Ивашкин В.В. Оптимизация космических маневров (1975) (1246627), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Д о к а а а т е л ь с т в о. Пусть х (и), и ~ 1 = = [О, ик[ — произвольная траектория перехода. Для нее и (во) — управление. Л = (и: е (го) = О) =- множество точек с нулевым эксцептрпсптетом. Пусть сначала е„) О, е, ) О, шах е (и) = — е* ) О. Возьмем произвольное малое число е, 0 < е < ппп (е„, ек). Тогда Р =- (и: 0 ( ( е (и) ( е) — не более чем счетное множество интервалов 1; (ив ( во ( и'), покрывающих Л, причем если [в1; = и," — и:; — длина интервала 1;.
то ~' р1,. (и, На множестве 111' будет е (и:) ) е ) О. Построим новую траекторшо перехода т (и), для которой е (и) ) е ) О. Пусть вс,' ( и ( и,: — отрезок г'о па его концах Х (и[) = = Е;, Ь (и') = Ь;, е (и ) = е (и' ) = е. Без ограничения тхп нмпульсныи хлРАкткРО!лтимхльных пкгеходоа1гл. м~ общности можно считать, что Ь;: ) Ул. На интервале Р, заменим в управление! и (~г) функцлио д (ил) новой д (ю) так.
чтобы еле!еллг =- 1 Г ! Ь зпл л9+ (1 + — ! Т соз л9 .[- е — Т~ — О [лга (если управление на /! имеет вид скользящего режима [3], то указан!лил! образом выбираем каждое базовое управ- леяио л9И). Тогда на отрезке Х! будет е (ю) == с. При этом можно считать. что функция Т (и) монотонна, например, Е„( Ь (ш) ( Е;. Поэтому, в частности, аесь новый пе- реход осуществляется и кольцо, выполняется ограниче- ние (ес!).:)дел!опт ! и моменту и' будет несколько отли- чаться от Л;. так как теперь изменилась производная е(гуе[лг. Оцепим изменение И.!лйл (с помощью (1.3)); л! ( — — "" ) ~ еЬе =- Т)(1 + е сох б), Т '!' (е!е) соз л9 — солд — =- Тс 1-,'-е.еозо 1 ' есо'б (1и зсолл9)(!+есолл9) 1( — [ле !'ь) !( — и„!!)] 2 2 л!а; ии ~ (1 — е)' (1 — ел)л е (еег Отсюда получим Р~ и [лео — — — ( Г лс (ид — ит).
2 В момент и,: л' (й ( и'. если равенство !.. Ь7 достигается до момента ю',:) получена орбита 7 , для которой е', = с, ] Г., — Ь; ] ( С,е (ю, — и;), С, — константа. Вследствие произвольной малости е, орбита 7';. близка и Т;. Осуществим теперь хомановский переход между орбитами Т, и 7; с помощью двух малых импульсов с суммарной величиной ели>л, при атом будет е(ю)) е, ела, ( Сз ] Х; — Е ! ] =- Сле (ю[ — гг';) и выполняется ограничение (4.1).
! 11 оптпыАЛьныи шгРК ХОД МЕЖДУ ОРБИТАМП ТБПА 1 259 Таким образом, переход мегк!у орбнтачп Т; и Т,, осуществлягчый по тргггигтггригг х (и). заменили другим переходоч. для которого е ) е. ои удовлетворяет наложенным ограничениям. реализуется на отрезке ге; ( и ( ( и.' + С,з (а.' -- гг';). Лроведем апалогичиукг процедуру со всечи отрезками Т,.
Общее увсличшиге суммарной скорости составит Аи', .ь САЕ,Х (гг — ггг) ( ( еегг'ги г —.-! г Для новой траектории иолучпч ю„( и;г ' С,ек „- (1 -1 С„е)т„. (4.12) Ана.логично можно доказать утверждение (4.12) и в случае ек — О (е„= —. О). Ла провзрьированной траоктории будет е = О лишь при и: - О (га == ш„). Однако в последнем случае, при наличии отрезка е (иг) .=-- О, легко докааать более сильное утверждение: переход е (и) =: — О менее экономичен (ио хараг;теристпческой скорости и„), чем дзухимпульспый хомановский переход, для которого е — О лишь в начальной и конечной точках. Этим доказана справедливость леммы и выполнимость свойства а) управления, постулированного ирп формулировке теоремы о достаточном прнзпш;с оптимальности. Лерейдем к анализу функции ы (х). В качество такой функции рассмотрим характерпстическуго скорость двух- ИМПУЛЬСНОГО ПЕРРХОДа Ли — г- аи.
