Ивашкин В.В. Оптимизация космических маневров (1975) (1246627), страница 39

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 39)

(4.23) кС; 1сео лС )~с, 1'ешенпе задачи проведем аналогично предыдущему случаю. Свойство а) управления доказано выше. Перем функпиа1 Пеллмаиа в слсдусощсм виде: со(х) =-1/ '" (1+е) — 21 '" -~- Рак, с1(хк) ==О. —,/ Р гл Функция со (х) непрерывно дссффс'реп101руоэса з с 1 и иа границах Г„Гз Ыожссо показать, аналогично тому. как это сделано выше, что в области Пе выполняется условие (4.20), причем максимум в любой точке х с= С, достигается при единственном управлении (4.21). Па границах зсз пмпу;п,спь»и хзехктк! оптпмхлгмьгх пвевхолоз1»л. »!! Г! также иб (т, и) ~( 1, причем при г„= ! „будет,У --- 1, если ! (ю) = г„„. Т (и) -- — 1, т.

е. прп сообщоппп тормозной тяги в зпоцентре. Функция о! (х) об!юдит. таким образ;!и. пужнымк свойгтвзмп. '1'раекторпп двухпмиул!,ского порез!»;!»! л„— »- из '4!.6), (1.7) в данном случае осуществляют поревод точки пз л»обого начального состояния в множестве С! в конечное состояние. 71»зя этого перехода сумма импульсов равна »Рк — — — О» (х„). При сообщении перв! го импульса (если г„„( г „) точка движется в фазовой и:к!скости по ауге г„=-. г„а до дуги г,„=- г„к, далее, прп сообщении второго импульса (ссли гз„) гзз) точка Лэпжетгя по граничной дуге га =-- г „. В силу теоремы 3.2 зги траектории оптимальны для перехода в Г! и, в соответствии с (4.23), оптпмальпы во всем множестве С при условии (4.2). 1(рг!х»е того, из единственности решения ие рх) уравнения эпр ю,' (х)1(х.

и)= 1 для любого х е=- 6, следует, что эти траектории представляют единственное решение расс!!атриваемо~л задачи оптимизации. Следствия. 3. Если »„к=»„„ю то,всилу(49), оптимальная траектория будет удовлетворять условию (4.2). Опа поэтому будет только что рассмотреппоп траекторией двухимпульспого перехода яа — »- сг„. 4. Пусть, в отличие от (4.3), будет »„„) ги»з Тогда оптимальный переход с яачальпой по ковечиу!о орбиту будет обратным только что рассмотренному, вида гг„-.»- я,!. 4.3. Анализ траекторий е пе юпотонпой функцией !'„(»о) Пусть радиус впешной граппцы кольца превышает апоцептрические расстояния исхоапых орбит, г„„, ) птах (г „, г„„).

Снимем огранпчекпе (4.2), тогда апоцептрическое расстояпие оскулирующей орбиты сможет ! В оптнылл! Пый пгггход ыкждк огвнтаыи типа ! 263 превьноать походные значения г„в, г,„в, уловлотворяя лишь ограш>чени>о (4.1). Тем самым мы фактически включим в рассмотрение траектории перехода, для которых функции > (я) имеют один внутренний максимум. Рассмотрим множество траекторий, которые осуществляют п! рсход между зада>шымя орбптамп и для которых >ю~~: п>ах >а >к) >а -= пн>х (>ав гак) 71' (4'24) Ц' Фиксируса! спача>>а г„) Л и определим среди этих траекторий ту. для которой конечное значение характеристической скорости шв минимально. Пусть Та — некоторая промсжу>п>чная орбита произвольной траектории этого мпол'ества, для которой апоцептрическое расстояние равно г„.. Переход Т„- Та осущ> ствлястгя в силу !'>.24) па множестве (г„~( >„').

