Бэттин Р.Х. Наведение в космосе (1966) (1246625), страница 56
Текст из файла (страница 56)
11) л Если не делается новых наблюдений, то оценка бх зкстраполи. руется на более поздний момент времени 1„+! следующим образом: л л йкл+! = фл+!, л'Х' (9. 12) л (В дальнейшем важно различать новую оценку бх +!, полученную при добавлении новой информации из наблюдений в момент 1„+!, и оценку, полученную простой экстраполяцией предыдущей. Для л, последней применяется обозначение бх,+!.) Так как вектор истин- ных отклонений и оценка для последующих моментов определяют- ся через переходную матрицу, то согласно выражению (9.
9) это справедливо и для вектора ошибок. Экстраполированный вектор ошибок имеет вид 9.2. Рекуррентная формулировка навигационной задачи В этом разделе мы снова будем рассматривать задачу смещенной оценки, уже обсуждавшуюся в равд. 8. б, чтобы на этот раз показать, как оптимальная линейная оценка может быть представлена в виде рекуррентной операции, которая объединяет текущую новую оценку со вновь полученной информацией для образования л новой и лучшей оценки. Более конкретно, пусть бхн — оценка век- 342 е,+! =Ф„+!,„е„, (9. 13) так что, учитывая формулу (9. 11), экстраполированную корреляционную матрицу Ж„'+! можно связать с Ж соотношением — -т Ел+! =Ф,+ь „Е„Фп+!.
л. тора отклонений в момент Ь, получаемая оптимальным линейным взвешиванием засечек положения в моменты 11, 1м..., Ьн. Тогда (9. 15) и-1 Здесь уже весовые множители )1'„представляют собой прямоугольные матрицы размерности (6Х3). Верхний индекс (У) указывает на то, что оптимальные весовые множители основываются на У засечках. Если в момент ~я+~ делается новое измерение и получается новая оценка на основе всех предыдущих данных, то будем иметь л )т+1 1М+ 1) йХД+1 — — ~~ У„Ь.„, л-1 (9. 16) ог„= гг„с+ 7с,с1'+ з„.
Однако в настоящем случае удобнее записывать '). с*/ (9. 17) где (9. 18) — прямоугольная матрица из шести строк и трех столбцов. Здесь нам представится случай использовать свойство (9. 19) которое было найдено в предыдущем разделе. — (У+1) причем И'„' 'представляют собой совершенно новую системувесовых матричных множителей.
Наша задача состоит в выводе соотл л ношения между Ил+1 и Ьхл. Некоторое изменение в обозначениях вызвано желанием расширить, рамки задачи, включив в нее одновременно и положение и скорость с помощью шестимерного вектора отклонений. Ранее мы выражали вектор измеренных отклонений по положению бг„следующим образом: Постановка и решение настоящей задачи совершенно аналогичны схеме, применявшейся в равд. 8. б.
Оптимальные весовые множители опоеделяются как решения уравнений т( Е )ут(ь')т ) 'кл р )т ()т) т О()т) л л + г лт т л т 1 и=1, 2,..., № (9. 20) где ń— корреляционная матрица ошибок л-й засечки, а ~ лт К Фл1 ФтК Ц ~=КтФ„Т'ФУ~. Матрица Г, введенная в равд. 8. 6, представляет собой совместную корреляционную матрицу случайных векторов с и с*. Простота конечного результата, к которой мы стремимся, зависит от рекуррентных свойств матриц Р„и ()(л).
для оценки, основанной на У+1 засечках, матрицы ()(,л+))выражаются следующим образом: Ц(~+0=КтФТФ~У.(.(=КтФ„1'Ф~(Фл( ~Ф))(+)= =)- — — т — т — (и) — т КтФ ГФИФтт я 6 Ф)т.( ( ))( Подобным же способом можно показать, что М т ~ л, )т+1 'лл Фл(-(-1, т(К Соответствующую систему уравнений для определения Л(+1 весовых множителей Йоч+)) получим из (9. 20): а(+1 д у'((т(-)) ( лс р )р()т+() т л((т+() т-1 и= 1, 2,..., Лг+1. Отделим первые У уравнений Е фР))+)) т ~ ~~л,о (р ()т+() т ( р у()у(-() т ж((т (.() т ! которые благодаря рекуррентным свойствам Р и (у„'~)можно записать в виде м Е 1у (~~и + л~л р ~(л епт — (н) т т — — — ((т+и т) л +' ~~ л т — — Ял Ф(т+), м,! — К%(т,( т ( Сравнивая теперь эти уравнения с (9.
