Бэттин Р.Х. Наведение в космосе (1966) (1246625), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Ч1). Ввиду наличия ошибки оценки скорости в момент 1„, векторы гмг и гмг теперь уже не будут равны между собой. Для того чтобы отметить зто отклонение, будем писать м И)= мгР))-З м И) или после разложения в ряд Тейлора г.н Р)= гмг(г) таей)а~мк(~~). (10.9) Матрица Л(1) состоит из частных производных компонентов положения корабля в момент 1 по составляющим скорости в момент 1, Векторы гмг и эмг формируются в вычислительном устройстве системы наведения путем решения дифференциальных уравнений (10.
7), в которых векторы заменяются соответствующими оценками. Как было показано в равд. 6. 5, матрицы хт и г' суть не что иное как решения матричных дифференциальных уравнений — =Г, =6Р, лг ' ж где в данном случае 0 = —,(Згмггчг — гмг/1+ 5 (Зглггвг — гаг7), гак Й(~„) =О, ~'(~„)=7. 410 (1О. 11) при начальных условиях С 1А)=0. Вычислительное устройство системы наведения может непрерывно решать дифференциальное уравнение (10.11), получая С(1 4.~).
Затем следует использовать формулу (10. 10) для определения поправки к вычисленной скорости. Заметим, что из рассмотрения матричного дифференциального уравнения (!О 11) с учетом симметричности матрицы г' нетрудно убедиться в симметричности матрицы ь. Таким образом, для нахождения элементов матрицы С достаточно решить всего лишь шесть обыкновенных дифференциальных уравнений. Задачи 10.1. Пусть положение летательного аппарата на орбите вокруг планеты задано полярными координатами г и й. Если аг, и аг, проекции ускорения от тяги ракетного двигателя на радиальное и трансверсальное направления, то уравнения движения корабля имеют вид (10. 12) (10. 1З) где 14 — гравитационная постоянная планеты, Предполагается, что корабль в начальный момент находится иа круговой орбите радиуса га и что начиная с момента г=0 411 В момент Г„+~ делается другая засечка положения, и из соотношения (10.
9) будем иметь ~ мг(1. )=~(Га )~"мг(~п). Полученная отсюда оценка бамг(1 ) может быть подставлена в формулу (10. 8) для определения поправки к юмг(г„+~). Итак, "пмг('л+)=~Ил+~)~ (Г.+)'гт К,-~)= =С(га ы) зги„(1„+,). (1О. 10) Вместо того чтобы вычислять Л(() и Г(1) по отдельности, удобнее использовать дифференциальное уравнение для непосредственного расчета С((). Однако, поскольку элементы С(1„) стремятся к бесконечности, нужно прямо работать с обратной матрицей С '(1). Дифференциальное уравнение для обратной матрицы, выведенное в равд.
6. 5, имеет вид НС +С-'6С ' =Т И прикладывается постоянное радиальное ускорение от тяги до тех пор, пока не будет достигнута скорость убегания. а) Интегрируя уравнения (10. 12) и (!О. 13) и учитывая ра- венство го — — га и найти радиальную и трансверсальную составляющие скорости для этого случая.
в) Используя уравнение (10.14), показать, что время, необходимое для разгона корабля до скорости убегания, может быть выражено через эллиптические интегралы' Г и Е соответственно первого и второго рода: Р (А, агсз1п х) = тГ(1 ' — хо) (1 — аохо) о / 1 — Юхо Е (й, агсзш х) = ~/ о(х. 1 — хо о 10.2. Корабль находится вначале на круговой орбите радиуса го и начиная с момента а=О к нему приложено постоянное трансверсальное ускорение от тяги, а) Исключая о из уравнений (10. 12) и (10. 13), показать, что г представляет собой решение дифференциального уравнения третьего порядка о'ог ) го — + вг ) = гпто ог ~ оФ (1О. 15) с начальными условиями г=го, ( — ) =( — ) =О. Ыг 1 ~~г1 ~1~ о ога1о 412 показать, что радиальная скорость в функции величины радиуса- вектора определяется следующим выражением: ( — )=2(г — го)ат,+ ~ (2 — — о — — ) б) Корабль достигнет скорости убегания в момент выполнения равенства — ~( — ) +(г — ) ~ — — =О.
Показать, что в этот момент радиальная дальность до корабля г, определяется формулой б) При очень малых значениях ат2 радиальное ускорение корабля будет весьма малым. Показать, что, пренебрегая величиной гв(~Рг72Й2) по сравнению с 12г, можно записать го в) При допущении, принятом в п.
«б», доказать справедливость уравнений откуда выражение для времени разгона до скорости убегания будет иметь внд (10. 16) «О в — =аг, — — сову, «2 г2 (10. 17) а2 — = — в(п у, с г2 (10. 18) где о — модуль вектора скорости, а о — мгновенный радиус кри- визны орбиты. Если 2у есть угол между вектором скорости и фик- сированным направлением, от которого отсчитывается полярный угол 2, то где в — дальность вдоль дуги, по которой движется корабль.
413 10. 3. Корабль находится вначале на круговой орбите радиуса гв и начиная с момента 1=0 к нему прикладывается постоянное тангенциальное ускорение от тяги ать Если у — угол между радиусом- вектором и вектором скорости, то уравнения движения корабля записываются следующим образом: д) Полагая, что ускорение ато весьма мало, так что производная Рг/Ызо близка к нулю, найти приближенное решение уравнения (10. 23) в виде ' — 2гооаг~(и и приближенную формулу для полного числа оборотов вокруг пла- неты к моменту разгона до скорости убегания 1 ОЙо ~а Х,= — "— = 2л,) г З Го'т~ о е) Показать, что если приближенное решение п.
