Бэттин Р.Х. Наведение в космосе (1966) (1246625), страница 53
Текст из файла (страница 53)
25). Эту задачу наиболее удобно решать с помощью метода множителей Лагранжа. Если ввести матрицы множителей Лагранжа М и Ми, то задача минимизации со связями становится эквивалентной задаче без связей, когда минимизируется выражение М l()».)= (»)'-»21 [(лф — т )»,и„) ж -(- и ! + ( и ( ) ~ ~ К Г М» г и-1 и 11 597 где ~~я~~ чч ~ а — г-,т ут ~л-!и-! Ф вЂ” 2'~~~ Т„Гг„з Я~+ аг®Ъ~®т л-! Для получения необходимых н достаточных условий минимума г применим обычные методы вариационного исчисления. Дадим Л",' вариацию 6Й', тогда 61=~ (22РР, Ъ|,5 ӄ— и-! ш ! — "о ЪгЯг — И Мг — ХМ 1 1.
Следовательно, для того чтобы 6У равнялась нулю для всех вариаций бгг„, должно выполняться равенство "~'У„а~ огг„=ЛЯ„+М*Л„~+3! (г) аг~, и=1,2,...,Лг. Это необходимое условие, которому должны удовлетворять4'оптимальные матричные весовые множители Й!, Йм...,Йн.
Если положить далее, что ошибки измерений е!, еь...,ен имеют нулевые математические ожидания и некоррелированы от засечки к засечке, т. е. В =О !~!~=О и -'г. !и тогда необходимое условие приобретает достаточно простой вид У,=(~Ж„+М*К )У, ', и=1,2,..., Х, (8. 28) где ń— корреляционная матрица ошибок измерений в и-й засечке: Е„= а„!~. Для доказательства того, что это условие является также и достаточным, заменим оптимальную матрицу Й другой весовой матрицей вида Й" — у„. В результате получим г1!г, У ) г11Р ) ) 2тг~'~~() У! Мг ) У Р"М* ) 1. =! Ул~л1Р л~+!г ~~гЩ л. л ! 'л ! таким образом, если уравнение (8.
26) удовлетворяется, то будем иметь У (%'„— Г„) =У(У„)+й' ~~)' У„Е„Г„. л-1 Но И Е )л~ л~У')л а > О М=[лс(8) В-'А* — Тс*(!)[ О, И = ~Т~* ® В * — 'А — Ъ ® Г, (8. 27) Здесь' для удобства выкладок введены обозначения л=1 л 1 Ф В=В = ) Йл Е„Й„, л=! л'.л=(АВ-!А* — Вл) !. Итак, оптимальные весовые матрицы Р1т„полностью определены.
Наконец, минимальную среднеквадратичную ошибку оценки отклонения по положению можно выразить в следующем удобном виде: л 1 л-1 1г [7И Ц ®т+ 7ЙлРл(л)г[ (8. 28) Аналогичный процесс может быть использован для оптимального определения отклонений по скорости, т. е. если оценка отклонений по скорости в момент 1 определяется выражением (8. 29) 323 так что величина у не уменьшается при изменении Й', если г(г определена из уравнения (8. 26). Для нахождения матричных множителей Лагранжа М и М" используем уравнения связи.
Подставив (8.26) в (8.25), получим то можно найти, что Х (ЯРт+ЛТ%'т) Е 1 где ЛТ=~У(1) В- А* — У*(1)) Б, (8. 30) (8. 31) Я =()Т Я В* 'А — Ы(1)1йт. Оценка приращения скорости, потребного в момент 1 для коррекции по схеме закрепленного времени перелета, имеет вид л л л л Ьэ(1)=Се(1) бт(1) — бо(1)=')' !Се(1)%' — Х ) бт л ! или после небольших преобразований л л' до(1)=Л(1) ~)' (В !Аей߄— Е!ВК„) Е„гбт„, (8.
32) л=! где Л(1) определяется уравнением (6.49). Интересно отметить, что в уравнение (8. 32) для оценки коррекции скорости момент выполнения коррекции входит только через множитель Л(1), на который умножаются члены, зависящие только от моментов выполнения засечек. Эффективность навигации с большим числом засечек численно иллюстрируется табл. 8.6. В таблице приведены окончательные Таблица 8.б Точность навигации по схеме нескольких засечек.
(Использовались последовательные проверочные точки на 1-и траектории полета на Марс) Среднеквадратичная ошибка по.скорости в аг/еек Среднеквадратичная ошибка по положению в км ,Время еадм 2 точки 3 точки 4 точки 2 точки 3 точки 4 точки 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,001 0,008 0,009 23 32 45 63 82 108 138 179 26 37 52 69 92 112 153 31 42 58 77 100 130 0,9 1,2 1,8 2,4 3,4» 4,3 ' 5,5 7,3 0,6 0,6 0,9 15 1,8 2,4 3,1 0,3 0,6 0,6 0,9 1,2 1,8 Продолжение 3 точки 4 точки 2 точни точки Времй годы Среднеквадратичная ошибка по положению в агг 2 точки 3 точки Среднеквадратичная ошибка по скорости в лг/гвм 0,010 0,025 0,050 0,075 0,100 0,125 0,150 0,175 О,ЮО.
