Бэттин Р.Х. Наведение в космосе (1966) (1246625), страница 55
Текст из файла (страница 55)
задачи 8.2, 8.3 и 8.7). Материал разд. 8. 5 и 8. 6 весьма близок по своему содержанию к разд. 8. 2 и 8. 3 книги Лэнинга и Бэттина [35]. Основное различие заключается в том, что в настоящем случае оценки основаны на дискретной информации, в то время как в более ранней работе источник информации и шум считались непрерывными. )численные данные равд. 8.5 были получены под руководством автора тремя студентами: Скоттом, Янушкой и Уиллесом в их дипломной работе ~533. По поводу задач настоящей главы автор хотел бы особо поблагодарить м-ра Р. Штерна (задачи 8.5 и 8.6) и Скотта, Янушку и Унллеса (задача 8.7). ГЛАВА 1Х Рекуррентная теория навигации В настоящей главе выполнение оптимальной линейной оценки представлено в виде рекуррентной операции, когда текущая наилучшая оценка объединяется со вновь поступающей информацией для получения новой улучшенной оценки.
Разработка приводимого здесь материала началась под влиянием работ Р. Калмана, но в дальнейшем вылилась в самостоятельное исследование. Основное достоинство рекуррентной формулировки навигационной задачи состоит в идеальной приспособленности вычислений такого рода к автоматической работе бортового вычислительного устройства. Информация, поступающая от измерительных устройств, можетпо мере ее появления последовательно добавляться к уже имеющейся, причем отпадает необходимость в обработке всей располагаемой совокупности информации, как зто требуется при независимых навигационных засечках.
Исключается также необходимость в обращении больших матриц со всеми вытекающими из зтого обращения вычислительными неудобствами. Наконец, сам процесс обработки является весьма гибким и допускает использование информации от самых разнообразных источников измерений.
Первые два раздела главы подготавливают читателя к очень простому выводу оптимальной линейной операции, в которой исгользуется для оценки всего лишь обычный метод наименьших квадратов, аналогичный методам гл. УП1. Остальная часть настоящей главы посвящена в основном трем задачам: 1) выбору наилучших источников информации из числа доступных для навигационной системы космического корабля; 2) определению оптимальных линейных операций по обработке информации с учетом целей полета; 3) минимизации как общего потребного количества навигационной информации, так и числа потребных корректирующих маневров без неоправданного ухудшения точности выполнения задачи полета.
На всем протяжении главы будем иметь дело исключительно с дискретной информацией; наблюдения и коррекции скорости выполняются в отдельных точках, которые называются точками принятия решений или решающими точками, Интервал между решающими точками не обязательно постоянен и может выбираться в какой-то степени произвольно. Например при подготовке вычислительных данных, приведенных в равд.
9.5, величина интервала выбиралась исходя из необходимости точного численного интегрирования траекторных уравнений. В процессе «оптимизации» навигации может быть сделана статистическая оценка множества альтернативных способов действия. Некоторые из альтернатив, образующих основу решающего процесса, состоят в разрешении следующих вопросов: 1. Какая комбинация звезд и планет обеспечивает «наилучшее» из возможных наблюдений? 2. Приводит ли наилучшее наблюдение к достаточному уменьшению предсказанной ошибки относительно цели, чтобы имело смысл выполнять такое измерениег 3. Является ли неопределенность вычисления коррекции скорости достаточно малой по сравнению с величиной самой коррекции, чтобы оправдалась необходимость включения двигателя и расхода топлива? В разд.
9.5 представлены числовые результаты, иллюстрирующие эффективность такого подхода к решению задачи космической навигации. Математическая задача определения оптимальной плоскости, в которой следует измерять угол между звездой и планетой, решает. ся в равд. 9. б. Далее, в следующем разделе разрабатывается процесс, дающий возможность оптимизировать всю программу навигационных измерений.
В разд. 9. 8 выводится способ учета взаимной корреляции случайных ошибок измерений при выборе оптимальной линейной операции. Наконец, в последнем разделе предлагается метод анализа, позволяющий исследовать влияние неверных моделей ошибок на определение оптимальной линейной оценки положения и скорости. С помощью такого метода можно, например, узнать чувствительность оценки к пренебрежению истинными дисперсиями измерений и их взаимной корреляцией. 9.1.
Переходная матрица Благодаря наличию динамической взаимосвязи между положением и скоростью зачастую удобно ставить задачу, используя понятие шестимерного фазового пространства, чьи координаты представляют собой компоненты отклонений по положению и скорости корабля от номинальной траектории, зависящие от времени. Каждая точка этого пространства определяется своим шестимерным вектором отклонения (9. 1) Вектор М(Г) определяет динамическое или фазовое состояние космического корабля в момент й Переход от одного состояния к другому можно представить как матричную операцию над фазовым вектором. Матрицу этой операции Ф+, =ФИ ь~) 338 ) й(1) /7Ф Р) с Обратное соотношение нетрудно получить, если вспомнить прием, предложенный в конце равд.
6. 5: < 3х (~). '1 .Г~(г)-'с'() -л(г)-' ~;, с / (,л (г)-1С(г) Лэ(г)-1/ Подставляя теперь г=г„+1 в прямое соотношение и 1=г„в обратное, исключим постоянные векторы с и с", в результате чего будем иметь ~.,Л.'~ (С:-'Р.-~.) ' 0 -УС. ' (9.
