Ивашкин В.В. Оптимизация космических маневров (1975) (1246627), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Глубокий смысл етого интересного свойства, а также факта появления двух решений в переходе типа П П1 выявляется в гл. П1. ГЛАВА 111 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ИМПУЛЬСНОГО ХАРАКТЕРА ОПТИМАЛЬНЫХ ТРАЕКТОРИЙ ПЕРЕХОДОВ МЕЖДУ КОМПЛАНАРНЫМ11. СВОБОДНО ОРИЕНТИРОВАННЫМИ ОРБИТАМИ ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА РАССТОЯНИЕ ДО ЦЕНТРА ТЯГОТЕНИЯ В данной главе доказывается, что на оптимальных траекториях переходов меду компланарными, свободно ориентированными орбитами прп ограничениях па расстояние до центра тяготения сообщается конечное число импульсон. Доказательство проводится решением вспомогательной задачи, п которой ограничение па расстояние наложено лишь для точек приложения импульсов или тяги. Приводятся свойства оптимальных решений во вспомогательной задаче, достаточный критерий оптимальности.
Сначала решается задача оптимизации перехода между орбитами, не пересекающими заданных ограничений. Затем определяются оптимальные переходы в случае, когда хотя бы одна из исходных орбит пересекает ограничения. Во вспомогательной задаче решение часто бывает неединстнеппым, при этом из всого множества оптимальных траекторий (эквивалентных по функционалу) выдоляются две траектории, реализуемые (и оптимальные) в основной задаче. На основании решения вспомогательной задачи определяются оптимальные переходы основной задачи. Онн все имеют импульсный характер.
Поэтому на траекториях мпогоимпульсного перехода, полученных в гл. 11, достигается абсолютный минимум функционала — суммарной характеристической скорости. 1 1. ВВКДЕНИЕ ОГРАНИЧЕНИИ НА АНТИВНЫГг ТОЧКИ ТРАЕКТОРИИ ПЕРЕХОДА (ВСПОИОГАТКЛЬНАЛ ЗАДАЧА) Назовем сформулированную в главе 11, з 1, задачу основной.
Определяющим для нее является ограничение: гв!и ~( ~ (1) ~~ с~пас ° (1.1) Эту задачу для краткости иногда будем называть задачей (1). Множестно переходов между заданными орби- ! !) ВВЕДЕНИЕ ОГРАНИЧЕНИИ НА АКТИВНЫЕ ТОЧКИ Злз тами, удовлетворяющих условиям основной задачи, обозначим через Т~г!. Наряду с этой основной рассмотрим близкую задачу, которую назовем вспомогательной. Она отличается от основной следующими двумя факторами. 1) Ограничение па расстояние до центра тяготения накладывается теперь только в тех точках (или дугах) траектории, в которых сообщается импульс или прилз гается реактивное ускорение (тяга). Такие точки, дуги г)у г будем называть активными точками, участками траек- у торин. Только па них меняется характористическая скорость и элементы орбиты.
Пассивные дуги траектории, на которых тяга и импульсы не прилагаются и на которых элементы орбиты, характериСтичеокаЯ СкОРость пе пени- Рис. 3.1. Траектория перехо;а ются, могут выходить за пре- мемеду орбитами в рамках всподелы кольца К =- (г ю ~-. могательиой задачи. ( г ( гя„х) (рнс. 3.1). 2) Допускается многооборотпое движение по орбите, даже если она незамкнута, т. е. Е ~ О *).
