР ОГ|тиМЛГ|ЬНЫХ ПГ|РК ХОДОВ |ГЛ. | Н импульсным вида 37и -а. и* — а 3!а, 7.
ОПТИМАЛЬНЫЙ г|ЕРЕХОД МЕЖДУ ОРБИТАМИ ТППЛ 1У, ПЕРЕСЕКАЮЩИХ!И ОБЕ ГРАНИЦЫ КОЛЬЦА 7.1. Характеристика допустимого множества траекторий Пусть начальная и конечная орбиты перехода — типа 1У, каждая пз исходных орбит пересекает обе границы кольца. Параметры таких орбит удовлетворяют условиям | —..и ( | ~аьп хан (вшах~ Г-а ( Гми„ааа ( За,ах. (7 1) Замкнем множество начальных данных, допустив равенства г„и = |„„„, г„п =- га,ах Направление движения по исходным орбитам может быть как одинаковым, так и противоположным. Применим к данному случаю результаты з 2.
Из лемм 2.4, 2.6 следует, что при оптимизации переходов мея|ду данными орбитами достаточно рассмотреть траектории, для которых выполняются условия г„(и) ( г„„а, з„(иа) ( юааа, О ( и ( и„. (7.2) Позтому в процессе перехода оскулирующая орбита будет всегда пересекать обе границы кольца (или касаться их). Для таких траекторий расстояние г (иа) в активных точках удовлетворяет условиям гм|а ( г (и) ( гама. (7.3) Условия (7.2), (7.3) определяют множество фазовых координат и управлений для решения задачи оптимизации траекторий, удовлетворяющих систоме (1.3) и осуществляющ||в переход между исходпьв|и орбитамп (7.1).
П гл. 11, и. 5.2, проведен анализ таких пореходов и показано, что если х,а ) О, 7,а ) О, то в зтоа| семействе г„„( ( г„' ( г,„„. оптимальным будет переход, соответствун|- щий г„" = г„„. 1!оэтому полученные в гл. 1! ре|пепия будут абсол|отпо оп|мы|альны как в основной, так п во вспомогательной задаче. ! !] Оптимлльнып пеРгход ь!вжду ОРвптАми тппА 1у 28! ы (х) — ыл (х) — Фи, Ф, ы (х) 1ов (х) = — (Фвв Фл) ы(х) = ыв(х) на — (11!1„— Ф,) ел(х) = о!л (х) = Фак Фв если Г Е= ЛХ„ если Г 1:: ЛХв, если Гоп ~ ЛХв, если Г Е= ЛХР (7.6) 7.2.
Оптимизация траекторий Как и прежде, будем рассматривать в качестве фазовых пространств плоскости скоростей. Теперь ими будут плоскости Р и Р„, иос!роепиые лцп! г г„е, «г =- г~евх соответственно. В силу (7.2) примеиеиио обеих плоскостей корректно. Кроме того, для одпоапачности во вспомогательной задаче орбиту обычно будем определять скоростью Г"! в плоскости Р„(или скоростью Г1вл в плоскости Р„) для той точки орбиты па границе г = г„и„(или г == = и в„), для которой Г, ~ 0 Построим в Р„зллипс //„.— (Г.' г„-: г„,„.); й'! (ек .'1"гв,!в, 0) — его фокусы, !' —.- 1, 2 (см.
рпс. 2.25). Множество л' лежит в вертя!ей полуплоскости Р„, ограниченное снизу дугой АЛ' зллписа // и осью Го В плоскости Р„строится гипербола /!и = (Г: г„= г~ыи)' Р1и (еРЛ*г„„,, 0) — оо фокусы (см. рис. 2.26). Фазовое множество Г здесь ограничено снизу отрезком АА' () Гл ) ~( ( и„, Г, =.
0) оси ОГ, и дугами АВ и Л'//' (г„=- гьи„, ) Г, ! ) а„, Ъ', ' в 0) гиперболы //в. Зафиксируел! в С конечную орбиту 7е и, следовательно, соответствующие точки Г1!! == Р., 1'1;.1,= Р . Кривыми П/П„ / = 1, 2, 3, 4, иа которых !61„= лр1„„или !С!„=- =- вр1ю„ / = 1, 2, разбиваем множество С на подмножества М; (М1) (см. гл. 11, п. 3.5).
Пусть сначала Рф ~ О, Рл',1 ~ О, тогда 1 = 1 — 8. Ниже покажем оптимальность траекторий перехода из любой точки х е= с' в заданную конечную точку, полученных в гл. 11, п. 5.3. Характер перехода будет зависеть от того, в каком из множеств ЛХ; находится начальная точка. Рассмотрим следующуло фуикцьпо точки (фупкцило Белл- мана) ы (х): е! (Х) = елвв (х) = — ГП Гв'~, если Г!'1 е=' ЛХА (/ ЛХ„(7.4) «в (х) = !о„(х) = — Г"~ре~ ', если Г1п Е= Л/, () М„(7.5) 232 импульсныЙ хАРАНТГР оптимальных пкРгх одев ПП1. и1 ра )»п11»1В1 ~)»1п)»'и к1 к (7.7) Т (П1) = Т~п1п соответствующем сообщению импульса иа виутреш1ей границе кольца у. Если 1»са1 ~ Я, Д Луа, то ОЕ йа ОЕ1„.