ВЗЯТУЮ СО ЗиаКОМ МИНУС: ы (х) =- †г (х), го(х) = ~, — "" (1-',— е) — 21,г — 'е,— К„„(4.13) Р Ре где 2г и гг--г г--- г -,'-11' ' !1 г ' ' 1 $- (4.14) гг ~" г через Л обозначено копсчпоо апоцептрическое расстояние г,„, Р,„— скорость в апоцентре конеччой орбиты. 9 В. В. Неешигггг 253 импул! оный хАРАкткР оптиыАЛ! ных ПЕРГходов [гл. и! В конечной точке ю (х„) = О.
Рассмотрим функции> Яс (х, и) = ю„'-) (х, и). Учитывая (1.3), получим ЯТ = о>ь)ь + юг(к =- ю>.гТ + юй (Ъ'>Т + )г,о). (4.15) Здесь и для дальнейшего полезна Л е и и а 4.2. Если ю (х) =- >о (Ь, Е), то >йунн>>ип х>. (х, и) =- ю,.) (х, и) максимальна по и = (г, >р) при ос>ном из крайних значений»опустимого с>иапазоно (1 б) расстоя- ния г.
Определим п>ах ЯТ: з,т ,Ж =- ТНт + ЯНя~((Нт Р Н.,)'-', (4.16) Пт = опг+ >о»1 (г, Пз == о>к)г, Этот максимум ил>еет место при Па Пт (Пт причем >пахЯ = (2ык(Еюк+ Ео») Р(о»)'г'-Р (>ок)з2)>го>г)"*. гь т Подкоренное выражение образует вогнутую функцию г, которая может быть максимальна лгнпь при крайних значениях расстояния > . В данном случае, для перехода типа 1 1 максимум Яг будет иметь место при » --о= р~(1 ', е) или г — > „- р>(1 — е). В обоих вариантах будет Г.=О,На=О,о=О,Т=-~1=а>япНт, тогда Я~ = ~ Нт ~ = ТНт, Ь = > >а>Т Е = ) ма>Т р 2 г ! >Т >г и 'Го ''='1~ .,„" '=(-1, .=..
/ „) 1, г-.—.г,, 1 11 ОПТИЫАЛ1 НЫП ПГРКХОД МЕЖДУ ОРБИТАМИ ТИПА ! 259 для определения 1пах яг рассмотрим два выражения: ОЯ,Т Н„! Нт (г 1'„) ! — ! «11/'„+ «1111 1г„!, П„=- ! Н1 (г — г„) ! — , '«11г + 11к1,1г„!. Определим производные «11, ю11 О1ри е . О): «1,, — /, — — '",;,' г, !А,,эе. Если г —.. г, Я=Н, то Следовательно, при минимальном расстоянии г =- 1„ пэахЯ(г — 1 ) — 1, э,т (4.17) оп достигается при О' О, Т-1.
(4.18) Пусть тепер1, г = 1„, Я = П„. 11 этом случае, после не- больших преобразований, получим Нт = ! (2Л ! ~' 1 + е) + е — 3 )1'(1 — е), О < е < еэ < 1, Л вЂ” (2 — еэ)$/1 1- е, Нт = ((2)Т27у"1 + е) + е — ЗИ1 — е). Оно превышает — 1 при е < 1. Поэтому — 1<НТО =г„)<1 (4,19) при г < ем г < Н.
