Ивашкин В.В. Оптимизация космических маневров (1975) (1246627), страница 34
Текст из файла (страница 34)
$ 41 пАРы энеРгетически эквивАлентных пеРеходов 231 Функционал при этом не возрастет, так как ЛР', ( ЛУ, + ЛРз', Л(74 ( ЛР,,'+ Л1;. Следовательно, оптимальный переход (5.46) обладает не меньшим значением функционала шк = и)к, чем оптималь- )4) ный одно- или двух импульсный переход, для которого обозначим и к = )Р)„ )2) )4) юк ( п)к ° Равенство здесь возможно, только если граничные импульсы Лк'„Лк 'перехода (5.46) коллинеарны импульсам ЛР зз ЛР, неапсидального решения для перехода Т, — )- Т, (и граничным импульсам Л)'"и, Л)'к рассмотренного выше двухимпульсного решения (5.35) — (5.37)): ЛР ))Л к ) = Л ) з)(Л('з = Л)' н!Л1 к~ Лр 4)Л)гз Л1 з)Л~ з Л~ к/Л1 к В пРотивном слУчае бУдет и)кз ( ш, .
и) ко Для перехода 11 111 имеет место эта коллинеарность, оба решения эквивалентны. В остальных же случаях (в переходах 11 1Ъ'а, 1Уа 111, 1Уа 1Ъ'а), как легко видеть, направления граничных импульсов переходов Тк — ~ Тк и Т, ) Т, не совпадают. Решение (5.46) будет неоптимально. Таким образом, оптимальный переход между орбитами, граничные точки которого лежат па разных границах кольца, будет одно- или двухимпульсным (лишь для перехода типа Н Н1 одноимпульсное решение отсутствует, зато всегда есть четырехнмпульсное решение, эквивалентное двухимпульсному). $ В ПАРЫ ЭНЕРГЕТПНЕЕКИ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ПЕРЕХОДОВ Выше только что было показано, что для перехода типа 11?11 всегда имеется два энергетически эквивалентных решения: двух- и четырехимпульспое, см.
рис. 2.85. Существует несколько других пар эквивалентных (по функционалу) переходов. Прежде чем перейти к ним, сделаем некоторые замечания относительно двух решений перехода Н Н1. На рис. 2.88 и 2.89 приведены условно пегеходы пги своводнон ОРиентАции !Гл. и г;„г.„ лбе Рпс. 2.8Э. Зевпспмостп г (и), г„(м) для перехода тепе 11 1!!. фазовые траектории и зависимости Г„(и), Г„(в) (для случая Гпп ) О) для обоих решений. Фазовые траектории этих решений совпадают в начале перехода, при О ( сп( ( и", до момента ид достиясеяия оскулирующим апо- ~б~ центром внешяей границы Г, Г„(ю") = г, е (Т" = Те па рис. 2.83 — 2.85), и в гг конце перехода, прк и ( ю ( юв, начиная г с момента и~' отрыва гав оскулирующего пери- центра от внутренней ГРаНИЦЫ У, Гп (аз) = Гоаб Рпс 2.88.
Фаеовые траектории дпя (Т =- Т~б1) г„(и) ( перехода типа 11 111, <. с~пах ПРИ Гп (Ю), ' Гпкп ПРИ Ю ) Са'. г., Ппа отрезке [ю", и'[ осуществляется предельный переход типа 11 1П, решения расходятся. аю ЕСЛИ Гоп = стех И Гпя а !)и) =' г;„, то будет и" = О, сп;= юп. В этом случае оба"оптимальных решения М вЂ” +-ЛХп и ссп-е- лп (см. рис. 2.87) можно интерпретировать следующим образом. Переход ЛХп — ~ ЛХп можно рассматривать как переход типа 1Уа 1Ъ'а (5.35) между восходящими ветвями ЛХпап п лпЛХп походных оРбит, па котоРых 1г„) О. А переход ап — г л„можно считать переходом 1Ъ'б 1Чб (5.39) между нисходящими ветвями АМ„п н Мп„лп, на которых 1„( О. Видим, что в данком случае оптимальные переходы типов ГУа 11га и 1Чб 1Уб, порожденные одними и теми же коилеровскпеш орбитами, энергетически эквивалентны, хотя и пиен>т различнусо реализацшо. Интересно выяснить, сохраняется лн даппоо свойство в общем случае переходов 1Уа 1та и 1Уб 11гб'.