«д» удовлет. воряет уравнению (10. 24), то при этом должно быть справедливым выражение и 1 2уи ого Используя это значение з„проинтегрировать уравнение (!О. 22) и найти время разгона до скорости убегания (10. 25) Сравнивая полученный результат с уравнением (10.10), можно видеть, что тангенциальная тяга несколько более эффективна, чем грансверсальная. 1О. 4. Двигатель корабля, обращающегося по эллиптической орбите вокруг планеты, может развивать непрерывную малую тягу. Требуется перевести корабль на круговую орбиту радиуса го, Это можно выполнить, сравнивая истинную скорость корабля э с командной скоростью о, и ориентируя вектор тяги в направлении векторной разности скоростей оа=Г,— о.
Командную скорость й, можно определить как скорость, которую корабль должен был бы иметь при его настоящем положении г, находясь на эллиптической орбите вокруг планеты с заданной величиной радиуса-вектора перицентра г и с минимально возможным эксцентриситетом. а) Показать, что этот минимальный эксцентриситет равен г — го г+ го б) Показать, что командная скорость подчиняется следующему выражению: ~г — 1 / 2иго галл, г 1г г(г+ го) где й — единичный вектор, нормальный к орбитальной плоскости.
415 1О. б. Используя уравнение (10. 1), доказать справедливость уравнения 1 [[~ ~ ) ~ +~ (;И~ )~ Иначе говоря, требуется показать, что скорость уменьшения оз в любой момент времени будет максимальной, если ускорение аг направлено параллельно рж Библиография Практические электроракетные двигатели малой тяги с большими удельными импульсами в настоящее время интенсивно разрабатываются для будущих космических полетов. Тяга таких двигателей значительно меньше веса космического корабля, поэтому полет с электроракетными двигателями может начинаться только после того, как корабль выведен на орбиту. Траектории, по которым будут летать эти корабли, весьма отличны от траекторий полета кораблей с большой тягой; точно так же будут крайне специфичными и проблемы, связанные с наведением аппаратов малой тяги.
Много внимания было уделено задаче оптимизации траекторий малой тяги для минимизации времени перелета. Ярким примером исследований такого рода является работа Лоудена [37). В этой главе мы не касались проблем оптимизации и лишь вкратце затронули их в разделе задач. Задачи 10. 1 и 10. 2 построены на материале статьи Цзяна [621, а задача 10.3 взята из работы Бенни [15~.
Очень мало внимания уделялось до сих пор вопросам наведения космических кораблей с двигателями малой тяги. Кроме докторской диссертации Дж. Миллера [441, автор не знает ни одного глубокого исследования в этой области. Материал настоящей главы основан на совместной статье д-ра Миллера и автора [121. Работа проводилась по заказу Исслезовательского отделения фирмы Авко Корпорэйшн. Метод наведения, упомянутый в задаче 10 4, принадлежит ц-ру Лэнингу.
Приложение Постоянные и физические параметры 6378 км 6357 км 9,812 — 0,024 соэ 2Ф м/сека (Ф вЂ” геодезическая широта) 23'27' !49500000 км Наклонение экватора к эклиптике Среднее расстояние от Солнца до Земли Отношение масс: Солнце/Земля Солнце/(Земля+Луна) Средняя орбитальная скорость Скорость вращения 333 432 329 100 107 160 км/час 15",04!067 за среднюю сол. печную секунду 25725 лет 1673 км/час Период прецессии точки равноденствия . Скорость на экваторе Гравитационная постояпааи (6, умножениая на массу Земли) Коэффициенты потенциальной функции (Х!(Р) /з = 1082,28ш 0,03 /з= — 2,3ш02 /4= — 2,12ес005 /з= — 0,2-ь.0,1 /а=1,0Ш0,8 398606,6 км'/сека Лука Средний радиус........
'....... 1738 км Гравитационное ускорение на поверхности . . . О,!6 у 4!7 14 ' 597 Цель настоящего приложения — снабдить читателя минимально необходимыми справочными данными о наиболее важных постоянных и физических параметрах Солнечной системы. Мы не пытаемся давать здесь совершенно точные с точки зрения астрономии формулировки, Если читатель захочет более подробно ознакомиться с астрономическими обозначениями и определениями, можно порекомендовать ему обратиться к книге Смарта !57] и «Справочному дополнению к эфемеридам» (2)1. Большинство приводимых ниже данных взято из последнего справочника.
Постоянные, относящиеся к форме Земли и Луны, взяты из работы Мейкемсона, Бэйкера .и Уэстрома !421. Земли Экваториальный радиус Полярный радиус Нормальное гравитационное ускорение (у) Фигуру Луны хорошо представляет трехосный эллипсоид с полуосями а, Ь и с, где а направлена к Земле, с — вдоль оси вращения, а Ь вЂ” образует с а и с ортогональную систему координат.
Величины этих осей: а=1738,57-+0,07 км, Ь = 1738,31.+ 0,07 км, с=1737,58~0,07 км. Моменты инерции относительно главных осей А, В и С определяются из выражений = 0,0006269 -+ 0,0000027, — = 0,000209 +. 0,000001, С=О,334+.0,002 (масса Луна)Х(радиус Луны)т. Если за единицу массы взять массу Солнца, за единицу длины— астрономическую единицу, а за единицу времени — эфемеридный день, то величина универсальной гравитационной постоянной составит Сг=0,000295912208286.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