Оптимизируем е>о. В соответстви>! с результатами предыдущего раздела 4.2 этот переход должен быть двухизп>ульснь>м яв - ссз. После сообщения первого, ускоряющего импульса получается орбита Т„для которой г„, =. г„в, >„— г„". Примем ее теперь аа орбиту 7'*. Дальнейший переход Т* — >. Т„, осуществляемый опять пи множестве (г„~( г,'), будет также двухпыпульспыы вида г, — >- ик, Весь оптимальный переход Тв — >- 7'„будет трехимпульсным, он осуществляется по схеме >ты > >х! >' ик.

В гл. 11, ч 2, рассмотрены такие решения и показано, что должно быть >а = !Птл (>,„>> >ьв) или Р'а = >'>ОА>. Поэтому оптнмальнычи траекториями переходов между орбитами типа ) будут рассмотренные в гл. 11, Я 2, двух- импульсные траектории нида лв- ив и трсхимпульсныс вида я„-~ 1' — я„. В частных случаях опп могут выродиться в одкоимпульсвые. Как ужо указывалось. этн траектории будут оптимальны н во вспомогательной, и в основной задаче, хс'> |и!Пул! снып хлвлктег опт||в|Альных |ткгвходоз |гл. ||! $ 5. ОПТИМАЛЬНЫЙ ПЕРКХОД МЕ|КДУ ОРБИТАМИ ТИПА !11, ПЕРЕСЕКАЮЩИМИ ВНЕШПЮ10 ГРАНИЦУ КОЛЬЦА 5И.

Конкретизация ограничений на фазовые координаты и управление Пусть начальная и конечная орбиты будут орбитами типа 111, т. е. они пересека|от внепппою границу кольца, а перицептры пх лежат в кольце; Г>п>п ( >'пп ( >'пап »'п|п ( >па ь Г>ппп ( (5.1) -| г > пап ( З>ппп = »пп;, гак ( Зтп.!. (,>.2) Имеем переходтипа 111 111. Рассмотрим его оптимальные траектории во вспомогател|,пой задаче. Из условия (5.1) и леммь! 2.4 следует, что п рассматриваемом случае перицеитр текущей (оскулпрующей) орбиты всегда лежит в кольце К: г„(и) Е [гпап, шах (гпп, >'„и)], О ( ю ( юп, (5.3) причем зависимость г„(ю) монотонна или имеет один внутренний ппп|пмум, Йз условия (5.2) и леммы 2.6 следует далее, что в данном случае при оптимизации можно рассматривать лишь переходы, для которых оскулирующая орбита всегда достигает внешнюю границу кольца: з„(|г) ( зп>пп, О ( ю ( и„.

(5.4) Из (5.3), (5.4) следует, что расстояние г (и>) в точках приложения тяги (импульса) должно удовлетворять условию г„(и>) ( г (и>) ( г,п,, (5. 5) Таким образом, оптимальная траектория будет определяться па множестве управляемых движений, осуществляющих переход между исходными точками (5.1), (5.2) в соответствии с системой (1.3), причем фазовые координаты г„(и), «„(и>) удовлетворяют ограничениям (5.3), (5.4), а управление г (и) — ограничению (5.5). План решения задачи будет следующий. Сначала рассмотрнх| оптимальный переход на множестве траекторий с монотонной функцией гп (ш); для них пп'и (г„„г„п) ( гп (и>).

(5.6) Затем рассмотрим траектории, для которых функция гп (и>) имеет одпп внутрепш|й мшп|мум. 1 а1 ОП1ПМАЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД ЫвждУ ОРГПТАМП ТИПА !П Ебб 5.2. Оптимизация на мноиаестве траекторий С МОПОтОНПОй фУПКЦИЕй Чл(1О) 521. Допустимое множество начальн ы х т о ч е и. Пусть, для определенности, глн ( глн, глн < гн„х Тогда условие (5.6) перейдет в следующое: Гн„( Г, (1Н). Замкнем множество пачалы1ых данных, допустив в (5.2) равенство, тогда аан ( У~пах Хан ( напал (5.8) Многие последующие построения становятся более нагляднымп, если их иллюстрировать на фазовой плоскости Рл. Она является плоскостью скоростей, координатамн (г„$'а в пей являются компоненты скорости той точки па орбите, для которой расстояние равно гн.ах.

