Бэттин Р.Х. Наведение в космосе (1966) (1246625), страница 61
Текст из файла (страница 61)
69) л е, =Ьх„— Ьх„, и наша задача состоит в отыскании рекуррентного соотношения для корреляционной матрицы ~* ~~'т Е„= е„е„. Выразим реальную ошибку оценки через основные величины л л е„=3х. +те„(Ь~Ьх +а„+у — Ь~Ьх„) — Ьх„= =(У вЂ” те„Ь„) е„+те„(а„+у), откуда Е„=(Т вЂ” те„Ь„) Е„(Т вЂ” Ь„аь )+ +та„*Ф„' (7 — Ь„те'„)+ (7 — те'„Ь„) Ф„'те„'+ +й„те„(а~+у'), (9.
70) где Рекуррентную формулу для вектора Ф„получим, умножив е*„' иа у и затем произведя сравнение; Ф„=(! — а~„Ь„) Ф„+и„у~. (9. 717 Статистический анализ далее производим, как и раньше, выполняя рекуррентные вычисления по уравнениям (9. 69) с учетом уравнений (9. 70) и (9. 71). Начальные условия для Е„*" и Ф: — — т Еь =8х Ьхг =Хг, Ф =О. Затем получаем средние квадраты истинных ошибок оценки в лю- бой момент как элементы главной диагонали матрицы Е'„* . Зтк Матрица Е'„ оденки, поскольку ная величина а„' . равны не соответствует корреляции реальных ошибок при ее вычислении использовалась неправильНа самом деле реальные ошибки оценки будут Влияние неточных параметров модели взаимной корреляции ошибок Аналогичный метод можно применить для анализа влияния неправильного задания параметров Х и ~'„при наличии взаимной корреляции между ошибками измерений.
В частном случае при Л*=оо метод, который будет изложен ниже, можно применять непосредственно для определения окончательных ошибок оценки, если предположить, что ошибки измерений не коррелированы, когда на самом деле некоторая корреляция существует. Метод анализа во многом подобен методу предыдущего под. раздела при одном важном исключении. Принятая переходная матрица Р„, „1 отличается от истинной переходной матрицы Рл, -1 ЭЛЕМЕНТОМ В ПраВОМ уГЛу За СЧЕТ НЕПраВИЛЬНО ЗадаВаЕМОГО закона изменения ошибок измерений: а„' =а„*,ехр[ — Л*(1„— 1„1)[. Учитывая это, преобразуем истинную ошибку оценки следующим путем: е„ =Ьх„ — Зх„=Р„,„ 13х„ 1 +те„(Ь„лх„ — Ь„Р„,„ 1Зх„ 1)— л — Ьх„=(Т вЂ” те, Ь,) [Р„„1зх„" 1 — (Р„,„1зх„1+Г.„))= =(7 — те Ь")Р" 1е 1+(7 — те Ь )[(Р— Рл л,) 3хл, — Ц = =Алл, е„,+ В„,„13х„1 —.0„1,„.
Здесь для компактности записи введены обозначения: ш* Ьь) А„,„1=„Є', — ь Влл 1 — — Й„(Р„,„1 — Рлл,). Удобно объединить е*„' с ЬВ„ и определить 14-мерный вектор у„ следующим образом: (9. 72) ЛЬх„ / где Ю вЂ” л л-1 л л-1 л л-1 о 374 — прямоугольная матрица из 14 строк и семи столбцов. Следовательно, 14-мерная корреляционная матрица У„вектора у удовлетворяет рекуррентному соотношению У„=5„„,1'„,5„,„~+5„Г„г.„5„. (9. 73) Разбивая У„на семимерные блоки, получим в левом верхнем углу искомую корреляционную матрицу действительных ошибок оценки.
Далее статистический анализ производится, как и прежде, если добавить рекуррентную формулу для У„к полученным ранее уравнениям, необходимым для численного моделирования. Задачи 9.1. Показать, что определитель симплектической матрицы равен .+1, и использовать это положение для дедуктивного доказательства равенства )Ф„+, „)=1.
Показать далее, что определитель корреляционной матрицы ошибок оценки в интервале между измерениями остается постоянным. 9.2. Матрица А удовлетворяет матричному дифференциальному уравнению — =В(1)А. и использовать этот результат для другого доказательства равенства определителя переходной матрицы единице. 9.3. Дана шестимерная матрица Я(1) Д*(Р) ~ Рю р'*ю / Учитывая определение Р(1), приведенное в разд. 9. 1, вывести урав- нения ЫФЩ Р.
(1)ф (1) дФ(Е) ф (1), Р, (1) Н Ы~ 375 Показать, что ее определитель удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению — =1г(В)~А~ и показать, что равенство ФР.. ~.)=ФИ.„) Ф(~.)-1 выполняется независимо от начальных условий для Ф(1). 9.4. Исходя из уравнений доказать справедливость следующего уравнения: Затем, интегрируя его по частям, вывести соотношение К Я'Ь. Я= — Х*(1)"У7(~) = сонэ(. Наконец, используя этот результат, показать, что ('г) 7~ ( А)' 9.