Пусть текущая характеристическая скорость получает малое приращение от ш до ш + г(ш (г(ш =- ~ г)г' ~ или г(ш = (й) в активной точке И (и) на расстоянии г (ш). Тогда вместо условия (1.1) теперь, во вспомогательной задаче, будем иметь условие гя„„( г. (иг) ( г „,,„-, О ( ш ( и „. (1.2) Математически переход от основной но вспомогательной задаче означает изменение аргумента: аргументом движения становится вместо времени характеристическая скорость (или расход топлива). Фазовыми координатами *) При Е) 0 зто прсдмоложеиие имеет чисто математический смысл, приводя к возможности вклгочепия двигательной устаиовкп (ДУ) иа любой (восходящей ияи нисходящей) части орбиты в кольце независимо от того, где было предыдущее включение ДУ. Р40 1Ы1ПУЛЬСНЫП ХАРАКТКР ОПТИМАЛЬНЫХ ПВРЯХОДОВ 1ГЛ.
П! теперь будут элементы орбиты, например, константы площадсп /, и зкергип Е, х =- (Е, Е). Траектория движеПня Овргдо:1итея ВСКтОр-фунКцией Х (1и), О ( 1и ( 1ие. В псрсмспоых /.. Е двп;копие будет описываться системой г1 /, — = г(и) Т. (1и) = — /1,(х(ш), и(и:)), — = (г„(и) Е,(ги) -, '(',(и) ТР(ги) =-=-/к (х(и), и (1г)). ! Здесь «р — угол наклона реактивной тяги (импульса или ограниченного реактивного ускорения) к трапсверсали, ТР = соз гр, ЯР =- еш «р — трансверсальпая и радиальная компоненты единичного вектора вдоль реактивной тяга (иногда индекс ««р» будем у пих опускать), р г .= р,= — ' 1+ «Г„' г г ГГРгс . Г, ХР Р й« (г„== 1 г — 'еЕЬ = 1/' 2Е + — — — 'а1ип)г„ ~/г Р ' )гг г 㫠— радиус, трапсворсальпая и радиальная компоненты скорости в активной точке, Та .=- соа д, Яе = е«п д, д — пстпнпая аномалия, т;,+К вЂ” -1.
(1.5) Заметим, что в уравноппях (1.3) можно считать, без ОГраППЧЕкпя ОбщНОСтц, ЧтО (Гг (1и) ) О. ДЕйетВИтЕЛЬНО, если в некоторой точке Гг =- )г, (О, (', = — )г1, г = г', Т = Т', Я = Я', то, взяв Гг == — )г,, Е .—.— — Я', Т = Т', )г1 = Р1, г =- г', получим те жо значения производных /ь, /к, т. е. элементы Е, Е изменятся одинаково при сообщении одного и того же импульса Йи как па нисходящей, так и на восходящей ветви орбиты. Зто соответствует сообщению тяги в точке орбиты, симметричной с исходной относительно 1 13 ВВВДВНИВ ОГРАНИ«1ВНИЙ НА АКТИВНЫЕ ТО«1КП п1ах (г„, гкю,) ( г (и!) ( п!ах ' (е,„, г«,1„«).
(1.6) Начальпым фазовым состоянием будет точка (1. 7) х (0) = хк =- (Ею Е„), х (и'к) = хк =- (Е«Е«). конечным Будет рассматриваться задача оптималыюго по быстродействию перехода точки из начального и конечное состояние. В переменных х = (р, е) движение будет описываться системой (при е ~ О, р =~ 0) (1.Р) х (0) =- х„ = (рк, е„), х (ш«) = х, = (рк, е,). Иногда в разных частях фазового мнол«ества будем использовать разные координаты. Вспомогательную задачу будем называть иногда для краткости задачей (2) по основному ограничению (1.2). заменяющему условие (1.1).
Множество переходов между заданными орбитами, удовлетворяющих условиям этой аадачи, обозначим через Т'н!. линии апсид. Тогда )г, ) 0,)г„= (2Š— —:, + — !! . Поп- Фр этому точку на орбите, в которой сообщается тяга, можно однозначно определить расстоянием г (!Р). Управляющими параметрами будут параметры, определяющие на орбите положение активной точки и наклон тяги к трансверсалн. Можно Взять, например, и (г, 1р), = (1., Ь„, Г,), нли и - (д, 1р), Влн и = (Е1„Т, Я„, Т,).