Априори ответ ниоткуда не следует. Пеэквивалентность переходов 1Ъ'а 1Уб и 1Чб 1т'а подтверждает, что, вообще говоря, восходящая ! 61 пагы энеггетп <есин эквивалентных п<<геходОВ 293 Рпс. 2.90. Фазовыо траектория длп переходов тппа 1Ча 1Ча и 1Чб 1Чб. Указанное свойство доказано. Заметим, что прп (Ч=- 2 фазовая траектория порохода 1Ча 11 а в плоскости Р (или Р,) является границей Р"„~~)(<~~)<~Р(Г<, Р<,~)г~~~) кривого четырехугольника, поро<кдоепого различкымп возможнымп кутяги< прихода пз точки Гв в точку Р к (1<;!! — к- У„) пРп е, =.= сопв<, е<: ==. сопз(, см. Рис.
2.36, и (<! <<!) 2.37, 2.90. Аналогично, траектория перехода 1Чб 1Чб и нисходящая ветви одной орбиты играют различну<о роль в оптимальном пороходе. Однако оказывается, что переходы 1Ча 1Ча и 1Уб 1Чб обладают интересным свойством энергетической эквивалентности (если, конечно, их соответствующие орбиты имеют равнь<е злемекты й, Е, т. е. являются различными ветвями одних орбит). Действительно, пусть Т,",, Т;; и То .
҄— восхо- (и<, !ю (о! (с! дящне п нисходящие ветви орбит Тп, Т, типа 1Ч, вересекающих обе границы кольца, см. рис. 2.86. Тогда переход Т<а> -к. Т<„" г' между восходящими ветвями будет переходом типа 1Ча 1Ча, а переход Т"! — ~- Т'о! между ппсходящи- Н к ми ветвями — переходом 1Чб! 1Чб. г(и В обоих случаях начальная точка га р <к (р'„и) принадлежит одному и тому ке множеству Л!< (М;), оптимальные переходы будут одноимпульспымн (с одинаковой фазовой траекторией) или двухимпульснымя(с различными фазовьм<и траекториями, по одинаковыми параметрами ее, е., рис. 2.90). Характеристическая скорость перехода и<к будет одяа и та же и прн Л( =- 2, как следует из анализа переходов типа 1Ча 1Ча, 1Чб 1Чб (5.35), (5.39).
Действительно, в случае перехода 1Чб 1Чб будет Р;о1;, = Р<„Р<вм Р<, )<к, й <аув — Р,а)гк . Поэтому, ччитывая (3.5), полу- чим ПЕРЕХОДЫ ПРИ СВОБОДНОЙ ОРИЕНТАЦИИ (ГЛ. П образует другую границу г'внр'~',~У~„'~ (Г~ИР('„~'г'~„'~) этого множества. При г„и — г,„, г„в -ь газа переход типа 1Ч1Ч выливается в переход типа 11 111, а указанная эквивалентность переходов 1На 1Ча и 1Чб 1Чб приводит к э к в и- валентности двух-и четырехимпульсн ы х р е ш е н и й и е р е х о д а т и п а 11 111.
Другие частные случаи перехода 1Ч 1Ч приводят к другим эквивалентным парам оптималы(ых переходов. Рассмотрим их. Рве. 2.91. Предельный слу- Рис 2.92. Фааовые траектории чай переходовтипа 1уа 1уа для переходов типа 11 1уа и и 1Уб 1Уб прп г.„-- г,„,„. 11 1У6.
Пусть только 㠄— ь гма„, получаем переходы типа 11 1Ча и 111Чб, причем г„„= г,„„, Р(П е= (ЛХа () ЛХ, Ц () М,) () В„, см. рис. 2.77. В первом случае переход Ти -+- Т„будет пеапсидальным вида Мв — ь ЛХ„, он по- (а) (а) рождается переходом типа 1Ча 1Ча (рис. 2.91). Во втором случае переход ҄— Тк имеет вид аи -+- Лт,, он поро- (б) (б) ждается переходом типа 1Чб 1Чб. Если (Ч = 2 (Ги ~ ~ М, Ц ЛХа), то первый импульс Ьуг()), сообщаемый в апоцентре а„, будет апсидальным, см.
рис. 2.91. Эквивалентность этих переходов является причиной з к в и- валентности переходов типа 111Ча и 11 1Н'б в общем случае, при г„а ( г,в„., так как кап(дый из них расчленяется на два частичных перехода: на одно- импульсный переход 7'„— ь Т" и одно- или двухимпульсный переход Т" — Те только что рассмотренного вида, г," = гл„„г ( г„пл (см, рис. 2.77, 2.78, где Т" == Т(б') 1 61 ПАРЫ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ПЕРЕХОДОВ 235 При гт' ) 1 переходы ҄— и Т~ю и Тн — ~- Т'„с' общего случая имеют вид Мн — а М„Ю и Мн -а- à — ь Мп соответственно, см.
