Ивашкин В.В. Оптимизация космических маневров (1975) (1246627), страница 36
Текст из файла (страница 36)
СлеДОВатЕЛЬПО, СУММаРНаЯ СКОРОСТЬ сск УДОВЛЕтВОРЯЕт УСЛО- вию сок )~ ( (2Ек + (2)хгр/гс))Ч' — (2Ек + (2ргоlг1))Ч ( -= 1П(сок (получаемому из предыдущего интегрированием). Этот минимум 1П1 сок достигается только при управлении (2.3), которое и будет осуществлять оптимальный переход (2.4).
Граничные условия (2.1) выполнятся в данном случае автоматически. Э а и е ч а н и е. Условие (2.2) будет выполнено, если при переходе наложено ограничение гк (и) ) г,. Л е и и а 2.2. Пусть для исходных орбипс (направление движения по ним может быть как одинаковым, ток и различным) г к г к =. гг, гм1к ( гг (гмкс Тогда на множестве переходов, для которых г (1о) ( гг, (2. 6) оптимальным будет одноимпульсный переход, осуществсяелсый приложением апсидального импульса в общем апоцентре исходных орбит: г (со) =: г„ЯР (со):=О, Т,(со) = — сй(п (Ек — Ек) (2 1) для него к (1) 2 (2.8) Д о к а з а т е л ь с т В о. Возьмсп за фазовые координаты элементы Е, г„. Тогда для производной К!1дло получим оценку (дысо) == )г7'((г(ге.
Следовательно, сок ) (1к — Ак)/гг -- 1И1 ик МИПИМуМ П11 СОВ даетИГаЕтСя Прн уираВЛЕПИН (2.7), Н только при этом управлении. Граничное условие (2.5) автоматически выполняется в данном случае. Поэтому указанный одноимпульспый переход (2.7), (2.8) и будет оптимальным. ! 21 некОтОРые свойст1>А ОнтнмАльных НГРеходов 3 а м е ч а н и е.
Условно (2.6) будет выполнено, если при переходе будет валах!ено ограничение г ( ) ( г Игг приведенных лемм следуют свойства функций г«(го), г„(и>) в отношении максимумов и минимумов па них. Л е и и и 2.3. Пусть для некоторого перехода на отрезке и>, -( и: «-. и:г будет г«,ы ( гг (ю) ( г«шх. Тогда, если функция г (го) внутри етого отрезка достигает максимума, то данный переход можно изменить, уменьшив конечную характеристическую скорость.
Действительно, пусть существует некоторый отрезок (и>1 шг) и>1 ) гог >о' ( >ог на котором . (>ог) = г. (ю'):=- >«(и) ) г, (гог), го. (,, и».). Обозначим орбиты при и ==- и:, и го =- го, через Т,. и Т, соответственно, у«„)г«, — их перицептрические скорости. Рассматривая орбиту Т, как начальную, а Т, — как конечну!о, оптимизируем переход пожду этими орбитами в соответствии с результатаип леммы 2.1. Ои будет осуществляться на отрезке ~ "« — 1'гг! ( "'-' Функция г«(и>) будг*т на нем постоянна, см.
(2.4). Оставив без изменения последующий переход между орбитами Т, и Т„, получим утверждение леммы. Пусть Пг — множество допустимых пореходов между заданнымн орбитами, каждый иа которых обладает следующими свойствами; а) если множество (ич >.„««( г«(ш) г, >ш,) не пусто, то оно есть точка плп один о>д>озогг, причем если г«гг„( г««( г«,»,, г,»«, ( г«« - г,««, то г«»» ( г„(и>) ( ( г„„,г. (> < и' ( «Ы. если Н ( г„«( >,„;». г,г»«( г«гг( ( гшг,, то г«(и>) >'шш при ш и'1. >» (го) .: (>ш~» > ша'! 2аге ИМПУЛЬСНЫИ ХАРАКТЕР ОПТИМАЛЬНЫХ ПЕРЕХОДОВ ИГЛ.