0,225 0„300 0,325 0,350 0,375 0,400 0,425 0,450 0,475 0,500 0,525 0,550 0,575 0,600 0,625 0,650 0,675 0,700 0,725 0,750 0,775 228 2079 3891 4653 5492 6322 6059 1018 8132 11800 3810 3718 3794 3974 4212 4687 5236 5994 6774 7921 9298 10750 10623 10544 10323 8518 7751 6994 6240 5640 196 1783 3126 3598 4688 5576 5419 7628 7112 6525 3792 3211 3430 3576 3748 4149 5271 5998 6973 8147 9377 9531 9427 9256 7866 7115 6429 5766 5216 166 1282 2917 3022 3826 4853 4912 6224 6129 5577 3697 3083 3226 3359 3683 4106 5306 6143 7152 8177 8476 8377 8250 7179 6476 591 3 5317 4825 9,2 4,3 5,5 7,6 9,2 10,7 11,3 14,9 16,8 18,3 5,19 6,7 6,7 7,0 7,3 7,9 8,8 10,1 11,6 13,1 15,6 18,0 19,2 18,9 18,6 17,1 14,6 13,1 11,9 10,7 4,0 3,7 2,4 2,7 4,3 4,9 4,9 6,4 5,8 7,9 2,1 3,4 3,4 3,4 3,7 4,0 4,3 4,3 5,3 6,1 7,3 8,3 8,8 9,2 9,2 8,2 7,9 6,7 6,1 5,5 2,1 2,4 !2,1 1,5 1,8 2,7 3,1 3,7 3,3 3,7 1,8 1,5 2,4 2,1 2,1 2,4 2,4 2,7 3,4 3,7 4,3 4,3 5,2 5,5 5,5 5,2 4,9 4,6 4,0 3,7 Продолжение Среднеквадратичная ошибка по скорости в лг1еек Среднеквадратичная ошибка по положению в клг Время годм 2 точки 2 точки 3 точки 3 точки 4 точки 4 точки 0,800 8891 13,4 7195 6,7 4,0 0,825 15,6 8615 7707 6736 6,1 4,0 0,840 0,841 4615 2970 4329 128,1 41 22 7,6 3,4 3034 18,3 2926 7,0 0,842 2693 131,5 4632 2297 142,1 17,1 0,843 3604 1712 181,8 51,2 2510 8.6.
Теория навигации нри большом числе засечек со смещенными оценками Задача оценки, сформулированная в равд. 8. 5, состоит в определении бг(1) и 55(1) на основе косвенных измерений бг в дискретные моменты времени в прошлом. Функции, чьи значения должны оцениваться в момент й представляют собой линейные комбинации зависящих от времени матриц, которые точно известны постольку,поскольку известна номинальная траектория. В настоящем разделе будем предполагать, что имеется априорная статистическая информация относительно векторных коэффициентов при этих матрицах. Таким образом, данная задача отличается от рассмотренной ранее тем, что теперь можно не налагать условия несмещенности, выражаемые уравнениями (8. 25).
Прежде чем перейти к решению задачи, исследуем природу ста. тистического поведения этих векторных коэффициентов. С помощью уравнений (8. 1) и (8. 2) можно выразить постоянные с и се через отклонения по положению и скорости Ьгн и бис в начальный момент 1п. с= — Сгбгс+ Йг,- я ! се = Йг 3гс. 326 среднеквадратичные неопределенности положения и скорости, получающиеся при объединении информации о положении от двух, трех и четырех последовательных засечек на 1-й траектории полета на Марс, исследовавшейся в равд. 8.4, Уменьшение ошибки по положению приблизительно согласуется с грубой моделью предсказаний, предложенной в задаче 8.7.
Преимушества метода становятся особенно очевидными из-за существенного уменьшения ошибки оценки скорости. допустим теперь, что бггв и брь являются случайными переменными, совместная корреляционная матрица которых известна и имеет вид х,=[ ')(яв о=( " ' Эту матр!шу можно получить, анализируя точность наведения при сходе с геоцентрической орбиты.
Векторные коэффициенты с и с' также будут случайными переменными с совместной корреляционной матрицей Нетрудно теперь установить связь между Хь и Г: "-[.—,'-' -'.)'[: 'Г) Возвращаясь к основной задаче, рассмотрим, как и раньше, метод оценки положения на основе совокупности из У засечек положения. Для ошибки оценки остается справедливой формула (8. 24). Будем снова считать, что ошибки измерений е не коррелированы от засечки к засечке и имеют нулевые математические ожидания. Предположим далее, что з и случайные векторные коэффициенты с и с"' не коррелированы. Тогда средний квадрат интересующей нас ошибки выразится соотношением Ф (т !т м е(1)~=тг~ '~~УI„Е„%„+'~ ~~~~Т/„Р„„ТI,„— 2 ~~)~~ Уф„(!)+ (ю й=(т ! и ! ,'-(ЛЩГ,!-Л'(~(Г! й(ог4-Яр(7,!-Л'р(Г! Л'р([.