рис. 2.78, 2.92. Пусть Гнн — + Гуп1п, В ЛРОДеле получаем пеРехоДЫ типа П1 1та и 1П1уб, Рнб:( «а () ЛХг () Яа) () Л см. рис. 2.66. Переход типа 1П 1т'б будет неапсидальным вида ЛХе -а- ЛХ~~~. В переходе 111 1тга вида ян -а- М~~1, при Лг= 2, первый импульс, сообщаемый в начальном перпцентре лн, будет апсидалы;ым (рис. 2.98). Такие у (б) г уб Рис. 2.93.
Предельный слу- чай переходов 1«'а 1на и 1Ъ'б 1нб при г н — — Гн, и, Рис, 2.94 Фазоные траектории длн переходов типа 111 1'а'а н 111 1Уб. переходы образуют копечпую часть Т' — ~- Т„п е р ех о д о в т и и а 1П 1УВ и 1П 11'б в общем случае, при 1«1 гнн ) гпнп (г. =- 1еип з«( зпыа, Т' = Т.; на рис. 2.66, 2.67), которые поэтому будут таклке энергетически эквивалентны. В случае Лг ) 1 переходы Т„-ь Т'„.' и Та — ь Т'„". имеют вид М, — ~- М„и ЛХн -е у — ~- Мн соответственно, 1б) 1Ч см. рис.
2.67, 2.94. Если теперь ган — + гыаа, г „- гнпп, то получаем переходы типа 1Уа 1, 1Уб 1, 1Г~„'~ е= ЛХ-„см. рис. 2.46, 2.58. Их оптимальные траектории будут двухимпульсными М~;,~ — и ан и ЛХ~~~ — ь я, соответственно (рис. 2.95), при этом второй импульс всегда апсидальный.
Эквивалентность этих переходов, образующих начальную часть ҄— и Т* п е р е х о д о в т и п а 1 ага 1 и 1Дгб 1 в общем случае ЛРи Ган ( Гаах Гап ) Гнпп (Г, = Гнпп, Г = Гага) приводит к эквивалентности (по Функпионалу) этих 2З9 пегеходы пгп сВОБОднОЙ Огнентлнип 1Гл. и Дан г Рис. 2.96. Фазоиые траектории для переходов типа 1ма 1 и 1мб 1. Рис. 2.95. Предельный случай переходов 1ма 1Уа и 1иб 1мб при и,„= П„и„ га и оптах В качестве следствия из указанного свойства энергетической эквивалентности переходоп !'т'а 1Ъ'а и 1Уб Гт'б получаем также, что оптимальная хорактеристическая скорость перехода типа 1Уа ! та (как и перехода ! т б 1Уб) не зависит от того, какая из заданных исходных орбит считается начальной, а какая — конечной.
Таким образом, в этом случае переходы Ти - Ти и Та - Ти эквивалентны (по ии), хотя нх фазопыо траектории, вообще говоря, различны (и образуют вместо замкнутую кривую). 1 7. ВЫВОДИ Дана классификация и получоны все оптианьтьт~ыо траектории переходов в заданном кольце К между комп ланарнымп, свободно ортлентпрованпыати орбитами, в предположении, что яа них сообщается конечное число импульсон. Структура этих траекторий следующая: в начальной к конечной точках траектории сообщаются обычно граиичиыо неапсидальные иагнульсы, остальные иыпуль- ходов вида' ЛХп — ь à — яа и' Мп — ь у — ь à — ь яа соот. 1а1 ° 1б1 ветственно, см.
рис. 2.45, 2АО, 2.58, 2ойб, где Та =- Т'г'. Таким образом, пероходы типов 1 1Уа н ! 1Ъ'б, 11 1тга и 111Уб, 1Ц 1Уа и 111 ГУб, 1т'а 1тта и 1тгб 1Уб, двух- п четырехимпульспые ре~иения для перехода 11 111 образуют пары энергетически эквивалеятиых оптимальных решений. выводы 237 сы будут апсидальными. Интересна геометрическая интерпретации оптимального сообщения граничных изшульсов. Во многих случаях линия действия граничного импульса в плоскости скоростей проходит через некоторый фокус кривой второго порядка, являющейся геометрическим местом точек, соответствующих траекториям, для которых г„=- сопзь или г„=- сопз~.
Общее число импульсов в данной задаче не превьппает четырех. При г,„;, ( эо оптимальные переходы осуществляются за конечное время. Решение задачи оптимизации перехода типа П П! определено неодпозпа шо, всогда ость два эквивалентных 1по минимизируемому функционалу) решения. В остальных случаях, как правило, оптичальное решение определяется однозначно. С другой стороны, существуют пары энергетически эквивалентных переходов. А именно пары переходов типов 1 1Уа и 1 1Уб, П 1Уа и П 1Уб, 1П 1Уа и П1 1Уб, 1Уа 1Уа и 1Уб 1Уб п11еют одинаковую минимальную характеристическую скорость (если соответствующие исходные орбиты имеют равные элементы Ь, Е), даже если их оптимальные фазовые траектории различны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