20), найдем следующую зависимость между весовыми множителями для случая У засечек и первыми Ж весовыми множителями для случая У+1 засечки: —,)и+1)г )у.)л)) гфт гУ вЂ” Ул.)-1) г) л = л Ь'Е!,М1 К )()+! л = 1, 2, ..., Лг. (9. 2 1) Возвращаясь к уравнению (9. 1б) для оценки бх)л+1, можно записать л Я ЛСЛ 1)Ч.)-1) (Я+1) йХ))+1 — у 1г' л Йг„+%г1 1 8~11+1. л 1 Отсюда, используя (9. 21), получим Я ах)))+1 — (/ — 1Р')г+1 К ) Ф ч+1 )г л~~ Кl,л Хг + 1Э~,ч+~ Ьт~+1 à — — ЬЧ+1) — Г) — ~Ч вЂ” <М) Г = — < Ч, И = л 1 В проводящемся в этом уравнении суммировании нетрудно узнать оценку Мм на основе У засечек.
Следовательно, будем окончательно иметь й л л — 1Р х л + У")', ' ~~г), — К Фл) л18хл'). (9. 22) — <У41) ! — — Г— й Так как Ф)л+1,лбхл — всего лишь наилУчшаЯ оценка в момент ~, экстраполированная на момент ()г+1, то рекуррентное соотношение (9.22) приобретает важный физический смысл: оптимальная линейная оценка в общем виде получается прибавлением к экстраполированной предыдущей оптимальной оценке взвешенной разности между вектором измеренных отклонений по положению и экстраполированной оценкой вектора отклонений по положению.
Конечно, для получения окончательного решения нужно найти еще весовой множитель Ю~)~++"; однако мы не будем отыскивать этот неизвестный множитель. Нами уже получен достаточно важный результат — установлен вид оптимальной оценки. В следующем разделе мы вновь приступим к этой задаче уже с точки зрения нахождения весового множителя и на этот раз придем к полному и окончательному решению. Задача, правда, будет несколько изменена тем, что вместо полной засечки положения в качестве основной единицы информации будет принято отдельное измерение. 9.3. Оптимальная линейная оценка при некоррелированных ошибках измерений Как показано в предыдущем разделе, оптимальная линейная оценка вектора отклонений может быть выражена в впде рекурл рентной формулы, Допустим, что 'бя -1 и Я 1 известны, и в момент г выполняется единственное измерение типа описанных в 345 гл.
Ч11. Наблюдаемое отклонение измеряемой величины д равно л бд', а наилучшая оценка бд получается экстраполяцией ЬУ„п л л -т— 3~)л=б„бх„ где л л бх„= Ф„, „,6х„„ а вектор Б„опраделен в равд. 9. 1. Тогда линейная оценка вектора отклонений бх в момент 1 может быть выражена как линейная комбинация экстраполированной оценки бх -1 и разности между наблюдаемым и оцененным отклонением измеряемой величины д .
Следовательно, при отсутствии корреляции между ошибками измерений можно записать выражение л, бх„= бх„+ и„(бд — бд„), (9. 23) где вектор Ю представляет собой весовой множитель, который будет выбираться так, чтобы минимизировать средний квадрат ошибки оценки. Как и прежде, будем делать различие между измеряемой величиной д и ее истинной величиной.
Запишем б'1л=бЧл+ ал. л л л е„(ю„) = бх„— бх„= 6х„+ ю„(Ь)„+ а„— бд„) — бх„= л =(7 та„б„) (ах„- ех„)+ю„а„=(Х вЂ” та„б„) е„+и„а„, (9. 24) где 1 — шестимерная единичная матрица. Теперь корреляционную матрицу Ж, определенную уравнением (9.!1), можно записать как функцию весового вектора Ю„: Е„(а~„) =(1 — тв„Ь„) Е„(Х вЂ” Ь„ы„)+ у~„тапап. (9. 25) Средние квадраты ошибок в оценках отклонений по положению и скорости е~ и б2 представляют собой просто следы субматриц 346 Здесь а — ошибка измерения. В данном случае возможность взаимной корреляции ошибок измерений исключается.
Ниже в разд. 9.8 мы снимем это ограничение и среднее а„а будет в общем отличаться от а„а . Для решения оптимальной задачи представим вектор ошибок в следующем виде: Е11) и Е'„4). Если шестимерный весовой вектор Ю разбить на два л трехмерных вектора (2) то из соотношения (9. 25) легко показать, что Еп) Р— ()Ьт)Е(1) Р Ь -(1)т)+ — (1) — (1)т 2 (4) / (2) Т (1)' (3)'1 (2) Т (2) (2) Т 2 Ел =(тнв Ь4Е4 — Е„)К„тн„+а)4 тел а.. Таким образом, поскольку Я(1) зависит только от ш(", а л)(4) является функцией только и('), для удобства последующих выкладок будем рассматривать средний квадрат ошибки оценки ез„ (Юв) как след шестимерной корреляционной матрицы й4„(в„). Трехмерные векторы, входящие в оптимальный весовой вектор й4в, будут, следовательно, оптимальны — первый по отношению к оценке отклонения по положению, а второй по отношению к оценке отклонения по скорости *.