Из (4.17), (4.19) следует, что в Так как ЛЛ/пеэ — — Зе.,)2! 1 + еэ < О, то максимум Нт соответствует минимальному значенна1 ам При е= еэ (г, =- Н) будет Н, -- Т ='= 1, б(инимальное значение Нт соответствует предельному значению еэ = — 1, при этом 260 пъ>пульсныи хАРАктеР Опт1Н1Альных пеРехОдОВ ~гл.
1и области 61 (4.2О) п>ах о>„7'(х, и) = 1, он достигается при приложении ускоряапцой тяги в шрицентре (вдоль скорости): > (и) = >„(т), 5'(и) -- О, Т (и) --= 1. (4.21) Рассмотри>а> изменение функции ю (х) па границах 1',. На границе г„=- >„н зта функция вырождаегся в следун>- щую: 1н (г„. » !1) так как здесь р, =- р, еа =. е, Р„= (рг../р)' (1 — е). Возьмем за злемекты системы д.
г,. тогда, в силу услоноя г„=. г„„= 11, злшпнт Ь. будет параметром па границе Гм н полу шм н >' Ж = 0)ь>>ь = — 1'Т = — Т ( 1. РЕ Г„„ Максимум ль, равный едпщщс, пмеот место прп > = г„:— = г„н, Т =- 1, т. е. При сообщении ускоряющей тяги в апоцеитре. Аналогично, па других границах буд>т Яг ( 1.
Функция ю (х) удовлетворяет, таким образом, условиям теоремы 3.2. Рассмотрим траектории х* (и>) двухимпульспого апсидал>ного перехода (4.6), (4.7) вида п„— ~- ан. Для любой начальной точки в с> фааовая траектория такого перехода идет полностью в с>1 (см. рис. 3.2). Опа состоит из двух дуг: по первой дуге (>„:= г„„) точка идет до границы г„: г„>, по второй дуге (г„= — г„н) фазовая точка доходит до конечной точки хн. 1".Слп ен ) О, ен ) О, то вся траектория лежит во множестве е ) О.
Если е„=: О или е„= О, то лишь в соотвстству>ощпх граничных точках траектория лежит па грашще е =- О. Для такого перехода суъимарная харнктсрпстичссеая скорость >Р„=- (1 „— (:нн) + ()Гни — Г„Е) .=- — О> (Хн), Из теоремы 3.2 следует, что отп трнокторпи оггпы>альп1,1 в О1, гДе г н ( г„н, и, в сплУ псРвоначнльпого замечнпиа с 11 оптимАЛЬНЫП пеРБХОД МЕЖДУ ОРИ1!ТА1Ш ТППА С ЗЗ11 о связи оптимальных решений в С и Сс (для случая (4.8)), они оптимальны в 6'-, т. е. при ограничении (4.2). Далео из единственности решения и" (х) уравнения шах,Ж (х, и) = 1 следует, что данные оптимальные трал скторип одппствеииы в рассматрпвасмс1й задаче.
С Л Е д С т В И я. 1. ЕСЛИ Глк = Г„к, тО Воя ОПЮ1ЧКЛЬ- ная траектория идет по гранино гл г,.„,, Прп г,„, ( г-к оптимальная траектории выходит иа эту гранспСу лини, в конечной точке. 2. На оптимальной траектории в С эксцептриситет е = 0 может быть лишь в начальной точке (если ек — —.: 0) нли в конечной точке (если ек .= 0). 4.2.2.
Случай глк ) глк. Обозначим через Оз следующее подмножество С (см. рис. 3.2): Глк ( Гл ( Гак Гсс ( са ( Га к. (4. 22) Его граница состоит из кусков: Г, =. (гл -- 1'. к глк ( (1 (1„к), Ге =- (1'а = 1ак 1'лк ( 1л ~~ 1ак) ГК = (Е = О, 1лк Ла Р (1ак). По предыдущему следствшо 1 оптимальная траоктория из точки, лежащей на Га. Идет по этой грашще в конечную точку хк. Поэтому в данном случае оптимальная траектория, начинаясь во множестве С„не выйдет нз пего. Поэтому все рассмотрение можно провести в См этого достаточно, чтобы определить траекторию, оптимальпусо в Ь: 'си1 и, = си!' и„., глк) глк.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
