Ивашкин В.В. Оптимизация космических маневров (1975) (1246627), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Г. Болтянского достаточного признака оптимальности [5], будут лишь дополнительно рассмотрены особенности, связанные с движением по границе допустимого множества. Сначала докажем вспомогательную лемму. Л е м и а 3.1. Для любой допустимой траектории х (О, переводящей точку иг начального состояния ха в конечное х„и имеющей конечное число дуг на границе Г, справедливо неравенство Гг ~ )— ю (хн). (3.7) Д о к а з а т е л ь с т в о. Весь временной промежуток [О, г„) разбивается на Ю отрезков Т> = [г>я гг>[, 1 =- 1, 2,..., Х, причем >ы =- О, г„= г>бн»,..., ггн = ью (3.8) 250 ИМПУЛЬСНЫЙ ХАРАКТЕР ОПТИМАЛЬНЫХ ПЕРЕХОДОВ [ГЛ, 111 Внутри одних отрезков траектория лежит в области С, на другах — проходит по граничным дугам Го В первом случае о (х ([)) будет дифференцируема по [ почти всюду внутри соответствующего отрезка Гп [„( [([ и причем, в силу (3.5), [о( (х([)) ==- о„'(х([))) (х ([), и ([)) ( 1.
Следовательно, изменения функции о (х ([)) на данном отрезке удовлетворяют условию о ("г[) 1" ([Ы) ( [г[ [11 (3.9) Аналогично, во втором случае, для дуги траектории на границе Г;, функция о (т1([)) будет дифференцируема почти всюду внутри отрезка Хл [„ ( [ ( [ап причем, в силу (3.6), о; (тз ([)) = о,'. [т; ([))г(9 (т[ ([), и ([)) ( 1. Интегрируя это неравенство, опять получим условие (3.9). Так как о([„) — со (0) = ~~'~ [о([~ ) — о([1[)), 1=1 то, суммируя условие (3.9) с учетом (3.8), получим о (х„) — ег (х„) ( [„. Отсюда и нз (3.4) следует (3.7). Рассмотрим теперь произвольную допустимую траекторию х В), 0 ( [ ( [„, проходящу[о на множестве [г.
Она или ухсе имеет вид, используемый в лемме, или, в силу свойства а) управлений, может быть приведена к такому виду: х ([), 0 ( [ ( Г„,— с уменьшением илп сколь угодно малым увеличением функционала. Тогда Г„) — о (х„), [н ) 7„— е ) — о (х„) — е. В силу пропавольной малости е > 0 отсюда следует (3.7). На траекториях хн ([) достигается равенство в условии (3.7), поэтому на них реализуется точная нижняя грань времени перехода в конечную точку: Ог(Хн) — [П[ [н — [н гщоо Теорема доказапа. 3 а м е ч а и и е. Воли па границе Г, непрерывно-дифферепцируема не только функцпя ог(т;), но и функция о(х), то выполнимость свойства а) на пей можно было бы не предполагать. ! >1 о достаточном условии оптимальности 25! Приведенная теорема может служить для проверки на оптвмальность некоторого класса траекторий в ! .
Для выяснения вопроса о единственности зти; оптимальных траекторий можно использовать. папрпчср, следующий результат. Пусть известно, ч>о в 6 для любой начальной ТОЧКИ Х ~х Сг СУЩЕСтВУЕт Онтниаатин тРаЕКтОРИЯ Х* (1), 0 ( 1 ( 1,, ей соотвегствусг допустимое управление и" П). Обозначим о> (х) —. — 1,, (х), где 1„— минимальное время перехода пз то кн х в конечную точку х„.
Предполагаем, что функция >о (х) обладает указа>п>ымп вьппе свойствамн непрерывности. непрерывной дпфферепцпруемости. Пусть х* (1) — произвольная оптимальная траектория перехода пз точки ав в точку хго причем на интервале (1„1.) она проход>гт в области С. Т е о р е и а 3.3. Длл тгппгмальносп>и траектории х* (1) необходиз>о, чпгобвг поч>пи вс>оду на (1>, 1,) было выполнено условие а>„(х*(1)))(х*(1), и*(1)) = 1, х*(1) Е= С. (3.10) Докааательстзо аналогично доказательству теоремы 1.1 Веллмана — Болтянского (5). Пусть 1 — правильная точка управления и* (1) (см. (49), гл.