Управление и (и!) Реть кусочно-непрерывная вектор-функции. Параметры Ьк, Т, удовлетворяют единственному условию (1.4). На параметры г, Яр, Та, кроме (1.5), наложено ограничение, вытекающее из (1.2): 242 импгльсныи хлвлктвв оптимальных пввнходов (гл. и! Пусть для перехода между заданными орбитами в рамках основной задачи обозначено (!) )п(>ок = (ск тн) а для вспомогательной задачи, прн тех же исходных орбитах, И!) )и! юк =- и'к г('!) Каждый переход основной задачи удовлетворяет усло- виям вспомогательной задачи, поэтому Т") С Т"", следовательно, (1.10) Предположим теперь, что найдена оптимальная траектория Т,„, вспомогательной задачи, причем для нее (П) (и] (!) и>к — и)к ~( юк ° Если вся траектория этого перехода лежит в кольце Е, т.
е. зависимость г (!) для него удовлетворяет условию (1.1), то Следовательно, в этом случае (П) (!) и)к — и)к полученная траектория будет оптимальной и для основной задачи. Получена Т е о р е м а 3.1. Если оптимальная траектория вспомогательной задачи (2) удовлетворяет условию (1.1), то зта траектория будет оптимальной и для основной задачи (1).
Этот результат оправдывает рассмотрение задачи (1.2) при анализе основной задачи. Пренмуп(ество вспомогательной задачи состоит в том, что анализ ее провести легче. Размерность фазового пространства уменьшена, к тому же можно теперь не пользоваться временем !при аадании ограничений и в формулировке уравнений дви- г г) яекотОРые сВОйстВА ОптимАлъных пеРехОдОВ 243 я<ения.
Кроме того, сообщение импульсов и конечной тяги описывается в задаче (2) одной системой обыкновенных дифференциальных уравнений (см. (17], 1311 — (37! гл. 1). Далее будет показано, что в большинстве случаев задания исходных орбит (для всех типов переходов, кроме 1Уа 1Уб и 1Уб 1Уа) обе задачи имеют одни и те же оптимальные траектории, управление на которых осуществляется прилон|ением конечного числа импульсов. Отсюда будет следовать импульсный характер оптимальных переходов в основной задаче.
План излолгения будет следующим. В 1 2, 3 будут рассмотрены общие свойства оптимальных решений вспомогательной задачи. Далее, в з 4 — 8 будут получены оптимальные траектории для всех типов переходов аадачи (2). Наконец, в $9 этн результаты будут использованы для аналиаа тех переходов основной задачи, которые не получены в рамках вспомогательной задачи. 1 2. НГКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ОПТИМАЛЬНЫХ ПЕРЕХОДОВ РАССМАТРИВАЕМОГО КЛАССА Установим ряд свойств оптимальных переходов во вспомогательной задаче, полезных для дальнейшего (некоторые из них, как будет ясно по изложению, справедливы и для основной задачи). Л е и и а 2.1. 17усть периуентрические расстояния исходных орбит равны между собой (и направление движения по обеим орбитам одинаково): гпап ( гг ( гып« (2.
1) г„« = г„« =. г, Тогда на множестве переходов, для которых г (иг) )~ г„ (2.2) оптимальным будет одноимпульсный переход, осуществляемый приложением тангенуиального импульса в общем перийентре исходных орбит: г (го) = г„Я« (и) = О, Т„(ш) = з)яп (Е, — Е«), (2.3) и и отак Р г„ (го) = г,. (2.4) Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем в качестве фазовых координат элементы Е, гп, Тогда для производной ит1 импульсныи хАРАктгР ОптимАльных пеРехОдОВ !Гл 1П сгЕ(асо справедлива оценка ( с(Е/а22о ! =- ( У соз сс ( ( У ( (2Е + (2)скр/гс))' -', здесь а — угол между векторами тяги и скорости.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
