Бэттин Р.Х. Наведение в космосе (1966) (1246625), страница 59
Текст из файла (страница 59)
с сох 8 с х о й о х о с я оя ко х к ой с х ,.„х йк а хй 17,0 25,2 0,49 27,2 0,46 194,0 4,15 0,76 116 19,5 228,2 4,39 0,70 100 20,0 22,0 221,0 29,3 0,40 2,04 51 0,67 23,5 29,0 0,37 210,9 1,95 0,64 76 О,лг 180,8 32,5 0,30 32,5 0,30 37,5 0,27 39,6 0,21 1,80 0,64 37 0,49 175,4 1,74 32 0,58 56 0,64 37,0 138,6 1,62 27 0,70 48 0,88 40,5 124,4 1,56 24 0,70 1,07 42 52,0 53,5 2,41 87,5 46,2 0,18 45,8 0,12 29,3 0,30 21,2 0,37 19,2 0,30 21 1,53 57,5 18 2,29 1,25 31 60,0 57,1 3,90 16 27 3,05 2,23 3,45 4,97 61,4 53,5 13 3,88 18 9,45 61,8 62,1 14, 97 16,22 37,9 16 11, 00 22,93 24,0 10,15 26,81 62,4 62,56 '.8,0 26,90 361 Неблюлекхе Луна, Антарес Луна, Антарес Земля, Поллукс Луна, Антарес Луна, Антарес Земля, Поллукс Луна, Антарес Земля, Поллукс Луна, Антарес Земля.
Регулус Луна, Регулус Земля, Процион Луна, Регулус Луна, ~ Альдебаран Луна, Альфа Креста и ко ко й ох о а ха йй ;'а 5о хсс сх хх о а й 0 с ас й х ох й к хо к сох с а а ахах х х с й х о с х 5с рох хс8 а." л о. о Х ,й х ох х хЕ о о с "се с са оха хйл ,х ' х й я о й Оо о хо 'й н са о» й и Жхх 13,5 1,95 2,1 1,07 1,9 1,74 П одолжение 9.6.
Оптимальный выбор навигационных измерений В разд. 9. 3 был разработан оптимальный линейный метод обработки информации, получаемой от измерений. Цель настоящего раздела — решить близкую к указанной задачу выбора таких измерений, которые являются в некотором смысле наиболее эффективными. Может потребоваться, например, выбрать измерения, выполняемые в момент г„, которые приводят к максимальному уменьшению среднего квадрата неопределенности знания положения или скорости в момент г„. Но, по-видимому, наибольшее значение будет иметь требование выбора таких измерений, которые минимизируют неопределенность знания некоторой линейной комбинации из отклонений по положению и скорости. В частности, можно искать измерения, минимизирующие неточность знания потребной коррекции скорости. Рассмотрим для начала простейший случай, т.
е. минимизацию среднего квадрата неопределенности пологкения в момент С помощью уравнения (9. 28) эта величина выражается следующим образом: е~= ИЕ„''>— ааЩ~ л„+а'„ (9. 39) эгей е<а> а Д ~гя(9 (9. 40) й„'е„'и л„+ а„' Обозначим через р и д две квадратичные формы ьгЕпу~, д — ьгЕпПЕо>'ь Согласно теории квадратичных форм, существует ортогональ- ное преобразование, приводящее д к диагональному виду. Итак, Ь„= ф~, При полном отсутствии ошибок измерений (а~ =О) задача минимизации среднего квадрата ошибки оценки эквивалентна выбору направления вектора л„, которое максимизирует отношение двух квадратичных форм.
Геометрическая интерпретация такого случая очевидна. Поскольку собственные направления Лоп и Е~П'Е(п' одинаковы, то оптимальное направление для л„совпадает с главным собственным направлением Е~п'. Задача минимизации среднего квадрата неопределенности скорости в момент („ соответствующим выбором вектора л„решается и интерпретируется не так просто.
Запишем опять с помощью уравнения (9.28) средний квадрат ошибки определения скорости откуда Ч= о) () Е3 (.)(1(=(3Ф1+)32()(2+(33())3~ Т Т (1) 2 2 2 где )(1, )12, )(3 — корни характеристического уравнения матрицы Е,, а столбцы матрицы () — соответствующие характеристические (1)' единичные векторы. Т ак как Е („" ' — положительно определенная матрица, то характеристические корни положительны и дальнейшее преобразование 7=3) О( дает Ч=.) У У! ),(2 ) .) 3~ где  — диагональная матрица с диагональными элементами $ )31 1 92 3 Р'3 То же преобразование л„в ~ применим к квадратичной форме р: ~тг)- УтЕ(2)' Е(3)'г))=) — У Наконец, последнее ортогональное преобразование г приведет р к диагональному виду Г= Зт, в результате чего будем иметь Р= Л)л), + Л2л22+ Лзл)з д = ттрн Б т = л)2+ т' + л)2, так как Я вЂ” ортогональная матрица. В итоге преобразование л„=ЯО Зт (9.