5. В разд. 9. 2 было показано, что оптимальная линейная оценка вектора отклонений бг имеет вид Л Л А ЪХ„=Ьх„+т„(аг„— К йх„), когда основным источником информации в момент 1„является за- сечка положения. Найти бгл ага+ 2л1 Е„= 2„а~, б е„= бх„— Й, — Еи Ел )1 (1) (2) 1 Ел = а~а" = ~ — (з) — (о / Ел Ел :и показать, что оптимальная весовая матрица Йг получается с по- мощью выражения Ф =(Е( +Ел) (Е(1) Е( ) ) 'Показать далее, что л)„удовлетворяет следующему рекуррентному уравнению: Е„=ń— Е„К(Е(') +Е„) К Е,. 9.
6. Процесс оптимальной линейной оценки, разработанный в разд. 9. 3, очевидно, не зависит от размерности задачи. Рассмот- З76 рим для простоты двумерный вектор отклонений и переходную матрицу, равную единичной. Два абсолютно точных измерения вы„олняются в моменты 1~ и 1з и соответствующие векторы 5 имеют вид Непосредственными преобразованиями показать, что корреляционная матрица Е2 в момент 1з будет тождественно равна нулевой матрице, независимо от начальной матрицы Еь. То же будет справедливо при любой размерности, просто выкладки несколько усложнятся.
9. 7. Показать, что в промежутке между измерениями вектор ошибок е(1) изменяется в соответствии с уравнением 'е (')= р (г) е (1), я'г и использовать этот результат для вывода уравнения ~~(~) р(17~(1)+е(г)р дт аг 9.8. Показать, что если основным источником информации является скорость изменения дальности, измеряемая наземной радиолокационной установкой, то шестимерный вектор Ь должен иметь следующий вид: — ~.~( (в~(г)/г' г/г 9.9. Показать, что изменение конечных погрешностей благодаря вариации дисперсии ошибок измерений а'„определяется выражением 1г(Т„оЕ )= ~~~ р„Я, где а вид матрицы 1, можно найти в равд.
9 7. 9.10. Пусть требуется оптимизировать программу навигационных измерений таким образом, чтобы минимизировалась неопределенность знания коррекции скорости, которую надо приложить в момент Г,. Показать, что матрица х, в этот момент должна иметь вид с, — с, зтч 9. 11. Из-за погрешностей вычислений может оказаться, что~ после многократных расчетов корреляционная матрица Л„пере-' станет быть положительно определенной.
Для разрешения этой проблемы можно разработать другую схему вычислений, в которой корреляционная матрица будет представлена как произведение некоторой матрицы на транспонированную по отношению к ней же. В результате будет гарантироваться, по крайней мере, полуопределенность. а) Полагая, что матрица Й„ представляет собой корень квадратный из корреляционной матрицы Г, т.
е. Е„= Ф„У„, показать, что формула оценки фазового вектора из разд. 9. 3 мо- жет быть переписана следующим образом: л л ах„= ах„+ а„' (йд„— Ъ(7„)У„а„, где Т 2 а„=а„г„+ а„. б) Показать, что рекуррентная формула (9. 28) для корреляционной матрицы принимает в этом случае вид В'„В'„= Ф'„(Т вЂ” а„'г„а„) У„. в) Показать, что где с„= а2 а алап+ ад н вывести из этого соотношения рекуррентную формулу для мат- рицы Й„в виде Библиография Оригинальное применение теории Калмана (31) к задачам космической навигации нашел Шмидт [43) и его сотрудники в Эймсском научно-исследовательском центре. Автор крайне признателен 378 д ру С.
Шмидту, который в свое время указал ему на блестящую работу д-ра Р. Калмана, а также Дж. Смиту за участие в плодотворных дискуссиях по этому вопросу. Читателю стоит познакомиться с отличным отчетом Смита, Шмидта и Макги [581. Исследование, описанное в настоящей главе, было выполнено, когда автор еше не знал о подробностях работы, проводимой в Эймсе, в результате чего появилось несколько новых и интересных идей. Материал равд. 9. 1, посвященный переходным матрицам, основан главным образом на статье автора [9[.
На принадлежность переходных матриц к классу симплектических указал автору д-р Дж. Поттер. За подробностями читателя можно отослать к работам Зигеля [551 и Уинтнера [541. Правда, Уинтнер не употребляет термин «симплектичесыая матрица». Равд. 9. 2, где связываются воедино вопросы, разбираемые в гл. Ъ'П! и!Х, обязан своим появлением дипломной работе Скотта, Янушки и Уайлса [531. Равд. 9. 3 — 9. 6 взяты из статьи [9[.
Автор хотел бы поблагодарить Р. Шольтена и П. Филлио из Приборной Лаборатории МТИ за подготовку численных данных для равд. 9. 5, потребовавшую большого труда. Остальные численные результаты получили Кинен и Регенхардт в ходе написания дипломной работы в МТИ [32]. Они исследовали возможность использования затмения звезд в качестве источника навигационной информации и нашли, что конечные ошибки при этом уменьшаются в 2 — 3 раза.
Изящный метод оптиМизации программы измерений, изложенный в равд. 9. 7, принадлежит У. Дэнхему из Рэйтеон Компани. Однако первоначальный вариант метода Дэнхема был пересмотрен из-за наличия двух ошибок в анализе. Такой подход к решению задачи представляет собой пример так называемого метода наискорейшего спуска, столь успешно применяемого д-ром А. Брайсоном из Гарвардского университета и его коллегами в Рэйтеон.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