Для нахождения оптимального весового вектора можно использовать, обычные методы вариационного исчисления. Придадим и вариацию бю„и получим из уравнения (9. 25) йе„(те„) = 2гт '( — Га„Ь„Е„() — Ь„тел)+ Ме„т()глав)). Для того чтобы вариация без„(й) ) была равна нулю при любых вариациях бв„, должно выполняться условие (9. 26) автои =- Е,Ь„, где положительная скалярная величина ав определяется следующим образом: а =Ь4Е„Ь +аз (9. 27) Легко можно показать, что вектор й„, найденный из уравнения (9. 26), действительно минимизирует ез„(й ). Допустим, что оптимальный и заменен другим весовым множителем в — у . Тогда согласно уравнению (9. 25) ез (те у ) тт )(Е' 2(22) у)ЬтЕ'+а (т() у )(и~ уи)) (1) " Оптимальный вектор м(~„'должен минимизировать след матрицы Е( ),аоптимальный вектортв~ ) — след матрицы Ел (арии.
ред). (2) (4) 347 и при использовании уравнения (9.26) будем иметь е~ (то„— у„) =1г [ń— а„(то„— у„) (то'„+ у'„)], откуда е„(то„— у„) = е„(то„)+ а„(г (у„у„). Итак, средний квадрат ошибок не уменьшается при изменении Р, если справедливо уравнение (9. 26). Зная оптимальный весовой вектор, можно переписать выражение для корреляционной матрицы ошибок оценки Л (см. уравнение (9. 25)) в более удобном виде. Так, из определения (9. 27) величины а, получим Е„= Е„(1 — Ь„то„) — то„ЬгЕ„+ а„то„то'„. Подставляя сюда (9. 26), найдем окончательное выражение (9.
28) Уравнения (9. 23) и (9.28) далее служат рекуррентными формулами для получения улучшенных оценок отклонений по положению и скорости в каждый из моментов измерения гь Ц..., Выведем теперь важное свойство оптимальной оценки, которое понадобится для развития методов статистического анализа, изложенных в равд. 9.4. Это свойство может быть кратко записано следующим образом: л е„ьл~,=О, (9. 29) л если Ьх — оптимальная оценка; иначе говоря, оптимальная оценка и соответствующая ошибка оценки не коррелированы между собой.
Для доказательства используем уравнения (9. 26) и (9. 27): ю„а~ — (7 — то„Ь„) Е,Ь„= 0 или то ал — [(7 — то Ьг) ел] е„'и Ь =О. Заменяя величину в квадратных скобках с помощью уравнения (9. 24), получим то„а„'+(то„а„— е„) е„' Ь„=О. Но, так как а„е„г=О, имеем (то„а„) а„— е„е„г Ь„=О. Вновь подставляя е„а„из уравнения (9. 24), запишем [е„— (7 — то„аг) е„'] а„— е„е„'т Ь„=О или е„(а„— е,'т Ь„) = О.
Следовательно, е и скаляр а — е„'тЬ„не коррелированы между собой. Отсюда е„[те„(а„— е„' Ь„)) =О нли из уравнения (9. 24) е„(е, — е„)=О. Таким образом, имеем е„[3х„+ ел — (Ьх„+е„)] =-О или л л е„ах, = е„Ьх„. Основываясь на 'последнем соотношении, нетрудно показать, л что е„и бх„не коррелированы, так как если подставить в него (9.24) н (9.12), то получим г л е„ах„= '1(У вЂ” те„Ь„) Ф„„,е„, + те„а„) Зх„,ф„„, = л — -т— т фт = (1 — „Ь„) Ф„„, е, Ьх„, Ф„„ь л Далее, продолжая редукцию к е 1бхт ,, придем, наконец, к тому, л л что пРоизведение е бхт свЯзано с еьбхь, котоРое Равно нУлю. Итак, уравнение (9.
29) получено и доказательство тем самым закончено. 9.4. Статистический анализ процесса наведения В равд. 8. 1 было показано, что оценка коррекции скорости для закрепленного времени перелета, которая должна быть приложена в момент 1„, равна л л л дэ„=С„Ьт„— Ьо„. Для того, чтобы привести это выражение в соответствие с принятыми нами обозначениями, введем прямоугольную матрицу В„= (ф— У) 349 из трех строк и шести столбцов. Это позволит выразить оценку коррекции через шестимерный вектор отклонений: л л до~= В~~хл ° (9. 30) Для статистического исследования задачи наведения нам по. требуется найти удобное выражение для корреляционной матрицы вектора коррекции скорости. Как сейчас будет показано, эту корреляционную матрицу можно выразить непосредственно через корреляционную матрицу ошибок оценки Ж„и корреляционную матрицу вектора истинных отклонений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