3) Данная форма второго и третьего матричных множителей, которую легко получить из уравнений (6. 49) и (6. 50), выбрана для того, чтобы исключить всевозможные кажущиеся вырожденности, связанные с начальной и конечной точками траектории. Нетрудно показать, что переходная матрица, рассматриваемая как непрерывная функция второй граничной точки, может вычисляться непосредственно как решение шестимерного матричного дифференциального уравнения ~~ф(г~гл) р (у) ф ( т ) лг (9. 4) Начальное условие состоит в том, что Ф(Е, г ) равна шестимерной единичной матрице.
Матрица Р(1) имеет вид Р(г)= где матрица С(г) согласно равд. 6.5 есть градиент гравитации по координатам положения. Для доказательства представленного результата следует использовать матричные дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют фундаментальные матрицы В, Л~, Р, Р~. Переходная матрица является представителем класса, часто называют переходной матрицей. Соотношение между бх„+1 и бх с ее помощью записывается весьма просто: ах„+,— — Ф„+г „Вх„.
(9. 2) Элементы шестимерной переходной матрицы можно выразить через фундаментальные матрицы возмущений. Для этого запишем уравнения (8.!) и (8. 2) в следующем виде: известного под названием класса симплектических матриц, Матрица четной размерности А называется симплектической, если выполняется равенство АгХА=У, (9. 5) где Так как У'= — У, то можно считать матрицу У аналогичной мнимой единице 3/ — 1 в комплексной алгебре.
Из определения (9. 5) видно, что симплектическая матрица обладает такими же свойствами по отношению к матрице У, как и ортогональная матрица по отношению к матрице Х. Напомним, что если Р— ортогональная матрица, то ртг р Принадлежность переходной матрицы к классу симплектических матриц важна в том смысле, что это облегчает ее обращение. Умножив уравнение (9. 5) справа на А — ' и слева на У, найдем А-'= — ХАг2, (9. 6) так что обращение симплектической матрицы сводится просто к перестановке ее элементов. Вспомним, что обращение ортогональной матрицы эквивалентно ее транспонированию. Для того чтобы показать, что Ф(1, 1 ) является симплектической, заметим следующее: ф(Г Г )гУф(1 ~~) — У так как Ф(г„, 1„) равна единичной матрице. Следовательно, необ ходимое доказательство будет получено, если удастся показать, что " [Ф Р, $„)г Уф К Х) =О.
С этой целью используем уравнение (9. 4) и запишем (ф(Х Г )гУ$(1 1)) фу Г )грртУф(Г 1) + — В(()гО')— +ф(Г Г)гУл.(Г)ф(Г Х) фр Г )т () ~ ф(1 1) ~, О У/ +ф(1 г)г "(') О ф(Г Г)=О. ~, Π— У/ Справедливость последнего шага вытекает из того, что С(Г) =0(Е) г, т. е.
матрица гравитационного градиента является симметрической. 340 Наконец, если переходную матрицу разбить на блоки таким образом 44! 4 то ее обращение выполнится по формуле =1 ф4 1йз г — г — г " "+1 — — г — Фз (9. 7) как можно видеть из формулы (9. 6). В качестве примера использования переходной матрицы рассмотрим детерминированную задачу получения шестимерной засечки с помо-1ью последовательности отдельных астрономических наблюдений, выполненных в шесть дискретных моментов времени. При допущениях линейной теории одно наблюденис служит для засечки положения корабля по одной координате. Например, как показано в гл.
ЧП, если А„— угол, измеряемый в момент („и образуемый линиями визирования звезды и ближайшего небесного тела с корабля, то положение корабля определяется вдоль линии, нормальной к направлению на ближнее тело и лежащей в плоскости измерения, В общем случае это можно записать через шестимерный вектор отклонения бх следующим образом: Ь47„=ЬгСх~ (9.
8) где ( О ~о Вектор л„, описанный в гл. 'ЧП, зависит от взаимного геометрического расположения соответствующих астрономических объектов в момент 1' и от конкретного типа выполняемого измерения. Теперь, объединяя уравнения (9. 2) и (9. 8), будем иметь — т — -1 Гх7„=~>44рл~-1, лак,+1 откуда видно, что наблюдение, сделанное в момент 1„, позволяет найти в момент 1 +1 составляющую шестимерного вектора отклонения в направлении, определяемом вектором Ф©+~1,,5,. Шесть наблюдений, выполненных в различные моменты времени, дадут систему нз шести уравнений такого рода.
Если ни одна пара направлений„ вдоль которых определяются составляющие, не является параллельной, то вектор отклонения можно будет получить после обращения шестимерной матрицы коэффициентов. В качестве другого примера использования переходной матрицы рассмотрим задачу расчета распространения ошибок оценки. Пред- положим, что каким-то способом была получена оценка вектора отклонения бх„и пусть е — ошибка этой оценки. Если записать ох„= зх„+ е„, (9. 9) то (9. 10) где з„и 6 обозначают ошибки по положению и скорости. Корреляционная матрица ошибок имеет вид „о, Е, Е, =-,т =,-т -!!! -<з! Е.=аз = =- =, = -(з> -(4! ;,-т дт (9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
