Бэттин Р.Х. Наведение в космосе (1966) (1246625), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Показать, что если Ь вЂ” момент приложения последней коррекции, то сдвиг б1 номинального времени прибытия определяется в результате решения следующего уравнения: где )лт — — 1(7 Ла1~+ХГГ ))тхл л а Люк — оценка коррекции скорости для закрепленного времени перелета. 8. 2.
Корабль выведен на параболическую орбиту в однородном гравитационном поле. следовательно, если г(1) — вектор положе. ния, а а(() — вектор скорости корабля, то имеем л1г — сИ~ — =В, — =Д', лг лг где л — постоянный вектор гравитационного ускорения. а) Допустим, что делается две засечки положения в моменты 1 и г ь в результате которых получаем оценки отклонений от номил й нальной траектории Ьг„ и бр 1. Показать, что коррекция скорости л Ьа„, которую нужно приложить в момент 1„, чтобы вывести корабль в номинальную точку цели (фиксированную в пространстве и во времени), определяется по формуле л тл-1 л 1 л ЬП„= — лГ„+ ВГ„1, (ГГ Гл) (Гл 1л — 1) Гл ~л — 1 где (г — номинальное время полета.
б) Предположим, что имеется последовательность засечек положения, выполняемых в моменты 11, 1ь...,Ь, и соответствующие коррекции скорости вычисляются по приведенной выше формуле. Пусть е — векторное расстояние между предполагаемым и истинным положением в п-й проверочной точке, а 1)„— ошибка реализации раей четной коррекции Лр . Показать, что истинная коррекция скорости, приложенная в момент („, определяется выражением Гà — à — 1 ЬПл — ! Рл-1 — (л-З) "+ (Г/ — Гл) (Гл — Гл-1) (Гл — 1 — Гл — 1) +И.— гл-я) .-1 — И.— Г. 1)Л..) — Ч,+ " '8.-1. гл в) Предположим, что корабль выведен на орбиту с ошибкой в начальной скорости и что выполняется только одна засечка положения и соответственно одна коррекция скорости, Показать, что если среднеквадратичная ошибка определения положения не зависит от времени засечки, то оптимальное время '(измеряемое с момента старта) выполнения засечки для минимизации величины прикладываемой коррекции скорости будет меньше, чем /1/2.
8. й. Корабль находится на параболической орбите в однородном гравитационном поле. Векторы положения и скорости г(/) и и(/) удовлетворяют следующим векторным дифференциальным уравнениям: лг — ~ы — =о, гг ' лг при начальных условиях г (О) = О, о (О) = л // (г„+ Тг). Здесь (, и (р — ортонормированные векторы системы координат, а /г — номинальное время полета. Пусть цель движется с постоянной скоростью вГ/- Ю 2 а) При допущении о том, что неопределенности положения и коррекции скорости являются равномерно распределенными и статистически независимыми случайными переменными, показать, что среднеквадратичная потребная коррекция скорости в любой проверочной точке при наведении с незакрепленным временем перелета составляет ровно )/2/3 от среднеквадратичной потребной коррекции при закрепленном времени перелета.
б) Пусть пь, и о,„ — среднеквадратичные ошибки оценок положения и коррекции скорости в п-й проверочной точке. Показать, что средний квадрат пролета мимо цели равен — оз + а, м ~+(/ — /м)за„,~ как для закрепленного, так и для незакрепленного времени перелета (здесь У вЂ” общее количество проверочных точек). в) Показать, что отклонение скорости в номинальное время прибытия определяется выражением М йо(~/) — ~' Ьпл~ л О где М' — начальная ошибка по скорости при выводе, а Лю„для п)0 есть коррекция скорости, приложенная в и-й проверочной точке.
331 г) Полагая, что наведение производится по схеме незакрепленного времени перелета и имеется лишь одна проверочная точка, показать, что средний квадрат изменения времени перелета равен — » +«~ где о, — среднеквадратичная ошибка оценки положения в момент засечки, а а„— начальная среднеквадратичная ошибка в скорости. 8. 4. Несмещенная многоточечная оценка отклонения скорости в момент 1„на основе засечек в моменты („и 1„1 получается по формуле (8. 29) и может быть записана в виде йо„=Х„йг„+Х.
Рг„п Показать с помощью непосредственных преобразований, что этот результат идентичен получаемому по формуле (8. 3). Указание: Доказательство можно проводить в следующем порядке. а) Показать, что искомый результат эквивалентен тождественному выполнению равенств Х„й„+ Х„Я„, =Р„, хЯ:+х„р.', =Р.*. б) Для этого необходимо доказать равенство Х„А'„+Х„Р„,=УЛ+Я В. в) Показать, что для любой невырожденной матрицы Е справедливо соотношение ~)-1+(7 ~-1)-1 г а затем, используя результаты пп. «6» и «в», получить первое уравнение п. «а».
Аналогичным способом доказывается второе уравнение. Метод равд. 8. 1 является детерминированным в том смысле, что двух засечек положения в различные моменты времени достаточно для однозначного нахождения скорости. Следовательно, утверждение о том, что коэффициенты Х„и Х 1 не должны зависеть от кор.