1), для псе Лх = ) (хв (1), и* 11)) Л1 + о (Л1). (3.11) Сдвигаемся по траектории от точки х" (1) к точке х* (1) + + Лх. В силу оптимальности траектовии получаем — о> (х* (1)) = Л> — е> (х* (1) -1- Лх). Функция о> (х) непрерывно дпфференцируема по х, поэтому >о (х* (1) + Лх) — со (х* (1)) —,'- о>„(х* (1))Лх + о (1 Лх )). Тогда Л1 — о> (х* (1)) Лх + о (1 Лх 1) =- О. Отсюда и из (3.11), при Л> — О. следует (3.10).
С л е д с т в и е. Пусть в некоторой окрестности точки х ~ С уравнение со, (х) > (х, и) . 1. и е= П (х), имеет единственное решенно й* (х). причем опо является -в непрерывным по х, а функция 1(х. >г (х)) удовлетворяет 252 импульснын хАРАктеР оптимАльных пеРРходов [гл н! условию Лппшица (! ! (х, и" (х)) — ) (х, иа (х')) /! ( й // х — х' ]. Тогда через точку х проходит единственная оптимальная траектория х* (!). Действительно, оптимальная траектория х* (!) н пп рестности точки т описывается системой (3.1).
в которон управление и* (!) удовлетворяет уранпешпо (3.10). т. ~ н* (!) =. й* (х (!)). По система х! ==- ((х П), й* (х (!)), х (Р) == .г, имеет единственное решение па некотором интервал, ! — Л! ( ! =.' п( Л! !6). 1(оэтому через точку .7 проходит единствеш!ая оптимальная траектория. 4 4. О!Ррпмх;!ьный пеРехОД между ОРБптлмп тппл !. не НБРБ(жклю!цтгм!! ИАдлннь!х ГР !Пп!! гк1.
Лналпз возможного характера оптимальной траектории П данном случае и начальная. и конечкзя ороиты нп выходят за границы кольца: ~эп!и ( ! пк ( Гап ( ! пып Гм!и ( гпк ( Гак ( Гпык. На основании лемм 2.4, 2.6 при оптимизации перехода можно считать, что оскулирующая кеплеровская орбита будот всегда лежать в кольце К: гпп!и ( гп (и) ( га (и) ( гюп, О ( ю ( ю . 4.!) ( Поэтому а течопие всего перехода точка не выйдет за пределы кольца, будут выполняться условия (1 1).
Управлякы щий параметр г(и) удовлетворяет, в силу (1.6), (4.1), условию г„(ю) ( г (ю) ( г, (и). Множества Т!!! и Т!'" будут совпадать. Траектория, о~ тимальная во вспомогательной задаче (2). будет оптимальной и в основной задаче (1). Согласно лемме 2.6 прп оптимизации можно ограничиться рассмотрением переходов, для которых функцкя $ ы ОптимАльныи пеРехОд между ОРБитАми типА 1 абз га (и.) монотонна плн имеет один внутренний максимум.
В первом случае достаточно рассмотреть оптимальный переход между исходными орбнтамп на множестве траекторий, для которых г„(ш) (( щах (гак, гак). (4. 2) Рассмотрим сначала в п. 4.2 зтот случай. Затем в и. 4.3 рассмотрим случай, когда допускается неравенство Г„(Ж) ) ГааХ (Г„„Гак). 4.2. Анализ траекторий с монотонной функцией г„(се) 11е ограничивая общности, будем считать, что ~ан ( ~ к.
(4.3) В первую очередь разберем переход между орбитами, для которых Гщ~к ( гкн ( ~ ак (4.4) затем — случай ~ ак (( Гкн ( Гак ( Гак. (4 ") 11окажем, что при условиях (4.2), (4.3) оптимальным будет двухимпульсный переход пн - ик. Для него пер вый импульс (О (( и (( ю,) — ускоряющий, сообщается в перицентре начальной орбиты, получается промежуточная орбита, перицентрическое расстояние которой равно начальному г„н, апоцентрическое — конечному расстоянию г „.
