Бэттин Р.Х. Наведение в космосе (1966) (1246625), страница 60
Текст из файла (страница 60)
28) и (9. 27) удовлетворяет рекуррентной формуле Е„= Е, — а„' Е„Ь„Ь„Е„ (9. 46) где а„= Ьг Е„Ь„+ а 2. (9. 47) Изменение точности измерений, происходящее в соответствии с формулой (9. 46) в момент г, распространится и на корреляционную матрицу в точке встречи Лх, однако рекуррентное вычисление этой матрицы утомительно н непрактично. К счастью, имеется возможность выразить изменение элементов Еи непосредственно через изменения 5„, что исключает необходимость непрерывного применения рекуррентной формулы (9.46). При таком подходе можно разработать схему систематического улучшения выбранных элементов Жх варьированием каждого из векторов измерений Ьь Ьь, Ьк Малое изменение ЬЬ„в измерении, выполняемом в момент 1, будет вызывать изменение ЬЛ в момент !1, равно как и во все последующие моменты времени.
Распространение этих изменений можно исследовать, вычисляя полный дифференциал уравнения (9. 4б): ЬЕ»=ЬЕ„+а„~Е„Ь„(ЬЬьЕ„Ь„+ Ь„ЪЕ„Ь„+ +0"„Е„ЬЬ„) ܄ń— а„'»Е„܄܄ń— — а„'Е„ЬЬ,Ь~ń— а„'Е„Ь„ЬЬ~ń— а„'Е„Ь„Ь~ЬЕ„. (9. 48) Предположим теперь, что имеется матрица Х„, называемая присоединенной к матрице Е„, обладающая следующими свойствами: — — т-! »" и Фп,п — !Е»-1Ф», и-1' ~г (~,Ьń— Хп ЬЕ») =Л„ЬЬ„. Тогда, поскольку (9.
49) — т ЪЕ» = Ф„,„!3Е„1Ф »,п — 1, будем иметь 1г(1.„ЪЕ„) =1г(Ф„„Я„,Ф„„!Ф„„, ЬЕ,ф, и,), "-! -1 — — т (Фп и! Хп !ЬЕ,!Фп и !)= Фт Фт — ! =гг(6Е„1Х„1)=Ег(Е, 13Е„1). Эти преобразования справедливы благодаря свойству тг(АВ)=~г(ВА) при любых двух матрицах Я и В. Теперь согласно (9.49) будем иметь и ~г (Х~ЬЕЕя) = ~ !1„ЬЬ„, (9. 50) и 1 так как ЬЕс=О. Удобно то, что конечный вид матрицы Е можно выбирать по своему усмотрению. Выбирая, например, "-(-':-) мы свяжем посредством уравнения (9.50) изменения в неопределенности знания конечного положения с изменениями в программе измерений.
Здесь возможны самые различные варианты, в силу чего можно выбирать разнообразные комбинации минимизируемых конечных условий. Допуская на время, что матрица Т,„, обладающая необходимыми свойствами, может быть найдена, исследуем смысл выражения (9. 50). Знания номинальной траектории вместе с заданной программой измерений достаточно для определения векторов ХьТь ..., Х~ч. Эти векторы, в свою очередь, определяют чувствительность конечных погрешностей к небольшим изменениям в геометрии измерений.
Например, если первоначальная программа предусматривает измерение, связывающее звезду и ориентир на поверхности планеты в момент г„, можно исследовать, как повлияет использование другого, близко расположенного ориентира или другой звезды, или, наконец, того и другого одновременно. Единственное ограничение свободы выбора состоит в том, что эти изменения должны быть настолько малыми, чтобы линеаризация, применявшаяся при выводе выражения для Ыг(ЕАЬЕх), оставалась спра. ведливой. После выполнения малого изменения наблюдений в моменты (ь (м..., (к, получим новую программу. Далее можно вновь вычислить векторы Х„и повторять вес процесс столько раз, сколько это необходимо.