П1 пРи ю Е=- ]иг„игк], если 1'пк ( Гппп Гпк ( Гпггп то Г„(ш) ( гпггп, О ( иг ( и'к, б) на этом отрезке функция г„(ю) монотонна или достигает один раз минимума (внутреннего). Поясним свойства множества 111. Условие а) означает, что не может быть ситуации, когда два отрезка, па кото- РЫХ Г,пгп ( Г„(гс) ( Г„„, РаЗДЕЛЕНЫ ИНтЕРВаЛОМ, ГДЕ г„(и) ( г„„,. Прп этом возможны три случая. Если перицентры обоих исходных орбит лежат в кольце, т. е. Ггп!к ( Гпггос ( Гмпк, ТО Н ДЛЯ Л1060й ОСКуЛИ]эуЮщвй орбиты перицсптр не выйдот за пределы кольца. Если же для одной из исходных орбит, например начальной, будет г„гг ( ггп и, то весь переход можно будет разделить на две части: на начальной будет г, (ш) ( г„,,п, па конечной— Гтгп ( Г„(иг). Наясисц, ЕСЛИ дЛя ОбЕНХ ИСХОДНЫХ ОрбИт г„( гх,„, то и для любой текущей орбиты перицентр не войдет внутрь кольца.
Условие б) означает, что внутри отрезка, на котором гкап ( г„(ш) ( гпгпк, функция г„(го) не может достигать максимума. Из непрерывной функции г„(ш), из лемм 2.1, 2.3 легко следует следующий результат. Л е м м а 2.4. 1?ри оптимизации переходов между орбитами во вспомогательнои задаче достаточно рассматривать множество перехооов йн Рассмотрим теперь функцию га (иг). Л е и м а 2.5.
Пусть для некоторого перехода между заданными орбитами на некотором опгрезке го, ( го ( го, будет гппп ( га (ггг) ( 1 пгп' Тогда, если функция га (иг) внутри этого отрезка достигает минимума, гао данньгй переход можно изменить, уменьшив конечную характеристическую скорость гок. Действительно, если функция г„(ш) на некотором отРезке, лежаЩем внУтРи отРезка (ю,. гог], Достигает минимума, то га (ггг1) га (игг) Г~ (иг) ( Гг ЛРН ш г: (го1 гог) ° Пусть апоцентрические расстояния орбит Т, и Т, при го = ш1 и иг .= гог соответственно ]гавны ]Гаг и Уап.
Опти- х 3! О ДОСТАТОЧНОМ УСЛОВИИ ОПТИМАЛЬНОСТИ З47 мизируем переход между орбитами Т, и Т, в соответствии с леммой 2.2 и замечанием к пей. Он станет одноимпульсным, будет осуществлен на меньшем отрезке [( ( "= '+ [['., — ['.,[< >' Функция г, (и!) на пем постоянна, см. (2и8). Остальной переход Т, -и Т„ не меняем, тогда весь переход Т„ -~.
Тк будет осуществлен при меньшем значении скорости иъ = и!к — (!сх — шх). Лемма доказана. Пусть теперь Р, — множество переходов между данными исходными орбитами, каждый из которых обладает следующими свойствами: в) если множество (ич г„в ( ги (в) ( гвах) не. пусто, то оно есть отрезок или точка, причем если гин и: [гппп1 г~пах[1 гик Е [гв!и !'вах[~ то ги (!а) и= и= [аппп1 гп1ах[ О ( и! ( !ак Есан! аин Е [гв!п~ гвах[~ Зин < евах~ те !и (!с) С: [>в!и гвах[ при О ( !а ( и!м зи (и!) '( евах ПРи !с! ( и! ( !ск~ если гин ( евах гик ( евах то зи (!с) ( в~пах О ( !с ( !ак.
г) на етом отрезке функция г„(!с) монотонна или достигает один раз внутреннего максимума. Свойство в) переходов Р, относительно функции г„(т) аналогично свойству а) множества Р, относительно функции г„(и). Свойство г) означает, что внутри отрезка, на котоРом гпнп ( ги (!с) ( гвах функЦНЯ ги (и!) не может достигать минимума. Из непрерывности функции з„(и!), лемм 2.2, 2.5 следует Л е и м а 2.6. При оптимизаиии переходов во вспомогательной задаче достаточно ограничитьсл рассмотрением мноз!сества Р,. Анализ оптимальных траекторий надо, следовательно, проводить на множестве Р, П Ра переходов, обладающих свойствами а) — г) множеств Р, и Рх.