где Р =Я„(Т,Й +Г,К )+й,(Р,Й +Г~Й ); Я (!)=!т [ГЯ(1)т+Гф*(1)т)+!т; [Гф(~)т+Г !с*(!)71 Используя для решения настоящей задачи тот же ход доказательства, что и в равд. 8. 5, найдем необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворятьй(, Йь..., ЙЪ для оптимального решения задачи минимизации е(1)! — матрицы Й!', являются решениями следующей системы У линейных алгебраических уравнений: Ф ЕП% + ~)'„,РпЯт=~4ПЯ, иь ! и = — !, 2,..., 7Ч. (8.
34) , 327 а(г)т =гг ~[7~(г) Г1+/те (г) Гз! Й(г)г+ Я -ГЯР1г,рл Р1г1л Рт — ~иД,И). л -1 или в эквивалентном виде р ) - ~ ) я р1 г ~ л' р) г ! [л р à — т и! и] тл 1 Г[лр)г-,~-л р1га [а р1 -т л". й]). л-1 (8. 35) Нетрудно теперь провести аналогию с формулой (8.28). Члены — [гг(г)Г1+гт*(1)Гз[ и — [аг(г)Ге+Я (1)Г4[ играют роль, аналогичную множителям Лагранжа М и М*. Кроме того, в формуле (8.35) имеются еще два дополнительных члена, которые можно приписать систематической ошибке л. Это явствует из того факта, что при .Е„=() оптимальная оценка не является точной.
В случае, рассмотренном в равд. 8. 5, эти члены отсутствуют, поскольку требования, налагаемые условиями несмещенности, исключали наличие систематической ошибки. Совершенно аналогичный процесс может быть использован для л нахождения смещенной оценки отклонения скорости бй(1). Последнюю можно затем объединить с бг(1) для получения оценки коррекции скорости, как это было сделано в конце предыдущего раздела. Однако мы не будем останавливаться на этом вопросе, оставляя его читателю в качесгве упражнения.
Прежде чем закончить обсуждение, хотелось бы сделать несколько замечаний относительно решения уравнения (8.39) — нахождения весовых матриц Й1, Игз,...,Йгм. Матрица коэффициентов этого уравнения имеет размерность ЗУ;гс'ЗУ и выглядит следующим образом: Е, +Р11 Р1т 21 Ез+~ тз Р,тр Р,тр ~ даг,заг Рбгг причем каждый из ее элементов представляет собой матрицу размерности (ЗХЗ). Если для оценки использовалось тЧ+1 засечек, где ' Речь идет здесь об ошибке, систематической в данной реализации (лдилг. ред,).
328 Тогда минимальный средний квадрат ошибки оценки будет записы- [ ваться в виде перва!е й! были теми же, что н для предыдущей оценки по У засечкам, то матрицу коэффициентов Рзз!+з, зз!+з можно представить состоящей нз следующих блоков: ,г. з!з, зз! ~з!з, з (Двойные индексы матриц 7 указывают соответственно число строк и столбцов.) Итак, новая матрица коэффициентов уравнения образуется присоединением к старой матрице (для случая У засечек) дополнительных строк и столбцов. Следовательно, если для случая У засечек задача решена, то известна матрица Р ', зн. Матрицу Гзх+з, з!з+з можно вычислить с помощью операций сложения и умножения матриц, а обращение потребуется только одно — матрицы размерности (ЗХЗ).
Нетрудно показать, что если матрица )' Кз!ч, з!ч Кз!ч, з Кзм!-з, з!ч!.з=~ ~,Кз,з!ч Кз,з является обратной по отношению к Рз!з+з, зз.зз, то блоки этой обрат- ной матрицы можно найти по следующим формулам: — ! Кзз (~зз ~з, зз!~за!. 3!ч~з!ч, з) — ! Кз, з!з= Кззп!, згз~згз. зз!ю К, ззг= Рзм, з!ч ! !! к, з!ч — ~за!. зК, з!ч ) — 1 — ! Кзл~, з= ~зч, зл'.лзз!, зКзз В действительности матрица коэффициентов является симметрической, т.
е. Рзн,з=рз' м и поэтому соответствующие блоки обратной матрицы Кз,зн и Кз!з, з являются транспонированными по отношению друг к другу. Подводя итоги, можно сказать, что матрицу коэффициентов следует вычислять рекуррентным способом по мере того, как к оценке подключаются дополнительные засечки. На каждом шаге потребуется обращать лишь одну трехмерную матрицу. Задачи 8. 1. Для окончательной коррекции скорости может понадобиться выбрать новое время прибытия так, чтобы минимизировать сумму модулей коррекции и отклонения по скорости в момент встречи с планетой-целью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