Второй импульс (ж, (( ж (( и к) сообщается в апоцентре атой орбиты, он изменяет перицентрическое расстояние до конечного г„к. В случае (4.4) он будет ускоряющим, в случае (4.5) — тормозящим: г„(ю) = — г (ж) = ган, Т (и) = 1, О(( и (( ю (га (ж ) .= га ), (4.6) га (ю) = г (ю) = Гак 7' (ж) =- з!ьп (Гкк г, и) ю, (ги((и~„.
(4.7) 4,2.1. Рассмотрим сначала вариант Гкн ( гкк. (4.8) Обозначим через 6 следующее множество в фааоеой плоскости (г, г ). на котором надо найти оптимальный 254 ИЪ|ПУЛЬСНЫИ ХАРАКТЕР ОПТИМАЛЬНЫХ ПЕРЕХОДОВ ИГЛ. П4 переход между заданными орбитами (см. рис. 3.2): Гт~п ( Гп ( га ( Ган. (4.9) Сразу отметим, что в данном случае Ф.Я) рассмотрение мо'кпо ограничить траекториями, 44 для которых г„ (4.10) гп (ю) ( г„, Действительно, функция г„(ю) пе имеет внутренних максимумов, гп (О) ( гп (~ек). Отсюда следует (4.10). Поэтому для оптимизации перехода в с при условии (44.8) достаточно вместо С рассмотреть его подмножество С, (см. рис. 3.2): гм г„„ га Рвс.
3.2. Фаэпвмп множества в пппскпптп (г, г„), Гнпп-(Гк ( Г.к (Г„п, (4.11) гк -( г„ ( г„п. Его границу Г рааобьсм нп гладкие куски: Г4 = (гп = гнпп гпнп ( га ( гак) Гп (га ' гак цгдп ( гп ( гпк)~ 1 з = (гп = гак гпк ( га ( гак) Г4 — — (Е = О, пап ( р ( „к), Через С, обозначим открытое множество С,! Г = (г,„;и ( ( г„( г„к, га ( га ( гак). Движение точки в фазовой плоскости (Х, Е) удовлетворяет системе (1.3), в перемен. ных (р, е) при е ) О, р ) 0 — системе (1.9). Обобщение этих уравнений на случай скользящего режима [3) очевидно. Проверим, что для данного управляемого движения в С, выполняется условие а). 1(з лемм 2,1 — 2.3 следует. что справедливы следующие утверждения, доказывающш свойство а) для дуг ÄÄГв. 1.
Если в двух точках ю' и шк траектория выходит на границу (> = г ж), то оптимальный переход между соответствующими орбитами Т' и Т" совершается с помощью одного апсидального импульса в перицептре, прп В в! ОптимАльныИ пеРехОД межДУ ОРБитАми типА в 255 ЭТОМ г„(и) = го,во, ш' ( во ( и" ( и".
Отсюда следует, что па границе Г, может быть липп один отрезок, 2. Гслп в некоторой точке и' траектория выходит на границу (г„ =- г„„), то дальпейшвш оптимальный переход в конечнуво точку зк совершается с повющью одного апсидальпого ившульса Б апоцептро, при этовв г„(и) =— ..- г„к. Поэтому ка границе Г, и границе Гв (г = г „, г,„„( ( гк ( г„„) может быть лишь один отрезок (замечание относительно границы Гв относится к случаю (4.5)). 3.
Если траектория х (и) нз области Св выходит на границу г„.— го„, то в дальнейшем переходе должно быть гк (во) — гок иначе функция г„(и) будет иметь внутренний максимум. Поэтому оптимальная траектория может иметь не более одного отрезка (или двух, если г„„=- г а) на границе Гз. Л е и и а 4.вв. Для любой допустимой траектории т (и), 0 ( и ( и,'„, любого е ) 0 суи)естеует допустимая траекхпория л (и), 0 ( и ( и„, такая, что х (0) = х (0), х (й„) ==. х (и„), е (и) ) 0 при О ( и ( и„и й„(и„+ е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