реляционных матриц Л„и Е„ь согласуется с решением этой задачи. 8.б. Несмещенную оценку отклонения по положению в момент 1 можно получить на основе АГ наблюдений, выполненных в различные моменты времени, Показать, что если эту оценку представить в виде Л Ф ь И) =); Ф.зд., В 1 „де тг ь г)'м...,Юи — трехмерные весовые векторы, то оптимальные весовые векторы, минимизирующие средний квадрат оценки, определяются по формуле %'„= —, Я (~) ~л ~г 1~ (1))Т Йл где Здесь о~„— дисперсия ошибки и-го измерения, а Ъ вЂ” вектор, свя- зывающий вариацию п-го измерения с вариацией положения в мо- мент 1„: Подобные выражения можно получить для оптимальной оценки отклонения скорости, заменив матрицы А и Л* на К и Г".
Показать далее, что средний квадрат ошибки оценки отклонения по положению в момент 1 можно выразить следующей удобной формулой: е(1)'=1г Я(г) Ф(1)) Р '~ (Рт(1) ') ~ре р)г ~ Получить аналогичную формулу для ошибки оценки отклонения по скорости. 8. 6. Космический корабль выведен иа орбиту в однородном гравитационном поле для перехвата цели через время полета 1г= 1О. В моменты 1=1 и 1=3 выполнены засечки положения, позволившие определить следующие отклонения от номинальной траектории: зг,=3г',+21„— 8~;, Ога = 77„— 141„, а) Каково отклонение по скорости в момент 1=3? б) Какими будут отклонения по положению и скорости в номинальное время перехвата, если не производятся коррекции? в) Какую коррекцию скорости нужно приложить в момент г=3, чтобы свести к нулю ошибку положения при 1=1тр г) Какое получится в результате этого отклонение по скорости при 1=1~7 д) Какую коррекцию скорости нужно было бы приложить в 1=3, чтобы уменьшить до нуля отклонение по скорости при 1=1г и чему равнялось бы при этом отклонение по положению? 8.7.
Оптимальное распределение У моментов засечек для оценки отклонений по положению можно исследовать аналитически, если гравитационное поле, в котором движется корабль, является однородным и если корреляционная матрица ошибок вас~чек не изменяется от одной засечки до другой. а) Приняв эти допущения, доказать следующие равенства: А-(~!')Е ', ~л ! В=В' =~~~ [! — Ф !)л ', !,л ! .0= 'А !~л — т~л)' л-! т л+! б) Используя эти равенства, доказать справедливость выражения для среднего квадрата ошибки оценки положения по У засечкам: 2т ;~ (! — 2„)2 л-! Е!т = 2л ! 2т ~ч'„(г„— ! )2 л 1е л+! в) Показать, что если г=гн и если засечки выполняются через равные провежутки времени, то ез=тгЕ, 2 ез = 0,833згЕ, ез = 0,7!707гЕ, е =0,800ггЕ г) При г=гн и У=З показать, что средний квадрат ошибки оценки минимизнруется, если выбрать 1!, гз, 12 таким образом, чтобы зл — Зз величина — имела минимальное значение.
зз — з! Библиография Часть настоящей книги, относящаяся к навигации и наведению, посвящена в основном автономным системам. Такое направление объясняется отчасти субъективным отношением автора и отчасти его непрерывной связью с Приборной лабораторией МТИ. Кроме того, поскольку приверженцы наземных систем слежения и управления, главным образом, представляют «Джет Пропалшн Лэборэтри», автору было бы не вполне удобно пытаться разрабатывать свой подход, основываясь на их работах.
Вместо этого он рекомендует читателям в качестве наиболее типичных работ отличные отчеты Нотона [48], Нотона, Каттинга и Бернса [49], а также Джейтса, Скулла и Уоткинза [22] и оставляет в стороне всякие по. пытки связывать их исследования со своими. Теория наведения с закрепленным временем перелета, рассмотренная в равд.
8.1, основана на работе Бэттина й Лэнинга [10], а также на отчете МТИ [45], в то время как теория незакрепленного времени перелета (равд. 8. 2) взята из статьи автора [7]. Различные подразделы разд. 8.3, связанные с анализом ошибок, написаны на основе множества источников. Сюда входят работы Бэттина [9], Бэттина и Лэнинга [10], Бэттина [7] и раздел автора в отчете МТИ [45]. Весьма глубокое рассмотрение понятия пролета можно найти в докладе Кизнера [33]. Численные примеры заимствованы из статей Бэттина [7], Бэттина и Лэнинга [10], а также из раздела автора в отчете МТИ [46]. Вырожденные случаи наведения (см.
конец равд. 8. 4), возникающие при определенном геометрическом расположении корабля относительно точки запуска или точки цели, более полно исследовал Штерн [60]. Он нашел интересный дополнительный вид особенностей, которые возникают только тогда, когда космический корабль отстоит от точки встречи более чем на 360', Существование этой особенности можно объяснить с помощью верхней группы кривых на рис.
3.9: когда кораблю остается пройти до точки встречи более 360', могут существовать две траектории с одинаковым временем полета. Особая точка имеет место в том случае, когда время до встречи и оставшийся центральный угол совпадают с минимумом кривой времени полета по большой полуоси. Метод Монте-Карло, применение которого к определению моментов коррекции скорости описано в разд. 8. 4, является единственным практическим методом, известным в данном случае автору.
Однако при некотором упрощении математической модели в какойто степени возможно и аналитическое исследование задачи. Брейкуэлл [17] нашел для двумерной номинальной траектории хомановского типа следующее простое правило. После выполнения коррекции нужно ждать, пока не пройдет две трети оставшегося до конца полета времени, прежде чем прикладывать следующую коррекцию. Кроме того, в несколько искусственном случае однородного гравитационного поля также возможны некоторые теоретические результаты (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