й З. О ДОСТАТОЧНОМ УСЛОВИИ ОПТИМАЛЬНОСТИ ТРАЕКТОРИЙ В ЗАМКНУТОМ МНОЖЕСТВ!'' ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА Существует ряд критериев оптимальности в форме достаточных условий. Это условия Беллмапа, Болтянского, Кротова н др. ([1) — [5[ и др.). Ниже будет применен критерий оптимальности в форме Беллмана — Болтянского, 248 НМПУЛЬСНЫИ ХАРАКТЕР ОПТИМАЛЬНЫХ ПЕРЕХОДОВ [ГЛ. П1 несколько измененный примепетельно к траекториям рас сматриваемого типа, лежащим в замкнутом множестве фазового пространства. Для определенности будет рассмотрен двумерный случай, нужный для дальнейшего. Пусть 6 — открытое связное мнол;.ство на плоскости, à — его граница, 6 = 6 () à — замыкание 6, хз Е= 6— фиксированная точка.
Граница Г состоит из нескольких гладких кусков (дуг) Г!. Если т; — соответствующие параметры на граничных дугах, то х = 1р! (т;), т11 ~( т! ~( т!ю — уравнения этих дуг. Пусть в 6 осуществляется управляемое движение х(!)~ х (1) Е '61 0 С Г~( 1В~ х (0) = хз х (гз) = х„, хн чь х„. Аргумент 1 условно будем называть временем.
Траектория х (0 переводит фазовую точку из начального состояния х„в конечное состояние х„. Минимизируемый функционал — время перехода 1„. Движение в 6 происходит в соответствии с системой уравнений: г!хаас!! = — х! = ~ (х (1), и (!)), и (!) ~ П (х (!)), (3.1) адесь и далее штрихом будет обозначаться производная по аргументу (или компонентам векторного аргумента), указанному в нижнем индексе. При этом движение по граничной дуге Г! будет описываться уравнением т1! =- !р1(т; (!), и П)), и (!) Е= 6! (т! (!)), (3.2) порождаемым (3.1). Функции ~ (х, и), 181(тп и) непрерывны по совокупности аргументов, функции и (!) принадлежат некоторому допустимому классу измеримых функций, например, кусочно-непрерывны, 6 (х), 41 1(т1) — ограниченные замкнутые множества.
Рассматривается управляемый процесс, обладающий по условию следующим свойством: а) Если некоторая допустимая траектория х (!), 0 ~( ! ~( г„, имеет на границе Г множество, более богатое чем конечное число отрезков, то при любом е ) 0 управление можно изменить так, что новая траектория х (!), 0 ~( ! ( гю х (0) = х (0), х (!„) = х (г„) останется допустимой и будет иметь на границе Г не более чем конечное число отрезков, причем (3.3) г„~( г„+ е. г г1 о достаточном головин оптимальности Ззз Для данного управляемого движения будем отыскивать оптимальные по быстродействию траектории перехода из точек множества С в заданнук> конечную точку х„>= С. Справедлива следующая теорема. Т е о р е и а 3.2.
Пусть на множестве ( построена непрерывная функция ю (х), х ~ >л, такая, что (3.4) ю(х„) =-О, в С функция ю (х) непрерывно дифференцируема по х, причем для любой точки, х ~= С зпр ю„(х)1(х, и) =- 1, (3.5) л~~>чх> внутри граничных дуг Г; функция ю (х (т;)) непрерывно дифференцируема по т;, причем для любого значения ти т>1 ( г> ( т>2 зар ю, (х (т;)) >[>з (т;, и) ( 1. (3.6) »ЕУ> > Пусть длл любой точки хг ~ С существует допустимая траектория х* (с), О ( > ( гю для которой >г = — ю (х„), х* (О) =- х„, хз (с„) = х„. Тогда эти траектории х* (е) осуществляют оп>пим льнь>й по быстродействию переход в С. Доказательство будет аналогичным доказательству В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