Рассмотрим теперь задачу нахождения соответствующих мат риц Т,„. Умножая уравнение (9. 48) слева на Х,„, вычисляя след и используя его коммутативное свойство, получим 1г(Т„ЬЕ„)=1г ЦХ„+а„~Ь„Ь„Е„Т„Е„Ь„Ь~~— — а„' Ь„Ь„ЕД.„— а„'Х„Е„Ь„Ь"„) ЬЕ„1+ + 8г '1(а~ Е„Ь„Ь„Е„1.„Е„Ь, — а„Е„Е„Е„Ь„+ +а„~Е„Ь„Ььńńń܄— а„~ Е„1.„Е„Ь„)Ы„). Вычтем нз этого уравнения ~г(Е„ЬЕ„) и потребуем затем, чтобы коэффициентприЬЕ„тождественно равнялся нулю. Таким образом, придем к следующей рекуррентной формуле относительно Х„: Х„' =Մ— ц„1„— Х„яг„+я„Х„(7„, (9.
51) где Формула (9. 51) дает возможность нахождения Х„ь если известна Е; таким образом, вычисление должно начинаться в конечной точке и продолжаться назад, к начальной точке. Используя первое нз уравнений (9. 49), будем иметь Х,=Ф,',„,(Š— Я Е вЂ” 1. (7+9 1. Щ) Ф„„, (9 52) причем подразумевается, что выбрана соответствующая начальная матрица Ел. Из уравнения (9. 52) очевидно, что Х вЂ” симметрическая матрица, и поэтому векторные коэффициенты чувствительности Х могут быть определены с помощью выражения Ъ.„=2а„'(а„Е„Ь Ь, — /) ЕД. Е„Ь . (9.
53) 9.8. Оптимальная линейная оценка при коррелированных ошибках измерений Когда учитывается взаимная корреляция ошибок измерений, удобно использовать дополненный вектор отклонений, состоящий из семи компонентов и определенный следующим образом: 73г, Х ьх„=~ Го„ а„ (9. 54) Так как в данном случае ошибка измерения в момент 1 может быть предсказана на основе предыдущих наблюдений, можно записать наилучшую оценку ошибки, ожидаемой при измерении д, в виде а„=а„+ р„. (9. 55) Член р„представляет собой ошибку в оценке ошибки измерения. Вектор ошибок е„будет, конечно, также семимерным: (9. 56) Соответствующая ему корреляционная матрица выглядит таким образом: (9.
57) С иллюстративными целями рассмотрим следующую модель коррелированных ошибок измерений. Пусть ошибка в момент 1, состоит из двух частей: а„= а„, ехр ( — 1 (1„— 1„Я+ Г„, (9. 58) где а -1 и ь — независимые случайные числа, Х вЂ” положительная постоянная, а математическое ожидание Ь„равно нулю Для того чтобы связать эту модель с физической ситуацией, можно 369 =-г ю„8„ Ьлз" ( —,г е„~„ 3„3„ р! о2 п~ и-2ЛМ+Г2 и л †! Таким образом, мы получили разностное уравнение, решение которого, как нетрудно показать, имеет вид* Г2 -2ЛМ вЂ” 2ЛМ +~ ' л 1 — е В настоящем примере средний квадрат составляющей ошибки за счет ухода постоянен, Если средние квадраты случайной ошибки измерения и установившегося ухода измерительного устройства можно определить путем эксперимента, то параметр Х для этой модели будет нетрудно вычислить. Переходную матрицу для преобразований семимерного вектора отклонений получим, дополняя обыковенную переходную матрицу глл +г, .
Так как одной из фазовых переменных является а„, то из уравнения модели (9. 58) следует з.х„= Р„„, Й„, + Г„, (9. 59) где с„— семимерный вектор, все составляющие которого равны нулю, за исключением последней, представляющей собой случайную ошибку измерения ь„. Дополненная переходная матрица имеет вид Ф„„, 0 О...О ехр < — Л(7„— 7„2)) ' ь (9. 60) гг Далее, поскольку ь,=0, то наилучшая оценка вектора отклонений экстраполируется следующим образом: и л Ьх„= Р„„, ох„г.