41) приводит к следующему отношению двух квадратичных форм в уравнении (9. 40): 2 2 2 (9. 42) 12 Л,т)+ Л2т + Л3т3 1+ 2+ 3 Кроме того, если матрица Е, — неособенная, то произведение (2) Е(') Е( ' =Е)() Е(2'. является положительно определенным, откуда 363 Столбцы матрицы 5 — характеристические единичные векторы матрицы д Я Е(')Е(' Ц)".), а Л,, Л,, Л,— соответствующие корни характеристического уравнения. То же преобразование 7' в т, примененное к диагональному варианту д, дает Тогда оптимум И определяется следующим образом: (1 /=А. [О /фа. Тот же способ можно применить для выбора такого направления Б„, которое минимизирует неопределенность знания некоторой линейной комбинации отклонений по положению и скорости.
В частности, рассмотрим выбор измерения, минимизирующего неопределенность коррекции скорости, когда коррекция должна выполняться немедленно вслед за измерением. Корреляционная матрица ошибок вычисления коррекции имеет вид 3„3, = В„Е„Вг, а средний квадрат этих ошибок можно выразить следующим образом: <$'„=Ы (В„Е„'В~)— ьте„'' а„+а„ (9. 43) Здесь Ƅ— симметрическая матрица, Е(1) должно слсдовать, что все корни Л„ Л,, Л, †действительн и положительные. Теперь задача максимизации р/д легко решается. Так как считается, что ошибки измерений отсутствуют, то ничего, кроме направления оптимального вектора Й или, что эквивалентно, оптимального л2, определить не удастся.
Следовательно, можно принять, что т — единичный вектор. Пусть Л„ = )па х (Л), Л,, Лз). и поэтому, если (Е„Е„)„— неособенная матрица, то матрица 1М вЂ” <г) ' — г Ф будет положительно определенной. При этих обстоятельствах, учитывая идентичность матриц Е)2) ) Вт можно применить в точности тот же прием для выбора оптимального направления И„, который использовался выше для минимизации среднего квадрата неопределенности скорости. Во всех случаях, представляющих практический интерес, оптимальное направление вектора Ъ„ должно определяться с учетом некоторых ограничений или связей.
Например, может потребовать- ся выбрать «наилучшую» звезду для измерения угла между линией визирования центра планетного диска и линией визирования звезды. Для такого измерения вектор л„должен быть перпендикулярен линии визирования планеты. Если з — вектор положения планеты относительно космического корабля, то должно выполняться условие /г,а„=О. Применяя преобразование (9. 41), будем иметь тг~5О '()з~„= О. Обозначим через р единичный вектор в направлении 5 з» 'Д з„. Тогда задача выбора оптимального направления для Ъ или эквивалентно для т сведется к максимизации величины Л,т',+Лзт',+Л,т', с учетом уравнений связи тгр= О, т'и=1.
Вводя множители Лагранжа о и о, придем к эквивалентной задаче нахождения безусловного максимума величины Приравнивая нулю частные производные по каждому иь получим тт — — —, /=1,2, 3, яру (9. 44) Л~ — «1 ™ й и о определяются из уравнений связи. Условие ортогональности т к р приводит к квадратному уравнению относительно сс У вЂ” [Р»1 (Лз+ Лз) + Рзз (Л, + Лз) + Рз з(Л, + Лз)1 'з+ + Р1Л»Лз+ Р»Л|Лз+ Р»Л,Л» = О. (9. 45) Если Х; расположены в порядке 11<Аз<Аз, то два корня о1 и оз соотносятся с Л следующим образом: Х~<о1<Л»<о»<Ха. Второй множитель Лагранжа определяется из того условия, что т — единичный вектор.
Когда найден оптимальный вектор и, то соответствующий вектор Ъ„вычисляется по формуле (9. 41). Легко показать, что оз обеспечивает искомый максимум, в то время как о~ соответствует минимуму. Из уравнения (9.44) получим з з з ~~У~ Л~тз — о ~~~' тз =о ")'Р~тр Из этого соотношения и уравнений связи следует в= ~~ Л.т~. 1=1 Таким образом, щ представляет собой минимум, а аз — максимум первоначального максимизируемого выражения. 9.7. Оптимизация программы измерений Очевидно, что неопределенности знания положения и скорости в точке встречи зависят от всей программы измерений Задача выбора оптимальной программы гораздо более сложна, чем оптимизация одиночного измерения, когда используется лишь та инфор мация, которая доступна в настоящий момент.
Последняя задача обсуждалась в предыдущем разделе. Программа измерений, полученная в соответствии с изложенными здесь принципами, может оказаться удовлетворительной со многих точек зрения, но у нас нет оснований полагать, что она будет при этом оптимальной. В данном разделе предлагается метод, который может быть использован для итерационного улучшения программы измерений, в результате чего конечные погрешности будут уменьшаться. Для того чтобы задача оказалась разрешимой, придется пре. небречь влиянием всех ошибок реализации коррекций скорости. Если считать это допущение справедливым, то задачи навигации и наведения перестают быть связанными друг с другом и точность навигации становится не зависящей от точности реализации наведения. Далее для простоты будем полагать, что моменты времени, в которые должны выполняться измерения, заданы заранее и что корреляция между ошибками измерений отсутствует. В рамках приведенных постулатов задача будет включать только корреляционную матрицу ошибок по положению и скорости, которая согласно (9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