Согласно лемме 5.3 опять будет паах,ХХп (.», и) = 1. Соотк ветствующее управление , (щ) —,„,„,, Ха — )»1п)»аа11уп11»1Л (7.8) определяет одиоимпульсный переход иа виепаиен граииц1 кольца Г. Пусть теперь Рдп ~х ЛХ, () ЛХ, () Ма () Л~а. Фу1п' П 1 оа (х) в этом случае имеет форму (7.9) аа (х) = е, (Фа — Фак), леммах 5.1, 5.2, причем ер == — 1, если Х»111~ ЛХ„ ер =- 1, если Х»1п ~ ЛХа, ар = — 1, если а'1п С= ЛХ„ ер = 1, если а'1п Р= М,. рассмотренную в 2, 1, 2, е, = 1, еа =- 1, (7.1()) Во всех вариантах граничные расстояния постоянны. 11== »1 = Тап1п Та= Та — — Ткач ° (7.11) Согласно лемме 5.2 в этом случае П1ах тт' (х, и) =.
1. Это1 МаКСИМУМ РЕаЛИаУЕтСЯ ОДНОВРЕМЕННО ПРИ Ка1КДОМ Пз Легко доказывается непрерывность сп (х) иа 1",, иепр1- рывная дифференцируемость щ (х) в О/хк, внутри гладких кусков границы О, свойство управления в отнощеипи конечности дуг траекторий па границах С. Рассмотрим щах,Ж (х, и). Пусть Х»п' 1== Л!1 Ц ЛХ,. к Для любой точки Р111 будет ОР„~~ ОЕ1„, поэтому здесь, согласно лемме 5.3, щах,~Х (х, и) =- 1, причем этот маки симум достигается при (единственном внутри этих множеств ЛХА, М,) управлении 1 1! 1'!!т!!ЧА:1ы[ый пвгп[х[ц[ и1:ж[[т О! гптАмп типА 1! зз,'! управлении: г[(и1) — ! 44~, ~л[п(нб .= е,Р[-,У[4[/Р[-,)1[~1, (7.13) Для г!.ольэящего ре;кн[ш (7.14) [П."|1(а1," 7[О(Г', ',у[О р р['1' '), опирающегося на оба укаэанных управления, как па бааовые, прп произвольных у!", у[м (О ~( уо[(1, 7[4! = ! — у!'!) буде! шах Ж (и, и) = 1.
Траекторпп перехода типа 1Ча 1Ча, 1Чб 1Чб, полученные в гл. !! п. 5.3, осуществляют переход из любой точки х„г'=- С в заданную конечную точку Х'„, прнчел[ для них и'!! =-' ы (лэ) ° Условия прп [епимости теоремы 3.2 выполнены, указанные выше траектории оптимальны в [4. Это траектории одпопмнульсного перехода при г =- г„о„, если $')!1 ~ М, () М„, однопмпульспого перехода при г= г!в если Г„п ЛХ, [) М„двухимпульсного перехода, если р и' — М, ().!1, а М„()М,. Заметим, что осли начальная точка !'„перехода лен) жит Впэтрп множества Лт =- Мэ ( ) М4 () М4 ! ! Мв~ то решения уравнения Я (х, и) =- ! единственно. Данные траектории (однонмпульспого) перехода будут единственными оптимальными траекториями. На границах П;П; этого мпо[!'остей с множеством М 1 = М! () Л[4 ( ! М4 Ц М, появляется второе управление, максимизирующее (т, н), но оно уводит точку внутрь множества М!. Поэтому н па границах П;П; одноимпульсные траектории (7.7), (7.8) единственны.
Кслн этот импульс сообщается прн 1', ) О, то получим переход типа !Ча 1Ча в основной задаче, если жо — прп )г4 ( О, то имеем переход типа 1Чб 1Чб. Внутри Жп есть два решения уравнения 284 импульсный хАРАктГР оитимнльных икРеходов (гл. П( .тт' (х, и) . 1, поэтому оитнашльини трш ктория иеедии ствоииа во вспомогательной згищче, Оитииалы(лы(и будут, кроме двухиашульсиыт решшшй типа !151 !'Уа, !'Уб Й:б (гл.11, п. 5.3), любью тшогоичигльсиьн или. вообще говора, скользящие режичы, опирающшся ин базовые управ. пения (7.12), (7.13) и приводящие фезову(о точку из 1Ы- чни ного состоянии и (о(и' шее. ! (Он этом параметры е.„е(.. иостояипьн ин кн;ь (ой траектории, зависит от иод мпожествн 71!„в ко(ором лежит инчальиня точка (и всн траектория).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