" Это решение разностного уравнения слраведливо только в том случае, если вначале предположить, что от не зависит от л (прим. ред.). 370 предположить, что такие явления, как температура, вызывают случайный сдвиг при тарировке устройства для измерения углов. Этот сдвиг приводит к ошибке, которая накладывается на случайную ошибку реального наблюдения, вызываемую неточным определе. нием горизонта или другими источниками измерительных погрешностей. Составляющая ухода в момент рн есть а„г ехр( — Х(7„— — 7в г)), а составляющая самого наблюдения равна ь„, так что суммарная ошибка а выражается формулой (9.58). Для того чтобы придать физический смысл параметру модели Х, рассмотрим частный случай, когда чт„=ьт и л'„— 7 г=2лг, причем обе величины — постоянные. Тогда, возводя в квадрат и осредняя (9.
58), будем иметь Сравнивая это соотношение с (9. 59), можно видеть, что вектор ошибок изменяется в соответствии с выражением е„=Р„„,е„, — Г,„. Следовательно, дополненная экстраполированная корреляционная матрица будет вычисляться по формуле Е Р Е Рг + — ~г (9. 61) Ьп О Ь= л (9.
62) О О то в результате получим л л Зх„= Зх„+ та„(3д„— Ь „ах„). (9. 63) Далее. измеренную величину Ьд можно выразить в виде 3,7„= 3д„+ а„= Ь~3х„. Следовательно, ошибка оценки равна просто ь, е„= зх„— зх„= (Т вЂ” та„Ь„) е„, а корреляционная матрица выражается как функция весового вектора в„: Е„(та„) =(7' — та„Ь„) Е.'(У вЂ” Ь„та„). 371 Когда ошибки измерений коррелированы между собой, вывод оптимальной линейной оценки вектора отклонений лишь ненамного отличается от случая отсутствия корреляции. Линейная оценка семимерного вектора отклонений Ьх в момент 7„также представ- ляет собой линейную комбинацию экстраполированной оценки Ьх -~ и разности между наблюдаемыми и оцениваемыми отклоне- ниями в измеряемой величине д„. Однако оценка отклонения д должна теперь включать оценку ошибки наблюдения.
Итак, будем иметь формулу л, л, Ьх„= Ьх„+та„(37„— (3~7„+ а„)), где весовой вектор ю в данном случае семнмерный. Формула оценки может быть приведена к несколько более удоб- ному виду путем соответствующего дополнения вектора Ь Таким образом, если определить Снова требуя равенства нулю бе'(ю ) для любых вариаций бв , нетрудно показать, что а„в„= Е„Ь„, (9. 64) где а„= Ь„Е„Ь„. (9.
65) При выбранном оптимальном весовом векторе рекуррентное выражение для матрицы Л принимает вид (9. 66) Итак, оптимальная линейная оценка найдена, а формулы (9.63) и (9. 66) служат парой рекуррентных соотношений для расчета л шаг за шагом оценки М . 9.9. Анализ влияния параметров ошибок на точность навигации Влияние неточного задания дисперсии измерений Предположим, что отклонение бд„, измеренное на борту космического корабля в момент г, состоит из трех частей: 3д„=~д„+а„+т, (9. 61) где а — случайная переменная с нулевым математическим ожиданием, не зависящая статистически от ошибок предыдущих измерений, а у — постоянное, но случайное смещение с ненулевым математическим ожиданием, статистически не зависящее от а . Предположим далее, что в бортовом вычислительном устройстве космического корабля производится процесс оценки, при котором полная ошибка измерения считается равной а'„— случайной переменной с нулевым математическим ожиданием, не коррелированной с ошибками других измерений.
Тогда получаемая на борту опенка будет соответствовать следующим уравнениям: л л зх„=зх„+ю„(зд„— 3д, ), (9. 68) 372 Результаты статистического анализа точности навигации несомненно будут весьма сильно зависеть от некоторых величин, чьи среднеквадратичные значения не всегда точно известны. Предположим, например, что заданная величина среднего квадрата ошибки измерения составляет а'~, хотя на самом деле она равна а~ . Если измерения коррелированы, то полученная величина Х* параметра взаимной корреляции будет намного отличаться от действительной. В этом разделе предлагается метод исследования влияния неточного задания параметров ошибок на точность оценки. где Е„= ń— а„'Е„Ь„Ь„Е„ (9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