В силу условий (5.3), (5.4) на текущей орбите всегда есть точна, лежащая на внешней границе кольца, для пее г = = г,„„.. Поэтому построения в плоскости Рл всегда имеют смысл. Для обеспечения взапышой однозначности соответствия (а., Е) (г'1, 1'а) будем при построении в плоскости Р„ брать компоненты скорости в той точке, в которой $'а ) О, т. е. использовать компоненты Г1, 1'а (см. Ка! !21 и.

3.4 гл. Н). Плоскость Рл (Г,"', Р!М) будет фазовой плоскостью. Начальная орбита характеризуется точкой =-- 1'н = (1'!н — 1г,н), а конечная — точкой Рйю = = 1гн на ($"!н, )ган). Пусть В .= (Г; гл == глн) — гипербола в плоскости Рн (см, рпс. 2.63), соотвстству1ощая орбитам с одним и тем же пернцептрпческпм расстояние!!, равным гн,, а" 1„— ее фокусы. Конечная точка Г„лея!Пт са на правой ветви Я„" этой кривой, а множество С начальных точек — в верхней полуплоскестн 1'л, будучи Тем самым будут включены в рассмотрение п орбиты типа 1, предельные для орбит типа П1. В фазовой плоскости точка будет лежать в множестве с=,' 1лл ( 1л ( Гила Ха ( азана ° '.~вя импульсным хлгзктгг оптимальных пкгкходон ~гл.

1![ ограничено олени ветвью И,', кривой 1/-, (см. рнс. 2313, где Е ~„'~ = г' „). 11п>кс докажем, что н даншн1 ззднчс оптимальпьп и будут одно- нлп двухпмпульсные переходы, полученные н гл. !1. 522. Свойство управления. Проверимналичне свойства управления, постулированного прн формулировке теоремы 3.2. Докажем конечность дуг траектории, лежащих на границе Г множества 6. Пусть траектория х (ш) в некоторой точке ш' вышла на границу (гн = г,н). В силу леммы 2.1 дальнейший переход будет совершен оптимальным образом, если приложить тапгепциальный импульс в перпцентре, при этом г (ш) = =г„„г„(и) = =г„„и~' ( и - шн.

Поэтому ча грапнце Г, — (г„= г„,) будет один отрезок. Пусть некоторая траектория в двух точках и>', ю' выходит и. границу Га ==- ([г~, ~ = — 0), здесь г„. — гнн„ ( пРп )г,з ( ~У ' ) или г, .=. гн,,„. Если в каждой из сн [гн нм: этих точек г„(ю') = г„(и") .== г„ь„, то оптимнльн лй переход между соответствующими орбитамп (типа П) будет одпоимпульсным. для ш го г (и) г„(ш) = г„,,„. Вся траектория на отрсзко и~' ( ш ( и" будет лежать па границе Гз Если в каждой из точек ш', ш" г „= г„(ш') =- г„(ш") =- г„„„то и на всем отрезке ш' ( ш ( и" будет гн (ш) =- г„(и~') =- г„(ь") (см. лемму 2.6). Пусть теперь г, (и") =- гн... г„н = г„(ш') =- г„,„, ш' ( ш".

Обозиачим й~' = — зир ш', ю" =. [п1 ш". Если й' -=. в", то па отрезке [ш, и"1 траектория лежит па границе. Если и' < ш", то при и' (~. ш ( ш' и и" ( ш ( ш" будет )г)м (ш) ==. О, прп Р' ( ш ( и>" будет Ъ'~м ти О. Отсюда следует конечность числа дуг траектории, лежащих на границе. 523. Построение функции со(х). Пусть 111,, 1 =- 1, 2, 3,— подмножества множества начальных точек в плоскости скоростей Р„опредсляемые конечной точкой 1'„', см.

Характеристики

Список файлов книги